不定积分典型例题ppt课件

1、1)(baxdadx )(212xdxdx )(xxeddxe )(sincosxdxdx )cos(sinxdxdx )(ln1xddxx )(21xddxx )(arctan112xddxx )(arcsin112xddxx 常用微分公式常用微分公式2例例2.求xxxxxd)1 (122解解:xxxxd1d2Cxx|lnarctanxxxxxd)1 (1223例例3.求解解:xxdtan2xxd ) 1(sec2Cxx tanxxdtan2xxxddsec24例例4.求其中,d)(xxff (x)=x2+1, x0.1 ,1xx10 , 1 x解解:作函数，待定和原函数内分别有和在),(l

2、n,3, 1 1 , 0),0 ,()(21213CCCxCxxxxfF(x)=0 ,33xxx1 ln2xCx10 1xCx5而要使F(x)成为f (x)在R上的原函数，必须F(x)连续，从而C10，C21，因此满足条件的函数为F(x)=0 ,33xxx. 1 1lnxx10 , xx故CxFxxf)(d)(6(4) axdx aaxlnC， (6) cosxdx sinxC， dx2sectgxC， (ex3cosx)dx ex3sinxC。 2xdxx)cos1 (21Cxx)sin(21dxx)cos1 (21Cxx)sin(21。 dxxx2cos2sin122dxx2sin14 4

3、ctg xC。 6 (ex3cosx)dx ex3sinxC。 例例59 sin 22xdx例例610 dxxx2cos2sin122dxx2sin14例例77 (3) x1dx ln|x|C， (11) 211xdx arctgxC。 dxxx)111(2231dxxx241dxxx24111dxxxx22211) 1)(1(dxxx241dxxx24111dxxxx22211) 1)(1( dxxx)111(2231x3xarctgxC。 12 dxxx241dxxx24111dxxxx22211) 1)(1(例例88 y)257(xdxxx507 C 。 解：解：因为总成本是总成本变化率

4、y的原函数，所以 已知当 x0 时，y1000， 例例9某厂生产某种产品，每日生产的产品的总成本 y 的变化率是日产量 x 的函数 yx257 ，已知固定成本为1000元，求总成本与日产量的函数关系。因此有 C =1000，作业：作业： P137：5 (2)（5) (10) (15).于是总成本 y 与日产量 x 的函数为 yxx507 1000。 9例例2.xxexd12求解：解：观察12xxe中间变量u=x2+1但 u=x2+1的导数为u = 2x在被积函数中添加2个因子12 221xex uu因此Cexxexx112221d10例例3.xxxd543求解解:xxxd 534Cu12112

5、11415 4 xuudu 41 21Cx234)5(61uuduxxxd4 54134xxxfd)( )(uufd)(u=(x)xudd11例例4.)0(d22axax求解：解：能想出原函数的形式吗？Cxxxarcsin1d2记得这个公式吗？如何用这个公式？22)(1d)(1daxaxaxaxCax arcsin12例例5.求解：解：xxxxd22cos1dsin2xxxd2cos21d21)2(d2cos4121xxxCxx2sin41212sind .x x13例例6解：解：22dxax求xxaxaad)11(2122dxaxxaxaxaxaa)(d)(d21Cxaxaa|ln|ln21

6、Cxaxaaln2114例例7 7 求求.dxx 231解解,)(xxx2323121231dxx 231dxxx)(2323121duu 121Cu ln21.)ln(Cx 2321xu2315例例8 8 求求.)ln51(1dxxx 解解dxxx )ln51(1)(lnln511xdx )ln51(ln51151xdx xuln21 duu151Cu ln51熟练以后就不需要进行熟练以后就不需要进行)(xu 转化了转化了Cx )ln51ln(5116例例9 9 求求.)(dxxx 21解解dxxx 21)()()()(xdxx 11111221111CxCx )()ln(dxxx 2111

