方向导数与梯度

1、第七节第七节 方向导数与梯度方向导数与梯度一、方向导数一、方向导数二、梯度二、梯度),(00yxD),(yxfz xyzxzxx 0lim ),(00yxfx ),(00yxfyyzyy 0lim1 1、定义、定义一、方向导数一、方向导数),(000yxPD),(yxfz xyzl),(yxP0limPP 0Plf称为称为 在在 沿方向沿方向 的的方向导数方向导数. .),(yxf),(00yxl|)()(00PPPfPf 202000),(),()()(),(),(lim00yyxxyxfyxfyxyx 0Plf0limPP|)()(00PPPfPf le设与设与 同方向的单位向量同方向的单

2、位向量l)cos,(cos PP0 与与 同向同向，l故故 coscos00yyxx t t即即 cos,cos00tyytxx 0 0limt),()cos,cos(0000yxftytxf 0Plf)0 , 1( l 0limttyxfytxf),(),(0000 2 2、方向导数与偏导数的关系、方向导数与偏导数的关系 若若 存在，存在，),(00yxfx则则 沿沿 与与 方向的方向导数存在；方向的方向导数存在；),(yxf)0 , 1()0 , 1( 若若 存在，存在，),(00yxfy则则 沿沿 与与 方向的方向导数存在；方向的方向导数存在；),(yxf)1 , 0()1, 0( ),

3、(00yxfx )0 , 1( l 0Plf 0limttyxfytxf),(),(0000 ),(00yxfx )0,0(lf 0limttftf)0 , 0()0 ,( 不能保证不能保证 存在；存在；),(00yxfx 沿沿 与与 方向的方向导数存在，方向的方向导数存在，),(yxf)0 , 1()0 , 1( 不能保证不能保证 存在存在. .),(00yxfy 沿沿 与与 方向的方向导数存在，方向的方向导数存在，),(yxf)1 , 0()1, 0( 1 0limttftf)0 , 0()0 ,( )0 , 0(xf)0 , 0( ,22yxz )0 , 1( lttt 0limttt|

4、lim0 不存在不存在 例例)0 , 1( l )0,0(lf 0limttftf)0 , 0()0 ,( ttt 0lim1 3 3、方向导数存在的充分条件及计算方法、方向导数存在的充分条件及计算方法 定理：定理： 若若 在在 可微，可微，),(yxfz ),(000yxP则则 在在 沿任意方向的方向导数存在，沿任意方向的方向导数存在，),(yxf0P 且且 0Plf cos),(cos),(0000yxfyxfyx 其中其中le)cos,(cos 证明证明 0Plftyxftytxft),()cos,cos(lim00000 cos),(cos),(0000yxfyxfyx x y 0li

5、mt),(00yxfx cost cost ),(00yxfy t)(to 例例1求求 在在 沿从沿从 到到 方向的方向导数方向的方向导数. .yxez2 )0 , 1(P)1, 1( PQ 解解P)1, 2( Q cos21 21 cos2| PQ)0, 1(2ye )0, 1(xz1 )0, 1(yz)0, 1(22yxe 2 )0, 1(lf21 12 )21( 22 例例2求求 在在 上点上点 处，处，沿曲线在该点处切线方向（沿曲线在该点处切线方向（ 增大方向）的增大方向）的方向导数方向导数. .223yyxz )3 , 2( )3, 2(T 解解12 xyx cos174171 co

6、s)3,2()2 , 1(x)3,2(6xy )3,2(xz36 )3,2(yz)3,2(2)23(yx 6 )3,2(lf171 366 174 1760 )4 , 1( |T17 若若 在在 可微，可微，),(zyxfu ),(0000zyxP则则 0Plf cos),(cos),(cos),(000000yxfyxfyxfzyx 其中其中le)cos,cos,(cos 例例3求求 在该点沿在该点沿 的方向导数的方向导数. .zyxu2286 )1 , 1 , 1( n 解解632222 zyx cos143142 cos)1 , 1 , 1(),3 ,2(zyx)1 , 1 , 1(22

7、866yxzx )1 , 1 , 1(xu146 )1 , 1 , 1(lf143 711 )1 , 3 , 2( |n14是是 在在 处指向外侧的法向量，处指向外侧的法向量，nn cos141)1 , 1 , 1(yu)1 , 1 , 1(22868yxzy 148 )1 , 1 , 1(zu14 146142 148 )14( )1 , 1 , 1(22286zyx 141 1 1、定义、定义二、梯度二、梯度称为称为 在在 的的梯度梯度，),(yxf),(00yx 向量向量),(),(0000yxfyxfyx 记为记为),(00yxf ),(00yxgradf ),(),(0000yxfy

8、xfyx 2 2、梯度与方向导数的关系、梯度与方向导数的关系 0Plf cos),(cos),(0000yxfyxfyx ),(),(0000yxfyxfyx )cos,(cos ),(00yxf le | ),(|00yxf ),cos(lef 函数值增长最快函数值增长最快. . 当方向当方向 与与 同向时，同向时，lf 最大值为梯度的模最大值为梯度的模 . . |f 即函数沿梯度即函数沿梯度 方向的方向导数最大，方向的方向导数最大，f 当方向当方向 与与 反向时，反向时，lf 函数值减少最快函数值减少最快. . 当方向当方向 与与 垂直时，垂直时，lf 函数值变化率为函数值变化率为0.0.

9、例例4问问 在在 沿什么方向变化最快，沿什么方向变化最快，在这个方向的变化率是多少？在这个方向的变化率是多少？)(2122yxz )1 , 1(P )1 , 1(f 解解)1 , 1( )1 , 1(),(yx 在在 沿沿 方向增长最快，方向增长最快，)(2122yxz )1 , 1(P)1 , 1(f 沿沿 方向减少最快方向减少最快. .)1 , 1(f 这两个方向的变化率分别为这两个方向的变化率分别为| )1 , 1(|f 2 | )1 , 1(|f 2 称为称为 在在 的的梯度梯度. .),(zyxf),(000zyx 向量向量),(),(),(000000000zyxfzyxfzyxfzyx ),(000zyxf ),(000zyxgradf 3 3、等值线、等值面、等值线、等值面曲线曲线 czyxfz),(在在xoy 面的投影曲线面的投影曲线cyxf ),(称为函数称为函数 的等值线的等值线. .),(yxfz xycyxf ),(1),(cyxf