ch动量定理解析实用实用教案

1、1、联立求解微分方程(尤其是积分问题)非常困难(kn nn)。2、大量的问题中，不需要了解每一个质点的运动,仅需要研究质点系整体的运动情况。动力学普遍(pbin)定理概述对质点动力学问题： 建立质点运动(yndng)微分方程求解。对质点系动力学问题： 理论上讲，n个质点列出3n个微分方 程， 联立求解它们即可。 从本章起, 将要讲述解答动力学问题的其它方法, 而首先要讨论的是动力学普遍定理(包括动量定理、动量矩定理、动能定理及由此推导出来的其它一些定理)。实际上问题的特点：第1页/共36页第一页，共37页。 动力学普遍定理以简明的数学形式，表明(biomng)两种量（一种是与运动特征相关的量如

2、动量、动量矩、动能等，一种是与力相关的量如冲量、力矩、功等）之间的关系，从不同侧面对物体的机械运动进行深入的研究。在一定条件下，用这些定理来解答动力学问题非常方便、简捷 。 本章中研究质点和质点系的动量定理，建立了动量的改变与力的冲量之间的关系(gun x)，并研究质点系动量定理的另一重要形式质心运动定理。表示质点、质点系运动(yndng)特征的量与质点、质点系所受力相关的量动量动量矩动能冲量力矩功动量定理动量矩定理动能定理第2页/共36页第二页，共37页。 91 质点系的动量 92 动量定理 93 质心运动(yndng)定理 第九章 动量定理(dn lin dn l)第3页/共36页第三页，

3、共37页。一、质点系的质心 质点系的质量中心称为质心，是表征质点系质量分布情况(qngkung)的一个重要概念。 )( imM i iCCi imMmM 或或rrrr,ccccxyz 设设则则rijkMzmzMymyMxmxiiCiiCiiC , ,质心(zh xn) C 点的位置： 9-1 质点系的动量(dngling) 在均匀重力场中，质点系的质心与重心的位置重合。可采用静力学中确定重心的各种方法来确定质心的位置。但是，质心与重心是两个不同的概念，质心比重心具有更加广泛的力学意义。第4页/共36页第四页，共37页。二、质点系的动量 1.质点的动量：质点的质量与速度的乘积 mv 称为质点的动

4、量。动量是瞬时矢量，方向与v 相同，单位是kgm/s或N.s。动量是度量物体机械运动(jxiyndng)强弱程度的一个物理量。 2.质点(zhdin)系的动量：质点(zhdin)系中所有各质点(zhdin)的动量的矢量和。iim pv质点系的质量(zhling)与其质心速度的乘积就等于质点系的动量。, , xCxCyCyCzCzCpMvMxpMvMypMvMziimM CpvvCi iMm rrCiiMm vv第5页/共36页第五页，共37页。xi CixiCiyi CiyiCizi CiziCipmvm xpmvm ypmvm z b.刚体(gngt)系统的动量：设第i个刚体(gngt) ，

5、则整个系统：,icim v3.刚体(gngt)的动量a.单个刚体(gngt)：p=Mvciicm pv注意：动量中的速度为绝对速度第6页/共36页第六页，共37页。2ClpMvMCpMvMr0p 思考题：第7页/共36页第七页，共37页。 图示坦克的履带质量为m1，两个车轮的质量都为m2。车轮被看成均质圆盘(yun pn)，半径为R。设坦克前进速度为v，计算此质点系的动量。 122pmvm v思考题：R 第8页/共36页第八页，共37页。解: 曲柄OA：滑块B：连杆AB： （ P为速度瞬心， ） ABlPC;252 例：曲柄连杆机构的曲柄OA以匀 转动，设OA=AB=l ,曲柄OA及连杆AB都

6、是均质杆, 质量各为m , 滑块B的质量也为m。求当 = 45时系统(xtng)的动量。123123 (sincos)xC xC xC xCCCpmvmvmvmvvv 1212(cossin )yC yCyCCpmvmvm vv 1 , 2Clm v llvmABC2525 ,2lvmC2 ,3xypp p =ij第9页/共36页第九页，共37页。例：曲柄滑块机构(jgu)中，曲柄OA以匀角速度转动，滑块B沿x轴滑动。若取OA=AB=l,OA及AB皆为均质杆，质量皆为m1，滑块B的质量为m2，且m1= m2= m，求此系统的质心坐标及动量。解：设t=0时OA杆水平(shupng)，则有质心(z

7、h xn)C的坐标为 112112111232422coscos23212sinsin23iicciiccllmmm lm xxtltmmmlmm yytltmmm t 第10页/共36页第十页，共37页。,xCxyCypMvpMv 3iMmm 4sincosxCyCpMxmltpMymlt 系统的动量(dngling)沿x、y轴的投影而22xyppp动量的方向沿质心轨迹的切线(qixin)方向，可用其方向余弦表示。 显然，此题计算刚体系统的动量的方法比前题逐个计算刚体动量再求其矢量和更为(n wi)方便第11页/共36页第十一页，共37页。例：行星轮系由均质的系杆OA、中心齿轮1、行星齿轮2