7、)(Cxx )()ln(11117例例11 11 求求解解dxx 3sinCxxxdxxdxxdxx )cos(coscos)cos(sinsinsin3223311正弦余弦三角函数积分偶次幂降幂正弦余弦三角函数积分偶次幂降幂,齐次幂拆开齐次幂拆开放在微分号放在微分号18 dxex11dxeedxeexxxx 1)1(1xxxxdeexdee 11)(1)1(11xxede .)1ln(Cex 解解例例1212 求求.11dxex 19例例13 13 求求xdxx 35sectanxdxx 35sectan 解解xdxxxxtansecsectan 24xxdxsecsec)(sec2221

8、xdxxxsec)secsec(sec2462 Cxxx 357315271secsecsec20例例1414 求求解解.cos11 dxx dxxcos11 dxxx2cos1cos1 dxxx2sincos1 )(sinsin1sin122xdxdxx.sin1cotCxx 21例例1515 求求解解.cossin52 xdxx xdxx52cossin )(sin)sin1(sin222xdxx )(sin)sinsin2(sin642xdxxx.sin71sin52sin31753Cxxx 说明说明当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑

9、微分. )(sincossinxxdx4222例例1616 求求解解.2cos3cos xdxx),5cos(cos212cos3cosxxxx dxxxxdxx)5cos(cos212cos3cos.5sin101sin21Cxx 利用积化和差公式，得利用积化和差公式，得23解解 dxxsin1 xdxcsc )(coscos112xdx duu211 duuu111121Cuu 11ln21.cos1cos1ln21Cxx 类似地可推出类似地可推出例例1717 求求.csc xdx dxxx2sinsin.)tanln(secsecCxxxdx .)cotln(cscCxx 24 xxd1

10、2原原式式 xxd1)1(2Cx 14解解 xxdx1例例181825dxxxx 4cos4cossin2原式原式 222)(cos4)(cosxxdCx )2cosarcsin(2解解dxxx 4cos42sin19 例例26)ln1 (ln112lnln1xdxx 原原式式)ln1()ln1(21xdx 解解)ln1()ln1()12(ln21xdx Cxx 2123)ln1)(12(ln2)ln1(32dxxxx ln12ln21 例例27dxxexeexxxx )1 () 1(原原式式)()1()1(xxxxxxedxexexexe )1 ()(xxxxexexedCxexexx 1l

11、n解解dxxexxx )1()1(22 例例28例1解 . )0( d 22aaxx计算 . ),(),( 1)(22aaaxxf的连续区间为时 ),( ) 1 ( ax dtansecd 20 sec ，故，则，令tttaxttaxtatttaaxxtandtansecd22ttdsec1 |tansec|lnCtt) ln ( . |ln122aCCCaxxxat22ax 29时 ),( )2(ax dtansecd 2 sec ，故，则，令tttaxttaxtatttaaxxtandtansecd22ttdsec1 |tansec|lnCtt |ln222Caxx0 x2222222)(

12、lnCaxxaxxaxx)ln( . |ln122aCCCaxx30 ),( ),( 均有或综上所述，不论axax ).0( , |lnd2222aCaxxaxx。而只是作“形式”计算，一般不再分区间讨论今后在计算不定积分时 31例例2 2 求求解解).0(22 adxxatdtadxcos tdtatadxxacoscos2222,sin ttaxtataaxacossin22222 dttatdta22cos1cos222Cttata cossin2222Cxaxaxaaxt 222212arcsinarcsint22xa xa32例例3 3 求求解解).0(122 adxax令令taxt

13、an tdtadx2sec dxax221tdtata2secsec1 tdtsecCtt )tanln(sectax22ax 2222221lnln()lnln().xxaCxxaaCaaxxaC 2,2t注注三角代换的目的是化掉根式三角代换的目的是化掉根式.33例4解 . )0( )(d 322axax计算 ,dcosd ,22 ,sin 故则令ttaxttaxttaxax22322cosd1)(dCtatan12 .222Cxaaxxat22xa 34例例1 1 求求解解.dxex 11xet 令令,dttdx1 dttt )(122dttt 1112Ctt )ln(ln12,lntx2

