第5章特征值与特征向胡建华

1、-2-把把(1)改写为改写为0(1)a 0()0(2)ea定义定义设设 , 如果存在数如果存在数 和和向量向量 满足满足n nac0cnc则称数则称数 为为a的的特征值特征值, 称称非零向量非零向量 为为a的对应于的对应于( (或属于或属于) )特征特征值值 的的特征向量特征向量. .00由由(2)得得00ea 是是a的特征值的特征值 0 是是a的属于特征值的属于特征值 的特征向量的特征向量0是齐次方程组是齐次方程组 的非零解的非零解0()0ea x-3-111212122212( )nnannnnaaaaaafeaaaa121121( 1)( 1)nnnnnnncccc 由代数基本定理，由代

2、数基本定理，n次代数方程在复数域上恰有次代数方程在复数域上恰有 n 个根个根(重根重根按重数计算按重数计算)。因此，。因此，n 阶方阵在复数域上恰有阶方阵在复数域上恰有 n 个特征值个特征值. 关于特征值、特征向量的讨论在复数域上进行关于特征值、特征向量的讨论在复数域上进行.记记称称 为为 a 的的特征多项式特征多项式，称，称 为为 a 的的特征方特征方程程. 由前面的分析，特征方程的根即为由前面的分析，特征方程的根即为a的特征值的特征值.( )0afea( )af-4-解特征方程解特征方程例例1 1求矩阵求矩阵 的特征值与特征向量的特征值与特征向量.0110a21( )11fea12i ,i

3、i1 解解 求特征多项式求特征多项式2( )10f 得特征值为得特征值为-5-解方程组解方程组 ，得基础解系：，得基础解系： 10ea x1i11111(,0)kkc k则属于特征值则属于特征值 的所有的特征向量为的所有的特征向量为1解方程组解方程组 ，得基础解系：，得基础解系： 20ea x2i1 2222(,0)kkc k则属于特征值则属于特征值 的所有的特征向量为的所有的特征向量为2-6-例例2 211121222nnnnaaaaaaa求矩阵求矩阵 的特征值的特征值.得得 a 的的 n 个特征值为个特征值为111222,nnnaaa问问 对角矩阵对角矩阵,下三角矩阵的特征值等于什么？下三

4、角矩阵的特征值等于什么？解解 由由1122()()()nnaaaea22anna11a-7-例例3 3366636669a求矩阵求矩阵 的特征值和特征向量的特征值和特征向量.366636669ea解解3663636101366303600123336663630313rr 31cc -8-1233,3 a 的特征值为的特征值为对于对于 ，解方程组，解方程组131()0ea x106610136060116612000eaea 1323xxxx 同解方程组为同解方程组为 ，令，令 ，得基础解系，得基础解系31x t11,1,1因此，对应于特征值因此，对应于特征值 的所有特征向量为的所有特征向量为

5、1111(0)kk-9-对于特征值对于特征值 ，解方程组，解方程组233 2()0ea x26661113666000666000eaea 同解方程组为同解方程组为 ，令，令123xxx 得基础解系得基础解系2310,01xx t21, 1,0 ,t31,0, 1因此，对应于特征值因此，对应于特征值 的所有特征向量为的所有特征向量为233 2233kk23(,)k k 不同时为零-10-(1) 向量向量 满足满足 , 0a0是是 a 的特征向量吗？的特征向量吗？(2) 实矩阵的特征值与特征向量一定是实的吗实矩阵的特征值与特征向量一定是实的吗?(4) 矩阵矩阵 a 是可逆矩阵的充要条件是是可逆矩

6、阵的充要条件是 a 的所有特征值的所有特征值_.(5)设设 ，a 必有一个特征值为必有一个特征值为_.0ae(3) 设设 ，a 有一个特征值为有一个特征值为_.0a 设设 可逆可逆, a 的特征值一定不等于的特征值一定不等于_.ae(6) a 的特征值与的特征值与 的特征值有什么关系？的特征值有什么关系？ta(7) 一个特征值对应于几个特征向量一个特征值对应于几个特征向量?其中线性无关的特征其中线性无关的特征 向量有几个？向量有几个？-11-例例4 4 证明：一个特征向量只能对应一个特征值证明：一个特征向量只能对应一个特征值. 证证 假设假设 是是 a 的一个特征向量，其对应的特征值有两个的一

7、个特征向量，其对应的特征值有两个 和和 .12移项移项12a 12()0, 120则则例例5 5 设设 ，证明，证明 a 的特征值只能是的特征值只能是0 0或或1.1.2aa 证证 设设 是是 a 的一个特征向量，对应的特征向量为的一个特征向量，对应的特征向量为 .则则22,aaa 由由2220aaoaa 20001或再再-12-性质性质1 1 a 与与 有相同的特征值有相同的特征值.ta性质性质2 2 设设 n 阶矩阵阶矩阵 a 的的 n 个特征值为个特征值为 ，12,n 2012( )mmzcc zc zc z是一多项式，则是一多项式，则2012( )mmac ec ac ac a的的 n