8、及固定的内齿圈3组成(z chn)。已知齿轮1、2的半径分别为r1和r2；质量分别为m1和m2，系杆的质量为m，以角速度 绕轴O转动。求轮系的动量。解：)(21rrOAvAABvrrOBv21221221221(2)()2AAvm vmmm rr 0Ov 12iiCOABpmvmvm vmv 方向(fngxing)：水平向左第12页/共36页第十二页，共37页。2力F 是变矢量：（包括大小(dxio)和方向的变化）21()tt IFddt IF21dttt IF1力F是常矢量(shling)：三冲量 力与其作用时间的乘积(chngj)称为力的冲量。冲量表示力在其作用时间内对物体作用的累积效应的

9、度量。元冲量：冲量：222111d ,d ,dtttxxyyzztttIF t IF t IF t第13页/共36页第十三页，共37页。 3合力的冲量：等于(dngy)各分力冲量的矢量和222111d()ddtttRiitttttt iIFFFI冲量(chngling)的单位：m/skg sm/skg sN2与动量单位(dnwi)相同第14页/共36页第十四页，共37页。9-2动量定理(dn lin dn l)一质点(zhdin)的动量定理d(d )dd()dd dvFvFIvaFmtmtmmt 即：质点(zhdin)的动量对时间的导数等于作用于质点(zhdin)的力。或：质点(zhdin)动

10、量的增量等于作用于该质点(zhdin)上的力的元冲量。1.微分形式2.积分形式2121d()ddttmtm-mt vFvvFI即：质点的动量在某一时间间隔内的变化量等于作用于该质点上的力在同一时间间隔内的冲量。第15页/共36页第十五页，共37页。二质点系的动量定理(dn lin dn l) 设质点(zhdin)系由n个质点(zhdin)组成，其中第i个质点(zhdin)的质量、合外力、合内力分别为( )( )d()deiiiiimt vFF( )( ),eiiiim F,F对整个(zhngg)质点系：( )( )d()deiiiiimt vFF( )0ii F而( )d()deiiimt v

11、Fddddiimtt vp1.微分形式ddt p=FdddtpFI或即：质点系的动量对时间的一阶导数等于作用于质点系上外力的主矢。或质点系动量的增量等于作用在质点系上所有外力元冲量的矢量和。第16页/共36页第十六页，共37页。即：在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于作用在质点系上的所有外力在同一时间间隔内的冲量(chngling)的矢量和2.积分(jfn)形式dd pI21 ppI注意：只有外力才能改变质点系的动量(dngling)，内力不能改变质点系的动量(dngling)，但能改变质点系内某个质点的动量(dngling)，引起系统内各质点动量(dngling)的传递。3.投影形式dd

12、ddddxxyyzzpFtpFtpFt 212121xxxyyyzzzppIppIppI 第17页/共36页第十七页，共37页。4.守恒形式(xngsh)（质点系动量守恒定律）0 Fdd0t pFp 常矢量(shling)若0 xF dd0 xxpF t px 常量(chngling)若第18页/共36页第十八页，共37页。解: 取整个电动机作为质点系研究(ynji)，受力、运动分析如图示例: 电动机的外壳固定在水平基础上，定子的质量为m1, 转子质量为m2 , 转子的轴通过定子的质心O1, 但由于制造(zhzo)误差, 转子的质心O2到O1的距离为e 。求转子以角速度 作匀速转动时，基础对电

13、动机底座的支承力和对地脚螺钉的剪切力。120,OOvve222222sincosxO xyO ypm vm etpm vm et 第19页/共36页第十九页，共37页。可见，由于(yuy)偏心引起的动约束力是随时间而变化的周期函数。222222sincosxO xyO ypm vm etpm vm et 12222222N1N212dd(sin)cosdddd(cos)sinddxypm etm etFFttpm etm etFFm gm gtt 12222N1N2122cossinFFm etFFm gm gm et 动约束力等于(dngy)静约束力与附加动约束力之和第20页/共36页第二十

14、页，共37页。例：物块A可沿光滑水平面自由滑动，其质量为mA；小球B的质量为mB，以细杆与物块铰接，如图所示。设杆长为l，质量不计，初始时系统静止，并有初始摆角 ；释放后，细杆近似以规律(gul) 摆动(k为已知常数)，求物块A的最大速度。00coskt 解：取物块和小球作为一个质点系，其水平(shupng)方向不受外力作用，则沿水平(shupng)方向动量守恒。0coskt 细杆角速度为0sinkkt 第21页/共36页第二十一页，共37页。当sin kt =1时，此时(c sh) ，lklvr0max当vr向左时，物块应有(yn yu)向右的最大绝对速度,设为v，而小球向左的绝对速度值为

