邯郸市鸡泽一中高三上学期第一次月考数学试卷（文科）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2017-2018学年河北省邯郸市鸡泽一中高三(上)第一次月考数学试卷（文科)一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知集合A=｛x|y=}，B={x｜|x|≤2｝,则A∪B=（）A．［﹣2，2] B．[﹣2，4］ C．[0，2] D．［0，4]2．（5分）下列命题是真命题的为（）A．若，则x=y B．若x2=1，则x=1C．若x=y,则 D．若x＜y,则x2＜y23．（5分）已知f（x）满足对∀x∈R,f（﹣x）+f（x)=0，且x≥0时，f（x)=ex+m（m为常数），则f(﹣ln5）的值为（）A．4 B．﹣4 C．6 D．﹣64．（5分)若△ABC的内角A满足sin2A=，则sinA+cosA=（)A． B． C． D．5．（5分）已知向量与的夹角是，且|｜=1，|｜=4，若(3+λ）⊥，则实数λ=（）A．﹣ B． C．﹣2 D．26．（5分）已知直线y=kx是y=lnx的切线，则k的值是（)A．e B．﹣e C． D．﹣7．(5分)函数f(x)=Asin(ωx+φ）（其中A＞0，｜φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只要将f（x）的图象（)A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度8．（5分）若x，y满足,则2x+y的最大值为（）A．0 B．3 C．4 D．59．（5分）若对任意的x∈R,y=均有意义，则函数y=loga｜｜的大致图象是（）A． B． C． D．10．（5分)已知a＞0，b＞0，且2a+b=1,则+的最小值为（）A．7 B．8 C．9 D．1011．（5分）已知f（x）=lnx﹣+，g(x)=﹣x2﹣2ax+4，若对∀x1∈(0，2］，∃x2∈[1，2］,使得f（x1）≥g(x2）成立,则a的取值范围是（）A．［﹣，+∞) B．［，+∞） C．[﹣，] D．（﹣∞，]12．(5分）设函数，若关于x的方程[f（x）]2﹣af（x）=0恰有三个不同的实数解，则实数a的取值范围为（）A．（0，1］ B．(0，1） C．[1,+∞） D．（﹣∞，1）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,满分20分。13．（5分)已知数列{an}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，则数列{an}的前n项和等于．14．（5分）若函数f（x）=4sin5ax﹣4cos5ax的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则实数a的值为．15．(5分）甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a海里的B处，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的倍，甲船为了尽快追上乙船,则应取北偏东(填角度）的方向前进．16．（5分）已知函数f（x）=2x，g(x)=x2+ax（其中a∈R）．对于不相等的实数x1、x2，设m=，n=．现有如下命题：①对于任意不相等的实数x1、x2，都有m＞0；②对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2，都有n＞0；③对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2,使得m=n;④对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2,使得m=﹣n．其中的真命题有（写出所有真命题的序号）．三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知递增的等比数列{an｝的前n项和为Sn，a6=64，a4、a5的等差中项为3a3．（1）求{an}的通项公式；(2）设bn=，求数列bn的前n项和Tn．18．（12分）在△ABC中,角A，B，C所对的边分别为a,b，c，若a2+c2=b2+ac．（1)求B的大小;（2)求cosA+cosC的最大值．19．（12分）等比数列{an｝中,an＞0（n∈N＊），且a1a3=4，a3+1是a2和a4的等差中项，若bn=log2an+1（1)求数列{bn｝的通项公式；（2）若数列{cn}满足cn=an+1+，求数列{cn｝的前n项和．20．（12分)已知向量=(3sinx，cosx），=（﹣cosx，cosx),f（x)=•﹣．