高等数学数学模型

1、第第一一章章 建立数学模型建立数学模型1.1 从现实对象到数学模型从现实对象到数学模型1.2 数学建模的重要意义数学建模的重要意义1.3 数学建模示例数学建模示例1.4 数学建模的方法和步骤数学建模的方法和步骤1.5 数学模型的特点和分类数学模型的特点和分类1.6 怎样学习数学建模怎样学习数学建模玩具、照片、飞机、火箭模型玩具、照片、飞机、火箭模型 实物模型实物模型水箱中的舰艇、风洞中的飞机水箱中的舰艇、风洞中的飞机 物理模型物理模型地图、电路图、分子结构图地图、电路图、分子结构图 符号模型符号模型模型模型是为了一定目的，对客观事物的一部分是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼

2、出来的进行简缩、抽象、提炼出来的原型原型的替代物的替代物.模型模型集中反映了集中反映了原型原型中人们需要的那一部分特征中人们需要的那一部分特征.1.1 从现实对象到数学模型从现实对象到数学模型我们常见的模型我们常见的模型你碰到过的数学模型你碰到过的数学模型“航行问题航行问题”用用 x 表示船速，表示船速，y 表示水速，列出方程：表示水速，列出方程：75050)(75030)(yxyx答：船速为答：船速为20km/h. .甲乙两地相距甲乙两地相距750km，船从甲到乙顺水航行需，船从甲到乙顺水航行需30h，从乙到甲逆水航行需从乙到甲逆水航行需50h，问船的速度是多少，问船的速度是多少?x=20y

3、 =5求解求解航行问题航行问题建立数学模型的基本步骤建立数学模型的基本步骤 作出简化假设（船速、水速为常数）；作出简化假设（船速、水速为常数）； 用符号表示有关量（用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）；表示船速和水速）； 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）；时间）列出数学式子（二元一次方程）； 求解得到数学解答（求解得到数学解答（x=20, y=5）；）； 回答原问题（船速回答原问题（船速为为20km/h）.数学模型数学模型 (Mathematical Model) 和和数学建模（数学建模（Mathematic

4、al Modeling)对于一个对于一个现实对象现实对象，为了一个，为了一个特定目的特定目的，根据其根据其内在规律内在规律，作出必要的，作出必要的简化假设简化假设，运用适当的运用适当的数学工具数学工具，得到的一个，得到的一个数学表述数学表述. .建立数学模型的全过程建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验等）（包括表述、求解、解释、检验等）数学模型数学模型数学数学建模建模1.2 数学建模的重要意义数学建模的重要意义 电子计算机的出现及飞速发展；电子计算机的出现及飞速发展； 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透数学以空前的广度和深度向一切领域渗透.数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一

5、步，数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，越来越受到人们的重视越来越受到人们的重视. 在一般工程技术领域在一般工程技术领域, 数学建模仍然大有用武之地；数学建模仍然大有用武之地； 在高新技术领域在高新技术领域, 数学建模几乎是必不可少的工具；数学建模几乎是必不可少的工具； 数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地.“数学是一种关键的、普遍的、可以应用的数学是一种关键的、普遍的、可以应用的技术技术”. 数学数学“由研究到工业领域的由研究到工业领域的技术转化技术转化，对加强，对加强经济竞争力具有重要意义经济竞争力具有重要意义”. “计算和建

6、模计算和建模重新成为中心课题，它们是数学重新成为中心课题，它们是数学科学技术转化的主要途径科学技术转化的主要途径” .数学建模的重要意义数学建模的重要意义数学建模的具体应用数学建模的具体应用 分析与设计分析与设计 预报与决策预报与决策 控制与优化控制与优化 规划与管理规划与管理数学建模计算机技术知识经济知识经济如虎添翼如虎添翼1.3 数学建模示例数学建模示例1.3.1 椅子能在不平的地面上放稳吗椅子能在不平的地面上放稳吗问题分析问题分析模模型型假假设设通常通常 三只脚着地三只脚着地放稳放稳 四只脚着地四只脚着地 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方

7、形连线呈正方形; 地面高度连续变化，可视为数学上的连续地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面曲面; 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地只脚同时着地.模型构成模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来. 椅子位置椅子位置利用正方形利用正方形(椅脚连线椅脚连线)的对称性的对称性.xBADCOD C B A 用用 (对角线与对角线与x轴的夹角轴的夹角)表示椅子位置表示椅子位置. 四只脚着地四只脚着地距离是距离是 的函数的函数.四个距离四个距离(四只脚四只脚)A,C 两脚与地面距离之和两脚与地

8、面距离之和 f( )B,D 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 g( )两个距离两个距离 椅脚与地面距离为零椅脚与地面距离为零正方形正方形ABCD绕绕O点旋转点旋转正方形正方形对称性对称性用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来.f( ) , g( )是是连续函数连续函数对任意对任意 , f( ), g( )至少一个为至少一个为0数学数学问题问题已知：已知： f( ) , g( )是是连续函数连续函数 ; 对任意对任意 ， f( ) g( )=0 ; 且且 g(0)=0， f(0) 0. 证明：存在证明：存在 0，使，使f( 0) = g(