8、 个特征值为个特征值为 12(), (), ()n 且对应的特征向量相同且对应的特征向量相同. 例如：设例如：设2阶矩阵阶矩阵a的两个特征值为的两个特征值为 ，则，则 的两个的两个特征值为特征值为1, 11,12a-13-性质性质3 3 设设 n 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 a 的的 n 个特征值为个特征值为 ，12,n 则则 的的 n 个特征值为个特征值为 且对应的特征且对应的特征向量相同向量相同.1a11112,n性质性质4 4 设设 n 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 的的 n 个特征值为个特征值为 ，12,n ijaa则则121122(1)tr( )nnnaaaa12(2)na -14-例例6 6 设

9、设3阶矩阵阶矩阵a的三个特征值为的三个特征值为 , 求求1, 1,232aae解解112aa aa 1232,a 1( )32232aaaeaae 的三个特征值为的三个特征值为1()232, (1,2,3)iiiii 计算得计算得1231,3,3 123329aae 因此因此矩阵矩阵-15-123123tr( )aa 4xy解解 由7147144yax例例7 7 已知矩阵已知矩阵 的的3个特征值为个特征值为 ，3,3,12得得14184944940108xxyxy解之解之求求 x，y.-16-定义定义 设设a，b都是都是 n 阶矩阵，若存在可逆矩阵阶矩阵，若存在可逆矩阵 p，使得，使得1p a

10、pb则称则称a与与b相似相似 ，记为，记为ab. 特别地，如果矩阵特别地，如果矩阵 a 与对角矩阵相似，则称与对角矩阵相似，则称 a 是是可对角可对角化的化的. 对对 a 进行的矩阵变换进行的矩阵变换 称为相似变换，其中称为相似变换，其中 p 称称为相似变换矩阵为相似变换矩阵.1pap-17-相似变换的性质相似变换的性质(1) 相似关系是一种等价关系相似关系是一种等价关系(满足三条满足三条);(2) 设设ab, 则则 ； (3) 设设ab, 则则 ;(4)设设ab，则则 a 与与 b 有相同的特征值有相同的特征值;(5)设设ab，则则 ;(6)设设ab，则则 ;(7)设设ab，则则 与与 相似

11、，其中相似，其中 是一多项式是一多项式; (8)设设ab，且且 a 可逆可逆, 则则 与与 相似。相似。tr( )tr( )abeaebab( )a( )b1a1b( ) zrankrankab-18- 解解20022311aa12bb例例1 1 设设 与与 相似，相似，求求 a 与与 b , 以及以及 a 的特征值的特征值.32( )(tr)(4)afeaaaa 32( )(tr)(2)bfebbbb由由 ，比较两多项式的系数得，比较两多项式的系数得( )( )abff11,ab 242 ,ab 42ab 解得解得0,2ab a的特征值即为的特征值即为b的特征值，它们是：的特征值，它们是：1

12、,2, 2.-19- 由相似变换的性质知，相似变换保留了原矩阵的很多信息由相似变换的性质知，相似变换保留了原矩阵的很多信息. 我们的目标是把一个矩阵用相似变换变为最简单形状，其中特别我们的目标是把一个矩阵用相似变换变为最简单形状，其中特别地变为对角矩阵地变为对角矩阵. 下面我们重点讨论下面我们重点讨论.-20-n 阶矩阵阶矩阵 a 可对角化的充要条件是可对角化的充要条件是 a 有有 n 个线性无个线性无关的特征向量。关的特征向量。证证 先证必要性先证必要性. 设设a可对角化，即存在可逆矩阵可对角化，即存在可逆矩阵p使得使得12,np 记记 ，则，则1212,nna 12n于是于是(1, )ii

13、iain 112diag(,)np ap 上式说明，上式说明， 就是对应于特征值就是对应于特征值 的特征向量的特征向量.由于由于p是可逆矩是可逆矩阵，故阵，故 线性无关线性无关.ii12,n 把上述证明过程倒推即得充分性的证明把上述证明过程倒推即得充分性的证明.-21-1233,3 可验证可验证 线性无关，故线性无关，故a可对角化可对角化.见后面注见后面注123, 233ea第第1步步求特征值求特征值 即求即求 的基础解系的基础解系第第2步步 求线性无关的特征向量，求线性无关的特征向量，()0iea xt1(1,1, 1)13t2(1, 1,0) ,t3(1,0, 1)233 36663666

