2022年数学：第一章《计数原理》测试

1、- 1 - 第 1 章计数原理一、选择题 (本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1一次考试中，要求考生从试卷上的9 个题目中选6 个进行答题，要求至少包含前5 个题目中的 3 个，则考生答题的不同选法的种数() a 40 b74 c84 d200 解析：分三类：第一类，前5 个题目的3 个，后 4 个题目的3 个，第二类，前5 个题目的4 个，后 4 个题目的2 个，第三类，前5 个题目的5 个，后 4 个题目的1 个，由分类加法计数原理得c53c43 c54c42c55c41 74. 答案：b 2在x13x24 的展开式中，

2、x 的幂指数是整数的项共有() a 3 项b4 项c5 项d6 项解析：tr1c24rx1224r x13rc24rx1256r，所求 x 的幂指数是整数的项必须满足56r为整数且0r 24，故 r0,6,12,18,24，所求项共有5 项答案：c 3某次文艺汇演，要将a、b、c、d、e、f这六个不同节目编排成节目单，如下表：序号1 2 3 4 5 6 节目如果 a、b两个节目要相邻，且都不排在第3 号位置，那么节目单上不同的排序方式有() a 144 种b192 种c96 种d72 种解析：第一步，将c、d、e、f全排，共有a44 种排法，产生5 个空，第二步，将a、 b捆绑有 2 种方法，

3、第三步， 将 a、b 插入除 2 号空位和3 号空位之外的空位，有 c31 种，所以一共有144 种方法答案：a 4若 (2x3)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则 (a0 a2a4)2(a1a3)2 的值为 () a 2 b1 c0 d1 解析：(a0 a2 a4)2 (a1 a3)2 (a0 a1 a2 a3 a4)(a0 a1 a2 a3 a4) (23)4 (23)4 1. 答案：d 5用 4 种不同的颜色涂入图中的矩形a、b、c、d 中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同涂法有 () 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页

4、，共 5 页 - - - - - - - - - 2 - a b c d a.72 种b48 种c24 种d12 种解析：涂 a 共 4 种涂法，则b 有 3 种涂法， c有 2 种涂法， d 有 3 种涂法共有 432372 种涂法答案：a 6有两排座位，前排11 个座位，后排10 个座位现安排2 人就坐，规定前排中间的3 个座位不能坐，并且这2 人不左右相邻，那么不同排法的种数是() a 234 b276 c350 d363 解析：采用间接法：因为前排中间的3 个座位不能坐，所以共有a182306 种不同的坐法，其中 2 人左右相邻的坐法有15a22 30 种不同的坐法不同排法的种数是30

5、630276 种答案：b 7(1 3x)n(其中 nn 且 n 6) 的展开式中x5 与 x6 的系数相等，则n() a 6 b7 c8 d9 解析：注意到二项式 (13x)n 的展开式的通项是tr1 cnr1n r (3x)r cnr3r xr，于是依题意有 cn5 35cn6 36，即5！36！(n 6)，由此解得n7. 答案：b 8在 (1x)n 的展开式中，奇数项之和为p，偶数项之和为q，则 (1x2)n 等于 () a 0 bpq cp2q2 dp2q2 解析：由于 (1x)n 与(1x)n 展开式中奇数项相同，偶数项互为相反数，因此 (1x)npq，所以 (1x2)n(1x)n(1

6、x)n(pq)(p q)p2q2. 答案：c 9直线 l1l2，l1 上有 4 个点， l2 上有 6 个点，以这些点为端点连成线段，他们在l1 与 l2 之间最多的交点个数是() a 24 b45 c80 d90 解析：因为在直线l1 和 l2 上分别取2 个点构成四边形的个数为c42c62 90，又因为每一个四边形的对角线有1 个交点，故交点的个数最多为90 个答案：d 10若2x1xn 展开式中含1x2项的系数与含1x4项的系数之比为5，则 n 等于 () a 4 b6 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - -

7、 - - - - - - - 3 - c8 d10 解析：展开式通项为tk1cnk(2x)nk 1xk (1)k2nkcnk xn2k. 选项 a 中若 n 4，k4，则 tk1( 1)k 24kc4kx42k，当 42k 2 时， k3，当 42k 4 时， k4，则 t4(1)3243c43x2 8x2，t5(1)420c44x 4x4，此时系数比不是5. 选项 b中若 n 6，则 tk1(1)k26kc6kx62k，当 62k 2 时， k4，当 62k4 时， k5，则 t5(1)4 22c64x260 x 2，t6(1)521c65x4 12x4，此时系数比为 5，所以 b正确，同理