（I）求函数f(x)的最大值及取得最大值时x的值；（Ⅱ)若方程f（x）=a在区间［0,］上有两个不同的实数根，求实数a的取值范围．21．(12分)某商人投资81万元建一间工作室,第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把工作室出租，每年收入租金30万元．（1）若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？（2）若干年后该商人为了投资其他项目，对该工作室有两种处理方案：①年平均利润最大时，以46万元出售该工作室；②纯利润总和最大时,以10万元出售该工作室．问该商人会选择哪种方案？22．（12分)已知函数f(x）=+alnx（a≠0，a∈R)．（1）若a=1，求函数f（x）的极值和单调区间；（2）若在区间(0,e]上至少存在一点x0,使得f（x0）＜0成立，求实数a的取值范围．

2017-2018学年河北省邯郸市鸡泽一中高三（上)第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|y=},B={x｜|x|≤2｝，则A∪B=（）A．［﹣2，2] B．[﹣2，4] C．[0，2] D．[0，4］【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：A={x｜y=}=｛x|4x﹣x2≥0}={x|0≤x≤4｝，B=｛x|｜x|≤2}={x｜﹣2≤x≤2｝，则A∪B=｛x｜﹣2≤x≤4｝,故选：B．【点评】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．2．（5分）下列命题是真命题的为（）A．若，则x=y B．若x2=1，则x=1C．若x=y，则 D．若x＜y，则x2＜y2【分析】逐一判断即可．【解答】解:A、由得=0，则x=y,为真命题；B、由x2=1得x=±1，x不一定为1，为假命题；C、若x=y，不一定有意义，为假命题；D、若x＜y＜0，x2＞y2，为假命题；故选A．【点评】本题较简单，A显然正确,其它可不看．3．（5分）已知f（x）满足对∀x∈R，f（﹣x)+f（x）=0，且x≥0时，f（x）=ex+m（m为常数）,则f(﹣ln5)的值为（）A．4 B．﹣4 C．6 D．﹣6【分析】根据已知可得f（0）=0，进而求出m值,得到x≥0时,f(x）的解析式，先求出f（ln5）,进而可得答案．【解答】解：∵f（x）满足对∀x∈R,f（﹣x）+f(x）=0,故f（﹣x)=﹣f（x），故f（0）=0∵x≥0时，f(x）=ex+m，∴f（0）=1+m=0，m=﹣1，即x≥0时，f（x）=ex﹣1，则f（ln5）=4f（﹣ln5）=﹣f（ln5）=﹣4，故选：B．【点评】本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数求值，难度中档．4．(5分)若△ABC的内角A满足sin2A=，则sinA+cosA=（)A． B． C． D．【分析】根据(sinA+cosA）2=1+sin2A，即得答案．【解答】解：由sin2A=2sinAcosA＞0,可知A这锐角，所以sinA+cosA＞0，又，故选A．【点评】考查同角三角函数间的基本关系．5．（5分）已知向量与的夹角是，且｜｜=1，｜|=4，若（3+λ）⊥，则实数λ=（）A．﹣ B． C．﹣2 D．2【分析】直接利用向量的数量积公式求出,进一步利用向量垂直的充要条件求出结果．【解答】解:已知向量与的夹角是，且|｜=1，|｜=4，则:=2，已知：（3+λ）⊥，则：，即：，解得：，故选：A．【点评】本题考查的知识要点：向量的数量积和夹角公式的应用，向量垂直的充要条件及相关的运算问题．6．(5分）已知直线y=kx是y=lnx的切线,则k的值是(）A．e B．﹣e C． D．﹣【分析】欲求k的值，只须求出切线的斜率的值即可，故先利用导数求出在切处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：∵y=lnx，∴y’=,设切点为（m,lnm），得切线的斜率为，所以曲线在点（m，lnm）处的切线方程为：y﹣lnm=×（x﹣m）．它过原点，∴﹣lnm=﹣1，∴m=e,∴k=．故选C．【点评】本小题主要考查直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识,考查运算求解能力．属于基础题．7．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0,|φ｜＜)的图象如图所示,为了得到g（x)=sin2x的图象，则只要将f（x)的图象(）A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度【分析】首先根据函数的图象现确定函数解析式，进一步利用平移变换求出结果．