14、9a例例2 2 讨论矩阵讨论矩阵 是否可对角化是否可对角化.若可以，求若可以，求可逆矩阵可逆矩阵p使使 为对角矩阵为对角矩阵. 1p ap参见参见5.1例例3-22-第第3步步 把线性无关的特征向量拼成可逆矩阵把线性无关的特征向量拼成可逆矩阵p.123111,110101p 第第4步步 写出相似变换及对角矩阵写出相似变换及对角矩阵.1333pap 下面的定理告诉我们，本题中下面的定理告诉我们，本题中 的线性无关性不的线性无关性不需要验证需要验证.123, -23- 不同特征值对应的线性无关的特征向量合并后仍是不同特征值对应的线性无关的特征向量合并后仍是线性无关的。线性无关的。即设即设 是矩阵是

15、矩阵a的不同的特征值，又设的不同的特征值，又设 12,t 对应的线性无关的特征向量为对应的线性无关的特征向量为11(1)(1)(1)12,s对应的线性无关的特征向量为对应的线性无关的特征向量为22(2)(2)(2)12,s对应的线性无关的特征向量为对应的线性无关的特征向量为t( )( )( )12,tttts12(1)(1)(2)(2)( )( )111,tttiii仍是线性无关的。仍是线性无关的。则把这些特征向量合并得到的则把这些特征向量合并得到的 个向量个向量12tsss-24- (可对角化的充分条件可对角化的充分条件) n 阶矩阵阶矩阵 a 如有如有 n 个不同的特个不同的特征值，则它有

16、征值，则它有 n 个线性无关的特征向量，从而个线性无关的特征向量，从而 a 可对角化可对角化.-25-设设n阶矩阵阶矩阵a的所有不同的特征值为的所有不同的特征值为 ，则，则12,t 1212( )() ()()tnnnatfea这里这里 . 称称 为特征值为特征值 的的代数重数代数重数 . 12tnnnnini特征值特征值 对应的线性无关的特征向量的最大个数为对应的线性无关的特征向量的最大个数为irank()iisnea称称 为特征值为特征值 的的几何重数几何重数.isi也称也称 是是a的的 重特征值重特征值.ini考察下列矩阵特征值的代数重数与几何重数是多少？考察下列矩阵特征值的代数重数与几

17、何重数是多少？0000000001,1 ,1 -26-1iisn 单重特征值对应的线性无关的单重特征值对应的线性无关的 特征向量有几个特征向量有几个? 矩阵矩阵a的任一特征值的任一特征值 的代数重数的代数重数 与几何重数与几何重数 有下面关系：有下面关系：isini 矩阵矩阵a可对角化的充要条件是可对角化的充要条件是a的每个不同特征值的的每个不同特征值的代数重数与几何重数相等代数重数与几何重数相等.000000111与例如例如都是不可对角化的矩阵都是不可对角化的矩阵.-27-122113221a例例3 3 矩阵矩阵 是否可角化？是否可角化？2( )33afea解解 由由得得a的特征值为的特征值

18、为1233,3 只需考察二重特征值只需考察二重特征值 的几何重数是否等于的几何重数是否等于2. 易知易知23 2rank2ea23 故二重特征值故二重特征值 的几何重数为的几何重数为 223rank12sea a不可对角化不可对角化.-28-00111100ax例例4 4 设设 ，问，问 x 为何值时，为何值时，a 可角化？可角化？ 201111111110eax 解解 由由得得a的不同的特征值为的不同的特征值为121(),1() 二重单重110110110001101000eaxx a可对角化的充要条件是可对角化的充要条件是 ，即，即 .1rank321ea1x -29- 例例5 5 设设

19、a 是是 n 阶的幂等矩阵（即阶的幂等矩阵（即 ），证明），证明 a 必可对必可对角化，并求出相应的对角矩阵角化，并求出相应的对角矩阵.aa 2 ()rrnaea证证 由前面的结果知由前面的结果知 a 的特征值只可能为的特征值只可能为 0 或或 1，且，且特征值特征值 的几何重数为的几何重数为 ，特征值，特征值 的几何的几何重数为重数为 .101( )snr a2()snr ea21故故 a 有有个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量. 从而从而 a 可对角化可对角化.且相应的对角矩阵为且相应的对角矩阵为12( )()ssnr anr ean()diag(1,1,0,0)r a-30-例例1 1（见（见5.1引例引例1） 求解差分方程：求解差分方程：0110,1,2,kkkffffk10111,010kkkfxxaf 1,kkxax0kkxa x则则解解 记记直接计算直接计算 比较困难比较困难, 先把先把 a 对角化对角化. 计算得计算得 a 的特征