14、 考虑到被积函数中的根号是困难所在，故考虑到被积函数中的根号是困难所在，故dxex 11回代回代将将xet .lnCeexx 12原式原式35例2解 . d 3xxx计算 . 6 , ,31321为分母的最小公倍数的指数部分的它们xxxx , 0 , 61txt令 ,d 6d , 56故则ttxtxtttxxxd1 6d33tttd11163ttttd) 111 (62Ctttt | 1|ln6 6 3 223 . ) 1ln(6632663Cxxxx36例3解 . 1 d 25 xxx计算 dd 1 1 222，故，则令ttxxtxxtttxxxd) 1( 1 d2225tttd) 1 2(

15、24Cttt353251 . 1 )1 (32)1 (5123252Cxxx37例4解 . d111 xxxx计算 121 ) 1( d 4d 11 222，故，则令txtttxxxt ) 1)(1( d 4d1121222ttttxxxtttttd) 1)(1( ) 1() 1( 222221d21d222ttttCtttarctan2|1 |1 |lnCxxxxxx11arctan2|11|11|ln38例5解 . 522d 2xxx计算4) 1(2d522d22xxxxx , dsec2d , tan21 2故则令ttxtxtttxxxsec1dsec522d22tttcos)cos1

16、(dttttcos1dcosdttttd2sec 21dsec212tan |tansec|lnCttt . 1252 | 152|ln22Cxxxxxxtttsincos12tan配方393.3.倒数代换倒数代换.1tx 例例1 1 求求dxxxn )(11令令tx1 ,12dttdx dxxxn )(11dttttn 2111 dtttnn11Ctnn |ln 11.|lnCxnn 111解解40例例2 2 求求解解.dxxxa 422令令tx1 ,12dttdx dtttta 2422111dttta 122dxxxa 422分母的次幂太高分母的次幂太高41dxxxax 4220,时时当

17、当)(112122222 tadtaaCata 2232231)(.)(Cxaxa 3223223dxxxax 4220,时时当当.)(Cxaxa 322322342例3解 . ) 1(d 24xxx计算 ), 0 , 0 ( ,dd , 1 2故则令txttxtx1d) 1(d2424tttxxxtttd11) 1(24 d)111(22tttCtttarctan33 . 1arctan1313Cxxx43 积分经常有效：“倒代换”法对于下列 )( d2cbxaxnmxx) 1 (tnmx令 的好方法。倒代换法是一个去分母44例4解 . ) 1( 123 d 2xxxxx计算 , dd ,

18、1 2故则令xxtxt2223d 123 dtttxxxx2) 1(4d tt , ) 10( dcos2d , sin21 从而则令tt22cos 2dcos2 123 dxxxxdC . 21arcsinCxx45例例1 1 求积分求积分.cossin1sin dxxxx解解,12sin2uux 2211cosuux ,122duudx 由万能公式由万能公式 dxxxxcossin1sinduuuu )1)(1(22duuuuuu )1)(1(11222246duuuuu )1)(1()1()1(222duuu 211duu 11uarctan )1ln(212u Cu |1|ln2tan

19、xu 2x |2sec|lnx .|2tan1|lnCx 47例例3 3 求积分求积分.sin14 dxx解（一）解（一）,2tanxu ,12sin2uux ,122duudx dxx4sin1duuuuu 46428331Cuuuu 333318133.2tan2412tan832tan832tan24133Cxxxx 48解（二）解（二）变形万能公式变形万能公式,xutan 令令,1sin2uux ,112duudx dxx4sin1duuuu 2421111duuu 421Cuu 1313.cotcot313Cxx 49解（三）解（三）不用万能公式不用万能公式. dxx4sin1dxx

20、x)cot1(csc22 xdxxxdx222csccotcsc )(cot xd .cot31cot3Cxx 结论结论万能代换不一定是最佳方法万能代换不一定是最佳方法, 故三角有理式的计算中先考虑其它手段故三角有理式的计算中先考虑其它手段, 不得已才用万能置换不得已才用万能置换.50例例4 4 求积分求积分.sin3sinsin1 dxxxx解解2cos2sin2sinsinBABABA dxxxxsin3sinsin1 dxxxxcos2sin2sin1 dxxxx2cossin4sin1 dxxx2cossin141 dxx2cos14151 dxxxxx222cossincossin4