【解答】解：根据函数的图象:A=1又解得：T=π则：ω=2当x=,f(）=sin(+φ）=0解得：所以：f（x）=sin（2x+）要得到g（x）=sin2x的图象只需将函数图象向右平移个单位即可．故选：A【点评】本题考查的知识要点：函数图象的平移变换，函数解析式的求法．属于基础题型8．（5分）若x，y满足，则2x+y的最大值为（）A．0 B．3 C．4 D．5【分析】作出不等式组对应的平面区域，目标函数的几何意义是直线的纵截距，利用数形结合即可求z的取值范围．【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图：(阴影部分）．设z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（1，2）,代入目标函数z=2x+y得z=1×2+2=4．即目标函数z=2x+y的最大值为4．故选：C．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．9．（5分）若对任意的x∈R，y=均有意义，则函数y=loga|｜的大致图象是（）A． B． C． D．【分析】由对数函数的定义知a＞0且a≠1，函数y=loga||的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞)，y=均有意义，判断a的范围,推出0＜a＜1，再把函数表达式中的绝对值去掉，再讨论函数的单调性．【解答】解：由对数函数的定义知a＞0且a≠1，函数y=loga||的定义域为(﹣∞,0)∪（0，+∞)若当x∈R，y=均有意义，则1﹣a|x|≥0，恒成立,可得0＜a＜1．又x＞0时，,∵u=单调递减,y=logau单调递减,∴由复合函数的单调性知单调递增，∵y=loga｜|=loga为偶函数,其图象应关于y轴对称，∴x＜0时,单调递减，综上知，选项B符合，故选：B．【点评】本题主要考查函数的性质，利用函数的奇偶性判断函数的单调性，其中还应用了复合函数单调性的判断，较为综合．10．（5分)已知a＞0，b＞0，且2a+b=1，则+的最小值为(）A．7 B．8 C．9 D．10【分析】利用“乘1法"、基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵a＞0,b＞0，2a+b=1，∴+=（2a+b）=5+=9,当且仅当a=b=时取等号．∴+的最小值为9．故选：C．【点评】本题考查了“乘1法”、基本不等式的性质，属于基础题．11．（5分)已知f（x）=lnx﹣+，g（x）=﹣x2﹣2ax+4,若对∀x1∈(0，2],∃x2∈[1，2]，使得f（x1)≥g（x2）成立，则a的取值范围是（）A．[﹣，+∞） B．[，+∞） C．［﹣，] D．（﹣∞，］【分析】由题意，要使对∀x1∈（0，2],∃x2∈[1，2］，使得f(x1）≥g（x2)成立,只需f(x1）min≥g（x2）min，且x1∈（0，2]，x2∈[1，2]，然后利用导数研究它们的最值即可．【解答】解：因为f′（x)===,易知当x∈（0，1)时，f′（x）＜0，当x∈(1，2）时,f′(x）＞0,所以f(x）在(0，1)上递减，在［1,2］上递增，故f（x)min=f(1)=．对于二次函数g（x)=)=﹣x2﹣2ax+4，该函数开口向下，所以其在区间［1，2］上的最小值在端点处取得，所以要使对∀x1∈（0，2]，∃x2∈［1，2],使得f(x1）≥g（x2)成立，只需f(x1）min≥g(x2）min，即或，所以或．解得．故选A．【点评】本题考查了不等式恒成立问题以及不等式有解问题的综合思路，概念性很强，注意理解．12．（5分）设函数,若关于x的方程[f(x)]2﹣af（x)=0恰有三个不同的实数解,则实数a的取值范围为()A．（0，1］ B．（0，1） C．［1，+∞） D．(﹣∞，1）【分析】画出函数,令t=f（x），则要使方程[f(x）］2﹣af（x）=0恰有三个不同的实数解,可得方程t2﹣at=0一个根为0,另一根a∈（0,1］．【解答】解：作出函数的图象如图，令t=f（x）,要使方程[f(x）]2﹣af(x）=0恰有三个不同的实数解，则方程t2﹣at=0一个根为0，另一根a∈（0，1］．故选：A．【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．二、填空题：本大题共4小题,每小题5分，满分20分。13．（5分)已知数列｛an}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，则数列{an}的前n项和等于2n﹣1．【分析】利用等比数列的性质，求出数列的首项以及公比，即可求解数列{an}的前n项和．【解答】解:数列{an}是递增的等比数列，a1+a4=9,a2a3=8，可得a1a4=8，解得a1=1，a4=8，∴8=1×q3，q=2,数列｛an}的前n项和为：=2n﹣1．