15、vvvra0sinkkt 即当细杆铅垂时小球(xio qi)相对于物块有最大的水平速度，其值为max0k 由系统水平方向动量守恒且系统初始静止0)(vvmvmrBA0BBrABABkmlm vvmmmm 0cos0kt 第22页/共36页第二十二页，共37页。 例：质量为M的大三角形柱体, 放于光滑水平面上, 斜面上另放一质量为m的小三角形柱体,求小三角形柱体滑到底(do d)时,大三角形柱体的位移。()0 xaxpMvmv 解：选两物体(wt)组成的系统为研究对象，受力分析和运动分析如图。0,xF 且初始(ch sh)静止，Px常量0()()0rxMvm vv ()rxmmSSabMmMm

16、arvvv小三角块的绝对速度 mmMSSmmMvvrxrx第23页/共36页第二十三页，共37页。CM pvddt pF 质心运动定理：质点系的质量与质心C加速度的乘积，等于作用于质点系上所有外力(wil)的矢量和（外力(wil)系的主矢）。1. 投影(tuyng)形式 , , CxCxCyCyCzCzMaMxFMaMyFMaMzF 。2 , , 0 CCCnnbdvMaMFdtvMaMFF 9-3质心(zh xn)运动定理ddd()dddCCCMMMttt vpvaCM aF第24页/共36页第二十四页，共37页。2. 守恒(shu hn)形式（质心运动守恒(shu hn)定律） (1)若，

17、则 常矢量，质心作匀速直线动；若开始(kish)时系统静止，即 则常矢量,质心位置不动。 (2)若则 常量，质心沿x方向速度不变；若存在 则 常量，质心在x 轴方向不动。0F 0 , CCav 00Cv C r0,xF CxCxva , 000CxvCx注意：只有外力才能(cinng)改变质点系质心的运动, 内力不能改变质心的运动，但可以改变系统内各质点的运动。第25页/共36页第二十五页，共37页。iiCxiiCxiiCyiiCyiiCziiCzm am xFm am yFm am zF 对于(duy) 刚体系统：iiCm aFCi iCCiiCMmMm rraaCiiCCiiCMxm xM

18、 xmx 若xC常数(chngsh)，则0CiiCM xmx 第26页/共36页第二十六页，共37页。质心运动定理可求解两类动力学问题： 1.已知质点系质心的运动, 求作用于质点系的外力(包括(boku)约束力)。 2.已知作用于质点系的外力，求质心的运动规律。 注意(zh y)：质心运动定理是动量定理的另一种表现形式，与质点运动微分方程形式相似。对于任意一个质点系， 无论它作什么形式的运动， 质点系质心的运动可以看成为一个质点的运动， 并设想把整个质点系的质量都集中在质心这个点上， 所有外力也集中作用在质心这个点上。第27页/共36页第二十七页，共37页。例：均质曲柄AB长r，质量为m1 ，

19、假设受力偶作用以不变的角速度转动，并带动滑槽连杆(lin n)以及与它固连的活塞D运动，如图所示。滑槽、连杆(lin n)、活塞总质量为m2，质心在点C。在活塞上作用一恒力F。不计摩擦，求作用在曲柄轴A处的最大水平分力Fx。 解：取整个机构(jgu)为一质点系，水平方向受力如图，由于力偶不影响质心的运动。列出质心运动定理在x轴上的投影式1212()()CxxxCxmm aFFFFmm a第28页/共36页第二十八页，共37页。12121cos( cos)2Crxmm rbmm 2212212dcosd2CCxxmramttmm 计算(j sun)整个质点系质心的坐标212cos2xmFFrmt

20、 显然(xinrn)，最大水平分力2122xmFFrm 第29页/共36页第二十九页，共37页。例：半径为r、质量为M的光滑圆柱放在光滑水平面上(min shn)，一质量为m的小球从圆柱顶点无初速地下滑，试求小球离开圆柱前的轨迹。 解：取圆柱和小球为研究对象，系统所受外力有圆柱和小球的重力和地面的支承力。由于系统在水平方向无外力，且系统初始(ch sh)静止，故系统的质心在水平方向静止不动。第30页/共36页第三十页，共37页。 在初始位置时，系统的质心在Oy轴上，由于质心在水平方向不动，故运动后，系统的质心仍应在Oy轴上。故有 xC = 0 设瞬时t，小球由圆柱顶点下滑到圆柱上A点，此时圆柱质心与小球的连线与Oy轴的夹角为 。则由系统质心坐标(zubio)公式有12sinsin0iiCim xMrmrxmMm 第31页/共36页第三十一页，共37页。021mrMrmMMrr2coscos)(sinsin212rrrrryrmMMrx2222()1xyrrMrMm 即21rrr由于(yuy)，故所以(suy)小球的坐标:小球离开(l ki)圆柱前的轨迹 第32页/共36页第三十二页，共37页。解：取起重船、起重杆和重物组成(z chn)的质点系为研究对象，受力分析如图示。0 iixP 例：浮动起重船, 船的重量(zhngling)为P1=200kN, 起重杆的重量(zhn