9、 0) = 0.模型构成模型构成地面为连续曲面地面为连续曲面 椅子在任意位置椅子在任意位置至少三只脚着地至少三只脚着地模型求解模型求解给出一种简单、粗糙的证明方法给出一种简单、粗糙的证明方法3）由）由 f, g 的连续性知的连续性知 h为连续函数为连续函数, 据连续函数据连续函数的基本性质的基本性质, 必存在必存在 0 ( 0 0 0，知，知 f( /2)=0, g( /2)0.2）令）令 h( )= f( )g( ), 则则 h(0)0 和和 h( /2)0)，总剂量，总剂量1100mg药物在药物在t=0瞬间进入胃肠道瞬间进入胃肠道.2. 血液系统中药物的排除率与血液系统中药物的排除率与y(

10、t) 成正比，比例系数成正比，比例系数(0)，t=0时血液中无药物时血液中无药物.3. 氨茶碱被吸收的半衰期为氨茶碱被吸收的半衰期为5小时，排除的半衰期为小时，排除的半衰期为6小时小时. 4. 孩子的血液总量为孩子的血液总量为2000ml. 胃肠道中药量胃肠道中药量x(t), 血液系统中药量血液系统中药量y(t)，时间，时间t以以孩子误服药的时刻为起点（孩子误服药的时刻为起点（t=0）. 模型建立模型建立x(t)下降速度与下降速度与x(t)成正比成正比(比例系数比例系数), 总剂量总剂量1100mg药药物在物在t=0瞬间进入胃肠道瞬间进入胃肠道.转移率转移率正比于正比于x排除率排除率正比于正比

11、于y胃肠道胃肠道血液系统血液系统口服药物口服药物体外体外药量药量x(t)药量药量y(t)y(t)由吸收而增长的速度是由吸收而增长的速度是x，由排除而减少的速度，由排除而减少的速度与与y(t) 成正比成正比(比例系数比例系数) , t=0时血液中无药物时血液中无药物.0)0(,yyxdtdy1100)0(,xxdtdx模型模型求解求解 1100)0(,xxdtdx药物吸收的半衰期为药物吸收的半衰期为5小时小时 tetx 1100)()/1 (1386. 05/ )2(lnh2/110011005e2/ )0()5(xxyxdtdytey11000)0(y药物排除的半衰期为药物排除的半衰期为6小时

12、小时 )(1100)(tteety只考虑血液对药物的排除只考虑血液对药物的排除2/)6(,)(ayay)()(taetyydtdy)/1 (1155. 06/ )2(lnhtetx1386.01100)()(6600)(1386. 01155. 0tteety0510152025020040060080010001200t(h)x,y(mg)x(t)y(t)血液总量血液总量2000ml血药浓度血药浓度200g/ml结果及分析结果及分析 胃肠道药量胃肠道药量血液系统药量血液系统药量血药浓度血药浓度100g/mly(t) =200mg严重中毒严重中毒y(t) =400mg致命致命t=1.62t=4

13、.87t=7.89y=442孩子到达医院前已严重中毒，如不及时施救，孩子到达医院前已严重中毒，如不及时施救，约约3 3小时后将致命！小时后将致命！y(2)=236.5 施救方案施救方案 口服活性炭使药物排除率口服活性炭使药物排除率增至原来的增至原来的2倍倍. 5 .236)2(,1100, 2,zextzxdtdzt孩子到达医院孩子到达医院(t=2)就开始施救，血液中药量记作就开始施救，血液中药量记作z(t) 2,5 .16091650)(2310. 01386. 0teetztt=0.1386 (不变)， =0.1155*2=0.2310 施救方案施救方案 05101520250200400

14、60080010001200t(h)x,y,z(mg)x(t)y(t)z(t)t=5.26z=318 施救后血液中药量施救后血液中药量z (t)显著低于显著低于y(t). z (t)最大值低于最大值低于致命水平致命水平. 要使要使z (t)在施救后在施救后立即下降，可算出立即下降，可算出至少应为至少应为0.4885. 若采用体外血液透析，若采用体外血液透析，可增至可增至0.1155*6=0.693，血，血液中药量下降更快；临床上是否需要采取这种办法，液中药量下降更快；临床上是否需要采取这种办法，当由医生综合考虑并征求病人家属意见后确定当由医生综合考虑并征求病人家属意见后确定. 数学建模的基本方

15、法数学建模的基本方法机理分析机理分析测试分析测试分析根据对客观事物特性的认识，根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律找出反映内部机理的数量规律.将对象看作将对象看作“黑箱黑箱”,通过对量测数据的通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型统计分析，找出与数据拟合最好的模型.机理分析没有统一的方法，主要通过机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究实例研究 (Case Studies)来学习。以下建模主要指机理分析来学习。以下建模主要指机理分析. .二者结合二者结合用机理分析建立模型结构用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数用测试分析确定模型参数.1.4 数学建模的方法