故答案为：2n﹣1．【点评】本题考查等比数列的性质，数列｛an}的前n项和求法,基本知识的考查．14．(5分)若函数f（x）=4sin5ax﹣4cos5ax的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则实数a的值为±．【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式,再利用正弦函数的图象的周期性和对称性,可得|｜=，由此求得实数a的值．【解答】解：∵函数f（x）=4sin5ax﹣4cos5ax=8（sin5ax﹣cos5ax)=8sin（5ax﹣)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为｜|=，∴a=±，故答案为:．【点评】本题主要考查辅助角公式，正弦函数的图象的周期性和对称性，属于基础题．15．（5分）甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a海里的B处，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的倍，甲船为了尽快追上乙船，则应取北偏东30°（填角度)的方向前进．【分析】根据题意画出图形,求出∠CAB与∠B的度数，设出追上乙船的时间，表示出BC与AC，在三角形ABC中，利用正弦定理列出关系式，即可求出θ的度数．【解答】解：根据题意得：∠CAB=60°﹣θ，∠B=120°，设追上乙船的时间为x，则有BC=x，AC=x，在△ABC中，利用正弦定理，即=，∴=sin(60°﹣θ），即sin(60°﹣θ）=,∴60°﹣θ=30°，即θ=30°．故答案为：30°【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于基本知识的考查．16．（5分）已知函数f（x)=2x,g(x)=x2+ax(其中a∈R）．对于不相等的实数x1、x2，设m=,n=．现有如下命题：①对于任意不相等的实数x1、x2，都有m＞0；②对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2，都有n＞0；③对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=n;④对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=﹣n．其中的真命题有①④（写出所有真命题的序号）．【分析】运用指数函数的单调性，即可判断①;由二次函数的单调性，即可判断②；通过函数h（x）=x2+ax﹣2x,求出导数判断单调性，即可判断③;通过函数h(x）=x2+ax+2x，求出导数判断单调性，即可判断④．【解答】解：对于①，由于2＞1，由指数函数的单调性可得f（x）在R上递增，即有m＞0，则①正确;对于②,由二次函数的单调性可得g（x）在（﹣∞,﹣）递减，在（﹣,+∞）递增，则n＞0不恒成立，则②错误;对于③，由m=n，可得f（x1）﹣f（x2）=g(x1)﹣g（x2），即为g（x1）﹣f(x1）=g（x2）﹣f（x2），考查函数h（x)=x2+ax﹣2x，h′（x）=2x+a﹣2xln2，当a→﹣∞，h′（x)小于0,h（x)单调递减，则③错误;对于④，由m=﹣n，可得f（x1）﹣f（x2)=﹣［g（x1)﹣g（x2）］，考查函数h（x）=x2+ax+2x,h′（x）=2x+a+2xln2，对于任意的a,h′（x）不恒大于0或小于0，则④正确．故答案为：①④．【点评】本题考查函数的单调性及运用,注意运用指数函数和二次函数的单调性，以及导数判断单调性是解题的关键．三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知递增的等比数列｛an｝的前n项和为Sn，a6=64，a4、a5的等差中项为3a3．（1）求{an}的通项公式；（2）设bn=，求数列bn的前n项和Tn．【分析】（1）根据已知条件列出方程组,求出a1，q，代入通项公式即可；（2）根据｛bn}的通项公式特点可知使用错位相减法求和．【解答】解：（1）设等比数列{an}的公比为q，∵a6=64,a4、a5的等差中项为3a3．∴,解得或．∵{an｝是递增数列，∴a1=2，q=2．∴an=a1qn﹣1=2n．(2）bn==．∴Tn=++++…++．∴=++++…++．∴=++++…+﹣=﹣=(1﹣)﹣=﹣•﹣．∴Tn=﹣•﹣．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及数列求和，弄清数列类型找到与之对应的求和方法是关键．18．(12分）在△ABC中，角A，B,C所对的边分别为a，b，c，若a2+c2=b2+ac．（1)求B的大小；（2）求cosA+cosC的最大值．