21、1 dxx2cos141 dxxdxxxsin141cossin412 dxx2cos141 dxxxdxsin141)(coscos1412 dxx2cos141xcos41 2tanln41x .tan41Cx 52例5解 . sin2d 2xx计算 , 1dd ,1sin , tan 2222故则令ttxttxxt 2dsin2d22ttxxCt2arctan21 . 2tanarctan21Cx53例6解 . tan2d 2xx计算 , 1dd , tan 2故则令ttxxt )1)(2(dtan2d222tttxx d211122ttt 2arctan21arctanCtt . 2t

22、anarctan21Cxx54例7解 . ) 0 , 0 ( cossind 为常数计算baxbxax cossin cossin222222xbabxbaabaxbxa , )sin(22xba . sin , cos , 2222babbaa其中)sin(d1cossind22xxbaxbxax d)csc(122xxba . | )cot()csc(|ln122Cxxba利用恒等变换555 5 双曲代换双曲代换积分中为了化掉根式还可用双曲代换积分中为了化掉根式还可用双曲代换.122 tshtch,xashtxacht或 令令ashtx dxax 221 dtachtacht Ctdt1x

23、shCa.ln22Caaxax achtdtdx 56例例3 3 求积分求积分.2 dxexx解解,2xu ,dvdedxexx dxexx2 22dxeexxx.)(22Cexeexxxx xev )(dxexeexxxx 22dxxeexxx 22xxdexex 2257例例4 4 求积分求积分.lnxdxx解解,ln xu ,22dvxdxdx xdxxln xdxxx21212ln 221xdxlnCxxx 224121ln 若被积函数是幂函数和对数函数的乘积，就考虑设对数函数为若被积函数是幂函数和对数函数的乘积，就考虑设对数函数为 .u58例例5 5 求积分求积分.arctan xd

24、xx解解令令,arctanxu dvxdxdx 22 xdxxarctan)(arctan2arctan222xdxxx dxxxxx222112arctan2 xxarctan22 .)arctan(21arctan22Cxxxx dxx)111(212 若被积函数是幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设反三角函数为若被积函数是幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设反三角函数为u.59例例6 6 求积分求积分.sin xdxex解解 xdxexsin xxdesin )(sinsinxdexexx xdxexexxcossin xxxdexecossin )coscos(sinxdexexexxx

25、xdxexxexxsin)cos(sin xdxexsin.)cos(sin2Cxxex 60例例7 7 求积分求积分.sec xdx3解解 xdx3sec xxd tansecdxxxxx 2tansectansecdxxxxx)(secsectansec12 dxxdxxxx secsectansec33sec tansecln sectanxxxdxxx xdx3sec1(sec tanln sectan)2xxxxC61,: 上 例 显 示在 运 用 分 部 积 分 法 时可 能 会 出 现 下 列 关 系 式 . ) 1 ( d)()(d)(axxfaxxxf , ,便可得出后任意常

26、数经移项并在等式右端加此时C 所求的不定积分 . )(11d)(Cxaxxf复原法复原法(回归法回归法,循环法循环法)!62例例7 7.cos1)sin1( dxxxex求求解解sin1 cos1 cosxxexedxdxxx=sin1cos1cosxxxededxxxsin1cos1cos1cosxxxexeedxdxxxx消去消去(超越函数超越函数)法法!63例8解 . ,d)(ln Znxxn计算x1nx)(lnxxnn1)(ln1 ,d)(ln 则记xxInn d)(ln)(lnd)(ln1xxnxxxxInnnn . )(ln1nnInxx : , 得到一个递推关系式于是 . )(l