16、和步骤数学建模的方法和步骤 数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤模型准备模型准备模型假设模型假设模型构成模型构成模型求解模型求解模型分析模型分析模型检验模型检验模型应用模型应用模模型型准准备备了解实际背景了解实际背景明确建模目的明确建模目的搜集有关信息搜集有关信息掌握对象特征掌握对象特征形成一个形成一个比较清晰比较清晰的的“问题问题”模模型型假假设设针对问题特点和建模目的针对问题特点和建模目的作出作出合理合理的、的、简化简化的假设的假设在合理与简化之间作出折中在合理与简化之间作出折中模模型型构构成成用数学的语言、符号描述问题用数学的语言、符号描述问题发挥发挥想像力想像力使用使用类比法类比法尽量

17、采用简单的数学工具尽量采用简单的数学工具 数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤模型模型求解求解各种数学方法、软件和计算机技术各种数学方法、软件和计算机技术.如结果的误差分析、统计分析、如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的稳定性分析模型对数据的稳定性分析.模型模型分析分析模型模型检验检验与实际现象、数据比较，与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性检验模型的合理性、适用性.模型应用模型应用 数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤数学建模的全过程数学建模的全过程现实对象的信息现实对象的信息数学模型数学模型现实对象的解答现实对象的解答数学模型的解答数学模型的解答表述表述求解求解解释解释验证验

18、证(归纳)(演绎)表述表述求解求解解释解释验证验证根据建模目的和信息将实际问题根据建模目的和信息将实际问题“翻译翻译”成数学问成数学问题题.选择适当的数学方法求得数学模型的解答选择适当的数学方法求得数学模型的解答.将数学语言表述的解答将数学语言表述的解答“翻译翻译”回实际对回实际对象象.用现实对象的信息检验得到的解答用现实对象的信息检验得到的解答.实践现现实实世世界界数数学学世世界界理论实践1.5 数学模型的特点和分类数学模型的特点和分类模型的逼真性和可行性模型的逼真性和可行性模型的渐进性模型的渐进性模型的强健性模型的强健性模型的可转移性模型的可转移性模型的非预制性模型的非预制性模型的条理性模

19、型的条理性模型的技艺性模型的技艺性模型的局限性模型的局限性 数学模型的特点数学模型的特点数学模型的分类数学模型的分类应用领域应用领域人口、交通、经济、生态、人口、交通、经济、生态、数学方法数学方法初等数学、微分方程、规划、统计、初等数学、微分方程、规划、统计、表现特性表现特性描述、优化、预报、决策、描述、优化、预报、决策、建模目的建模目的了解程度了解程度白箱白箱灰箱灰箱黑箱黑箱确定和随机确定和随机静态和动态静态和动态线性和非线性线性和非线性离散和连续离散和连续1.6 怎样学习数学建模怎样学习数学建模数学建模与其说是一门数学建模与其说是一门技术技术，不如说是一门，不如说是一门艺术艺术技术大致有章

20、可循技术大致有章可循艺术无法归纳成普遍适用的准则艺术无法归纳成普遍适用的准则想像力想像力洞察力洞察力判断力判断力 学习、分析、评价、改进别人作过的模型学习、分析、评价、改进别人作过的模型. . 亲自动手，认真作几个实际题目亲自动手，认真作几个实际题目. .参加参加全国大学生数学建模竞赛全国大学生数学建模竞赛的意义和作用的意义和作用 1992年中国工业与应用数学学会年中国工业与应用数学学会(CSIAM)开始组织开始组织 1994年起教育部高教司和年起教育部高教司和CSIAM共同举办共同举办(每年每年9月月)2010年年33省省/市市/区区(含港澳含港澳)的的1195校校17200队队内容内容 赛

21、题：工程技术、管理科学中简化的实际问题赛题：工程技术、管理科学中简化的实际问题. 答卷：包含模型假设、建立、求解计算方法设计和计答卷：包含模型假设、建立、求解计算方法设计和计算机实现、结果分析和检验、模型改进等方面的论文算机实现、结果分析和检验、模型改进等方面的论文.形式形式 3名大学生组队，在名大学生组队，在3天内完成的通讯比赛天内完成的通讯比赛. 可使用任何可使用任何“死死”材料（图书、计算机、软材料（图书、计算机、软件、互联网等），但不得与队外任何人讨论件、互联网等），但不得与队外任何人讨论.宗旨宗旨创新意识创新意识 团队精神团队精神 重在参与重在参与 公平竞争公平竞争标准标准假设的合理性，建模的创造性，假设的合理性，建模的创造性，结果的正确性，表述的清晰性结果的正确性，表述的清晰性.全国大学生数学建模竞赛全国大学生数学建模竞赛 http:/竞赛培养创新精神和综合素质竞赛培养创新精神和综合素质 赛题紧密结合科技和社会热点问题，培养理论联系实赛