第二章线性方程组2.4节非齐次线性方程组解的结构

1、11221122 nnnnxxxxxx .,22112222212111212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxamnmnmmnnnn（2.4.1）非齐次线性方程组非齐次线性方程组 )( bAX其中其中mnnmijbbbbxxxXaA2121 , ,令令mmnnnnmmbbbaaaaaaaaa2121222122121111 , , , , 则方程组（则方程组（*）可表为）可表为 nnxxx2211)( 结论结论：方程组（方程组（*）有解）有解 可由可由 线性表出线性表出 n ,21 n ,21 ,21n秩秩 = 秩秩 n ,21 ,21n秩秩(A) = 秩秩( )，这里，这里 =

2、 = A , b AA 定理定理 非齐次线性方程组非齐次线性方程组 有解的充分必有解的充分必要条件是要条件是 bAX 秩秩 = 秩秩( ) )(AA 定理定理 非齐次线性方程组非齐次线性方程组 AX = b 有唯一解的充有唯一解的充分必要条件是分必要条件是秩秩(A)秩秩( )A的列数未知数个数的列数未知数个数 A 推论推论 非齐次线性方程组非齐次线性方程组 AX = b 有无穷多解的有无穷多解的充分必要条件是充分必要条件是秩秩(A)秩秩( ) A的列数未知数个数的列数未知数个数 A非齐次方程组（非齐次方程组（*）：）：AX = b齐次方程组（齐次方程组（*）：）：AX = 0 称（称（*）为（

3、）为（*）的）的导出方程组导出方程组。性质性质 (1) 设设 是非齐次线性方程组是非齐次线性方程组 AX = b的任的任意两个解向量，则意两个解向量，则 是其导出方程是其导出方程AX=0的解的解向量；向量； 21, XX21XX (2) 设设 是非齐次线性方程组是非齐次线性方程组 AX = b的任一个的任一个解向量，解向量， 是其导出方程组是其导出方程组 AX = 0的任一个解向的任一个解向量，则量，则 是是 AX = b的解向量。的解向量。 0XXXX 0 定理定理 设非齐次线性方程组设非齐次线性方程组 AX = b有无穷多个解，有无穷多个解，则其一般解为则其一般解为 ttXkXkXkX.2

4、2110其中其中 是是 AX = b的一个特解，的一个特解， 是导出方是导出方程组程组 AX = 0的一个基础解系，的一个基础解系， 是是 t个任意常个任意常数。数。 0XtXXX,.,21tkkk,.,21 注注 非齐次线性方程组解向量的线性组合一般非齐次线性方程组解向量的线性组合一般不再是非齐次线性方程组的解向量。不再是非齐次线性方程组的解向量。例例 求下列方程组的一般解求下列方程组的一般解 484355 12 22 12 0 54321542154321321xxxxxxxxxxxxxxxxx解解 ,bAA 0000000000001212000001114843551210221211

5、11000111行行 122 0 543321xxxxxx 543231212xxxxxx)0 , 0 ,21, 0 ,21( 00542 Xxxx考虑方程组考虑方程组 54323122xxxxxx)1 , 0 , 1, 0 , 1( 0, 1)0 , 1 ,21, 0 ,21( 0, 1)0 , 0 , 0 , 1 , 1( 0, 1342525241542 XxxxXxxxXxxx 一般解为一般解为3322110XkXkXkX 例例 已知非齐次方程组已知非齐次方程组 5220231321321321bxaxxxxxxxx的两个解的两个解 ，求其一般解。，求其一般解。)9 , 3, 5( )

6、,1, 1 , 1( 解解 因为方程组有两个解，解不唯一，故其系数矩因为方程组有两个解，解不唯一，故其系数矩阵阵 A的秩小于等于的秩小于等于2。 又又A的前两行线性无关，说明的前两行线性无关，说明 A的秩大于等于的秩大于等于2。由此得。由此得 秩秩(A) = 2。 于是，原方程组于是，原方程组的导出方程组的导出方程组 AX = 0的基础解系含的基础解系含 3-2=1个解。个解。可取可取)10, 4 , 6()9 , 3, 5( )1, 1 , 1(1 X作为导出方程组的基础解系，取作为导出方程组的基础解系，取 作为原作为原方程组的特解，则原方程组的一般解为方程组的特解，则原方程组的一般解为)1

7、, 1 , 1(0 X110XkX 思考题思考题 设设 AX=0是非齐次线性方程组是非齐次线性方程组 AX=b的导出的导出方程组，问方程组，问 （1）AX = 0有非零解有非零解 AX = b有无穷多解？有无穷多解？ （2）AX = b有唯一解有唯一解 AX = 0只有零解？只有零解？ 小结小结：1. 求线性表出求线性表出2. 判别线性相关性判别线性相关性 3. 求向量组的秩与极大无关组求向量组的秩与极大无关组 4. 求矩阵的秩求矩阵的秩 5. 求齐次线性方程组的基础解系求齐次线性方程组的基础解系 6. 非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组解的结构 线性方程组解的情况线性方程组解的情况 A

8、X = 0 只有零解只有零解 r(A) = n （此时基础解系中含有此时基础解系中含有 n r(A) 个解向量）个解向量） AX = 0 有非零解有非零解 r(A) n 1. 齐次线性方程组：齐次线性方程组： 2. 非齐次线性方程组：非齐次线性方程组： AX = b 有唯一解有唯一解 r(A) = r(A, b) = n AX = b 有无穷多解有无穷多解 r(A) = r(A, b) n AX = b 无解无解 r(A) r(A, b)作业作业 习题二习题二(P112)： 26, 32(1)(3), 33, 40, 41, 44, 46 (32-33,40-41,44-46均可作为练习均可作为练习)1 12 23 3 3 3, ,1 1. ., , ,A Am mr r A AA A x xb b 设设是是矩矩阵阵 且且如如果果非非齐齐次次线线性性方方程程组组的的三三个个解解向向量量满满足足,32121 ,11032 10113 .的通解的通解求求bAx 思考题思考题 3, ( )1, 3, ( )1,Amr AAmr A解是矩阵解是矩阵思考题解答思考题解答 0312 0312. .A xA x的基础解系中含有个线性无关的基础解系中含有个线性无关的解向量的解向量则则令令,133221cba ,21231)(211 bca ,2