27、n1nnnInxxI递推关系可以由低次幂函数的积分计算出高次幂函数的积分. 64 . d)(ln ,33xxI求例如 ,3)(ln233IxxI ,2)(ln122IxxI ,ln01IxxI ,dd)(ln00CxxxxI)(ln1CxxxI)(ln(2)(ln22CxxxxxI . 6ln6)(ln3)(ln 233CxxxxxxxI故65例9解xcosxsinxn 1sinxxnncossin) 1(2 . dsin xxn计算 ,dsin 则记xxInnxxxxxInnndsinsindsin1 dcossin) 1(cossin221xxxnxxnn dsin) 1(dsin) 1(

28、cossin21xxnxxnxxnnnxx22sin1cosnnnInInxx ) 1( ) 1(cossin21 . 1cossin1 21nnnInnxxnI故 . d0CxxI66例例1010 求积分求积分 NndxxaInn,)(221解解用分部积分法，当用分部积分法，当时，有时，有1 n dxxaInn12211)(2221222(1)()()nnxxndxaxax dxxaaxanxaxnnn)()()()(222122122112)()(nnnnIaInxaxI21122112 )()()(1122232121 nnnInxaxnaI67.,arctannICaxaI即即得得以以

29、此此作作递递推推公公式式，并并由由 11积分过程常要兼用换元法与分部积分法。积分过程常要兼用换元法与分部积分法。例例1111 求积分求积分. dxex解解tdtdxtxxt22 ,则则令令.)()(CxeCtedetdttedxextttx 12122268arctan12xxeIdxe例求dttdxtxtex1,ln 则则令令 )1(arctan1arctanttddttttI)(arctan1arctan1tdttt dttttt )1(1arctan12解解69dtttttttI )1()1(arctan1222dttdtttt 211arctan1Ctttt )1ln(21lnarct

30、an12Cexeexxx 21lnarctan170解解 dxxfx)( )(xxdf,)()( dxxfxxf,)(2 Cedxxfx ),()(xfdxxf 两边同时对两边同时对 求导求导, 得得x,2)(2xxexf dxxfx)( dxxfxxf)()(222xex .2Cex 71连用分部积分法xdxsinx2求解：xdxx sin222coscosxdxxxxdxxxxcos2cos2xxdxxsin2cos2xdxxxxxsin2sin2cos2Cxxxxxcos2sin2cos2同理可求不定积分xdxcosx2例14.)(cos2xdx722215(2)xx edxx 例求解解

31、 )21()2(222xdexdxxexxx dxexxxxexxx)2(21)21(22 dxxexexxx22cexxexxx ) 1(2273例16解 . sindcos 3xxxx计算x1xx3sincosx2sin21xxxxxxxx223sin2d21sin2sindcos . cot21csc22Cxxx333dsin)d(sinsindcosuuxxxxx . sin212122CxCu) sin (xu 74例17解 . d1arctan 22xxxx计算 d1arctan) 11( d1arctan2222xxxxxxxx d1arctandarctan2xxxxx )d(

32、arctanarctan1darctan2xxxxxxxx1xarctan211x . arctan21)1ln(21arctan22Cxxxx75,422pqa ,2MpNb 则则 dxqpxxNMxn)(2 dtatMtn)(22 dtatbn)(22,222atqpxx , bMtNMx 记记76, 1)2( n dxqpxxNMxn)(2122)(1(2 natnM.)(122 dtatbn, 1)1( n dxqpxxNMx2)ln(22qpxxM ;2arctanCapxab 77把真分式化为部分分式之和，再把上面的待定的常数确定，这种方法叫待定系数法把真分式化为部分分式之和，再把

33、上面的待定的常数确定，这种方法叫待定系数法6532 xxx)3)(2(3 xxx,32 xBxA , 3)23(, 1BABA,65 BA6532 xxx.3625 xx例例1 1)3)(2()2()3( xxxBxA)3)(2()23()( xxBAxBA通分比较分子：通分比较分子：782)1(1 xx,1)1(2 xCxBxA)1()1()1(12 xCxBxxA代入特殊值来确定系数代入特殊值来确定系数CBA,取取, 0 x1 A取取, 1 x1 B取取, 2 xBA,并将并将 值代入值代入)1(1 C.11)1(112 xxx2)1(1 xx例例2 279例例4 4 求积分求积分 .)1