8、可以验证c、d 选项不正确答案：b 二、填空题 (本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分请把正确答案填在题中横线上) 11设二项式xax6(a0)的展开式中x3 的系数为 a，常数项为b，若 b4a，则 a 的值是_解析：xax6 展开式的通项为tr1 c6rx6raxr(a)rc6rx63r2当 r2 时， x3 的系数 a(a)2c6215a2，当 r4 时，常数项b(a)4c6415a4，b4a，得 15a4415a2 ， a0，得 a2. 答案：2 12在由数字0,1,2,3,4,5 组成的没有重复数字的四位数中，不能被5 整除的数共有_个解析：所有由 0,1,2,3,4,5 组

9、成的 4 位数， 共有 a51 a53300 个，末尾为 0 的有 a5360 个，末尾为 5 的有 a41 a4248(个)故满足题意的数共有3006048192(个)答案：192 13如图是由12 个小正方形组成的34矩形网格，一质点沿网格线从点a 到点 b的不同路径之中，最短路径有_条解析：把质点沿网格线从点a 到点 b 的最短路径分为七步，其中四步向右，三步向下，不同走法的区别在于哪三步向下，因此，本题的结论是：c7335. 答案：35 14(x1)3(x2)8a0 a1(x1)a2(x1)2 a8(x1)8 则 a6_. 解析：(x1)3(x2)8(x1)23(x1)18 a6(x1

10、)6c82(x1)6(1)228(x1)6 a628. 答案：28 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - 4 - 三、解答题 (本大题共4 小题， 共 50 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15(本小题满分12 分)某班有男生28 名、女生20 名，从该班选出学生代表参加校学代会(1)若学校分配给该班1 名代表，则有多少种不同的选法？(2)若学校分配给该班2 名代表，且男、女生代表各1 名，则有多少种不同的选法？解析：(1)选出 1 名代表，可以选男生，也可以选女生

11、，因此完成“ 选 1 名代表 ” 这件事分2类：第 1 类，从男生中选出1 名代表，有28 种不同方法；第 2 类，从女生中选出1 名代表，有20 种不同方法根据分类加法计数原理，共有282048 种不同的选法(2)完成 “ 选出男、女生代表各1 名” 这件事，可以分2 步完成：第 1 步，选 1 名男生代表，有28 种不同方法；第 2 步，选 1 名女生代表，有20 种不同方法根据分步乘法计数原理，共有2820 560 种不同的选法16 (本小题满分12 分)若x13x2n 的第 5 项的二项式系数与第3项的二项式系数的比是143，求展开式中的常数项解析：由题意有 cn4cn2143，解得

12、n10(n 5 舍去 ) tr1 c10r( x)10r13x2r c10rx10r213rx2r 13rc10rx10r22r，令10r22r0， r2. 常数项为132c1025. 17(本小题满分12 分)有 6 本不同的书，分给甲、乙、丙三个人(1)如果每人得两本，有多少种不同的分法？(2)如果一个人得1 本，一个人得2 本，一个人得3 本，有多少种不同的分法？(3)如果把这6 本书分成三堆，每堆两本有多少种不同分法？解析：(1)假设甲先拿，则甲从6 本不同的书中选取2 本有 c6215 种方法，不论甲取走的是哪两本书，乙再去取书时只能有c426 种，此时剩下的两本书自然给丙，就只有c

13、221种方法，由分步乘法计数原理得一共有c62 c42 c22 90 种不同分法(2)先假设甲得1 本，乙得 2 本，丙得 3 本，则有 c61c52c33种方法，一共有c61c52c33a33 6 106360 种不同分法(3)把 6 本书分成三堆，每堆2 本，与次序无关所以一共有c62c42c22a3315 种不同分法18(本小题满分14 分)若 (x23x2)5a0a1xa2x2 a10 x10. (1)求 a2；(2)求 a1a2 a10；(3)求(a0a2a4a6a8a10)2(a1a3 a5a7a9)2. 解析：(1)方法一： (x23x2)5(x1)5(x2)5，精品学习资料 可

14、选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 5 - (x1)5 展开式的通项公式为c5r(1)r x5r(0 r 5)；(x2)5 展开式的通项公式为c5s(2)s x5s(0 s 5)，所以 (x2 3x2)5 展开式的通项公式为c5rc5s(1)r s2sx10rs，令 rs8，得r3s5或r4s4或r5s3. 所以展开式中x2 的系数为c53c5525c54c5424c55c5323800，即 a2800. 方法二： (x23x2)5 的本质是5 个 x2 3x2 相乘，由多项式的乘法法则，产生含x2 的项有两种可能： 5 个 x23x2 中有一个取含x2 的项，其他的取常数项，得到的系数是c51 2480； 5 个 x23x2 中有两个取x 的项，其他的取常数项，得到的系数是c52 (3)223720，展开式中含x2 的项的系数是80720 800，即 a2