【分析】(1)利用余弦定理即可求出．（2）利用三角形内角和定理结合三角函数的有界限求解最大值．【解答】解:（1)由题意,a2+c2=b2+ac．余弦定理：cosB==．∵0＜B＜π∴B=，（2）∵A+B+C=π，B=，则C=．那么：cosA+cosC=cosA+cos（）==sin（A+)．∵∴＜A+＜π当A=时，取得最大值为1．即cosA+cosC的最大值1．【点评】本题考查了三角函数性质的运用和余弦定理，三角形内角和定理的计算．19．(12分）等比数列｛an}中,an＞0（n∈N*）,且a1a3=4，a3+1是a2和a4的等差中项，若bn=log2an+1（1）求数列｛bn}的通项公式;（2）若数列｛cn｝满足cn=an+1+，求数列{cn｝的前n项和．【分析】（1）求数列｛an｝的通项公式,设出公比为q，由a1a3=4，a3+1是a2和a4的等差中项，这两个方程联立即可求出首项与公比，通项易求．（2）确定数列{cn}的通项，分组求和即可．【解答】解：（1)设等比数列{an｝的公比为q．由a1a3=4可得a22=4因为an＞0，所以a2=2依题意有a2+a4=2（a3+1），得2a3=a4=a3q因为a3＞0，所以，q=2所以数列{an｝通项为an=2n﹣1，所以bn=log2an+1=n；…（6分）（2）设数列｛cn}的前n项和为Sn．∵cn=an+1+=2n+（﹣）…(8分）∴Sn=+（1﹣+﹣+…﹣）=2n+1﹣2+…（12分）【点评】本题考点是等差数列与等比数列的综合,考查等比数列的通项公式、等差数列的性质以及分组求和的技巧，以及根据题设条件选择方法的能力20．(12分）已知向量=（3sinx，cosx），=（﹣cosx,cosx）,f（x)=•﹣．(I）求函数f（x）的最大值及取得最大值时x的值；（Ⅱ)若方程f（x）=a在区间[0，］上有两个不同的实数根,求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据向量的数量积运算，化简得到f（x）=sin（2x+），根据三角函数的性质求出最值，（Ⅱ）求出函数f（x）的单调区间，并画出y=f（x）和y=a的图象,由图象可得到答案．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=•﹣=﹣3sinxcosx+cos2x﹣=﹣sin2x+（1+cos2x）﹣=﹣sin2x+cos2x=sin（2x+）当2x+=2kπ+，即x=kπ﹣，k∈Z时,函数f(x）取得最大值,(Ⅱ）由于x∈[0，］时，2x+∈[，],而函数f（x）在区间［，]上单调递减,在区间［,］上单调递增，结合图象（如图)，所以方程f（x）=a在区间[0，]上有两个不同的实数根时，a∈(﹣，﹣］．【点评】本题考查了向量的运算和三角函数的化简,以及参数的取值范围，属于中档题．21．（12分)某商人投资81万元建一间工作室,第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元,把工作室出租，每年收入租金30万元．(1）若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？(2）若干年后该商人为了投资其他项目,对该工作室有两种处理方案:①年平均利润最大时，以46万元出售该工作室；②纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室．问该商人会选择哪种方案？【分析】（1）设第n年获取利润为y万元．n年付出的装修费构成一个首项为1，公差为2的等差数列，求出n年付出的装修费之和,列出利润y=30n﹣n2﹣81（n∈N*）．然后求解不等式即可得到结果．（2)方案①：年平均利润t=，利用基本不等式求解最值即可；方案②：纯利润总和y=30n﹣n2﹣81利用二次函数的性质求解最值即可．【解答】解：（1）设第n年获取利润为y万元．n年付出的装修费构成一个首项为1,公差为2的等差数列,n年付出的装修费之和为n×1+×2=n2，又投资81万元，n年共收入租金30n万元，∴利润y=30n﹣n2﹣81（n∈N*)．令y＞0，即30n﹣n2﹣81＞0，∴n2﹣30n+81＜0,解得3＜n＜27（n∈N＊),∴从第4年开始获取纯利润．（2）方案①：年平均利润t==30﹣﹣n=30﹣(+n)≤30﹣2=12（当且仅当=n，即n=9时取等号),∴年平均利润最大时,以46万元出售该工作室共获利润12×9+46=154(万元）．方案②:纯利润总和y=30n﹣n2﹣81=﹣（n﹣15）2+144（n∈N*），当n=15时，纯利润总和最大，为144万元，∴纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室共获利润144+10=154(万元），两种方案盈利相同,但方案①时间比较短,所以选择方案①．【点评】本题考查数列的实际应