34、(12dxxx dxxx 2)1(1dxxxx 11)1(112dxxdxxdxx 11)1(112.)1ln(11lnCxxx 解解80例例6 6 求积分求积分解解.11632dxeeexxx 令令6xet ,ln6tx ,6dttdx dxeeexxx 63211dttttt61123 dtttt )1)(1(162dttttt 213313681Ctttt arctan3)1ln(23)1ln(3ln62dttttt 2133136.)arctan(3)1ln(23)1ln(3636Ceeexxxx 23)1ln(3ln6 ttdttttd 2221131)1(82例例1010 求积分求

35、积分 dxxxx11解解 令令txx 1,12txx ,112 tx ,1222 ttdtdx dxxxx11 dttttt 222121 1222tdttdtt 11122Cttt 11ln2.11ln122Cxxxxx 83例例1111 求积分求积分.1113 dxxx解解 令令16 xt,65dxdtt dxxx3111dtttt52361 dttt 163Ctttt |1|ln663223.)11ln(6131312663Cxxxx 说明说明无理函数去根号时无理函数去根号时, 取根指数的取根指数的最小公倍数最小公倍数.84dxxax 662计计算算 33333662)(131dxxax

36、adxxax解解：Caxaxadxaxaxa 33333333333ln61)11(61dxxxx 234811计算计算例例1例例2三、其他典型例题85解：解： 234123412248484uuduuxxdxxux原原式式Cuuuduuu )1ln(41)2ln(41)11241(41CxxxCuuu 21ln421ln4144424 dxxxxsincos1计算计算解：解：Cxxxxxxd )sinln(sin)sin(原原式式（分子是分母的导数）（分子是分母的导数） 凑导数法凑导数法!例例386xdxx arcsin12 txsin 令令解：解： Cttttdttcossincos原原式

37、式Cxxx 21arcsin1 sinctgxdxx解：方法解：方法1duuuduuuuu)111(11)1(122 原原式式例例4例例5ux sin令令被积函数为余弦的奇函数被积函数为余弦的奇函数,采用正采用正弦换元弦换元87CxxCuu 1sinsinln)1ln(ln方法方法2本例也可以直接采用凑微分的方法本例也可以直接采用凑微分的方法xdxxdxxxxsin)sin11sin1()sin1(sincos 原原式式Cxx sin1sinln3sin2cossin6cosxxxxedxx例88xdxexxdedxxxexdxxexxxxcoscossincossincos2sinsin2s

38、insin 解解：原原式式xdxxexedxexexdexdexxxxxxcoscoscos)cos1(sinsinsinsinsinsin Cxexexx cossinsin dxxxxxcossincossin )4()4sin()4(sin21221)4sin(2)22cos(212xdxxdxxx解解：原原式式例例789)4()4sin(2)4csc(221 xdxxCxxctgx )4cos(21)4()4csc(ln221sin1cosxxdxx2sin1cos1 cos1 cos1 cos2cos2xdxxdxxdxdxxxxx解：原式 )cos1ln(22)cos1ln(2xd

39、xxtgxxtgxxxdtg例例890例例9 9 dxxx1)23()23(2原式原式解解.4932 dxxxxx求求 1)23()23(23ln12xxd 123ln12tdt dttt)1111(23ln21Ctt 11ln)2ln3(ln21.2323ln)2ln3(ln21Cxxxx tx )23(令令Cxxxxtg )cos1ln(2cosln2291例例1010解解.cos1)sin1( dxxxex求求 dxxxxex2cos2)2cos2sin21(2原式原式 dxxexexx)2tan2cos21(22tan)2(tan( xxdexxde )2tan(xedx.2tanCxex 92例例1111解解.15)1ln(22 dxxxx求求5)1ln(2 xx,112x 5)1ln(5)1ln(22 xxdxx原原式式.5)1ln(32232Cxx )1221(1122xxxx 凑导数法凑导数法!93例例1212解解.1122 dxxxx求求,1tx 令令dttttt)1(1)1(111222 原式原式dttt 211 2221