二元一次不等式与线性规划

1、二元一次方程表示的图形二元一次方程表示的图形一、一次函数一、一次函数y=kx+b的图像的图像1、一次函数、一次函数y=kx+b的图像是一条直线的图像是一条直线2、作、作y=kx+b的图像可以取两个特殊点（两点确的图像可以取两个特殊点（两点确定直线）定直线）3、当、当k0时时,函数单调递增函数单调递增 当当k0,q1)（1）求数列a 的通项公式（2）当q=时，证明:S1111,(2)(1)343nnnnaqS答案：（）二元一次不等式表示平面区域二元一次不等式表示平面区域类比学习类比学习 一元一次不等式（组）的解集所一元一次不等式（组）的解集所表示的图形表示的图形 数轴上的区间。数轴上的区间。 在

2、数轴上，在数轴上，方程方程x=3表示一个点表示一个点 不等式不等式x3表示什么？表示什么？表示什么？不等式组21xx类比比学习类比比学习在平面内，在平面内，方程方程x=3的解集表示一条直线的解集表示一条直线的解集表示什么？不等式组21xx不等式不等式x3的解集表示什么？的解集表示什么？ x y 6 的解集所表示的图形的解集所表示的图形。 作出作出x y = 6的图像的图像 一条直线一条直线Oxyx y = 6左上方区域左上方区域右下方区域右下方区域直线把平面内所有点分成三类直线把平面内所有点分成三类:a)a)在直线在直线x y = 6上的点上的点b)b)在直线在直线x y = 6左上方区域内左

3、上方区域内的点的点c)c)在直线在直线x y = 6右下方区域内右下方区域内 的点的点-66下面研究一个具体的二元一次不等式下面研究一个具体的二元一次不等式 结论结论 在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式以二元一次不等式x y 6的解为坐标的点都在的解为坐标的点都在直线直线x y = 6的左上方；的左上方；反过来，直线反过来，直线x y = 6左左上方的点的坐标都满足上方的点的坐标都满足不等式不等式x y 6。 Oxyx y = 6 结论结论 不等式不等式x y 6表示直线表示直线x y = 6右下方的平面区域；右下方的平面区域； 直线叫做这两个区域的直线叫做这两个区域的边

4、界。边界。 注意：把直把直线画成虚线以线画成虚线以表示区域不包表示区域不包括边界括边界小结：小结： 二元一次不等式二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角在平面直角坐标系中表示直线坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所某一侧所有点组成的平面区域。有点组成的平面区域。 确定步骤：确定步骤： 直线定界，特殊点定域；直线定界，特殊点定域； 若若C0，则直线定界，原点定域；，则直线定界，原点定域；例1：（1）画出不等式 x + 4y 4表示的平面区域 x+4y4=04=0 xy解：解：(1)直线定界直线定界:先画直线先画直线x + 4y 4 = 0（画成虚线）（画成虚线）(2)特殊点定域特殊点定域

5、:取原点（取原点（0，0），代入），代入x + 4y - - 4，因为因为 0 + 40 4 = -4 0所以，原点在所以，原点在x + 4y 4 0表示的平面区域内，表示的平面区域内，不等式不等式x + 4y 4 0表示的区域如图所示。表示的区域如图所示。例题例题14(2)(2)画出不等式画出不等式 -4-4x-x-3 3y y12 12 表示的平面区域表示的平面区域y -3x+12 x 0表示的区域在直线表示的区域在直线x 2y + 6 = 0的（的（ ）（A）右上方）右上方 （B）右下方）右下方 （C）左上方）左上方 （D）左下方）左下方2、不等式、不等式3x + 2y 6 0表示的平面

6、区域是（表示的平面区域是（ ）BD二元一次不等式组表示平面区域二元一次不等式组表示平面区域例例2：画出不等式组画出不等式组 表示的平面区域表示的平面区域3005xyxyx注：不等式组表示的平面区域是各不等式注：不等式组表示的平面区域是各不等式所表示平面区域的公共部分。所表示平面区域的公共部分。OXYx+y=0 x=3x-y+5=0-55242yyxxy9362323xyyxxyx练习练习2 :1.画出下列不等式组表示的平面区域画出下列不等式组表示的平面区域4oxY-22OXY332（1）（2）3、不等式组、不等式组B36020 xyxy表示的平面区域是（表示的平面区域是（ ）则用不等式可表示为

7、则用不等式可表示为:020420yyxyx解：此平面区域在此平面区域在x-y=0的右下方，的右下方， x-y0它又在它又在x+2y-4=0的左下方，的左下方， x+2y-40它还在它还在y+2=0的上方，的上方， y+20Yox4-2x-y=0y+2=0 x+2y-4=02求由三直线求由三直线x-y=0;x+2y-4=0及及y+2=0所围成的平面区域所表示的不等式。所围成的平面区域所表示的不等式。 二元一次不等式表示平面区域：二元一次不等式表示平面区域： 直线某一侧所有点组成的平面区域。直线某一侧所有点组成的平面区域。 判定方法：判定方法： 直线定界，特殊点定域。直线定界，特殊点定域。小结：小

8、结： 二元一次不等式组表示平面区域：二元一次不等式组表示平面区域： 各个不等式所表示平面区域的公共部分。各个不等式所表示平面区域的公共部分。线性规划应用问题线性规划应用问题39 某工厂用某工厂用A A、B B两种配件生产甲、乙两种产品，每两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用生产一件甲产品使用4 4个个A A配件耗时配件耗时1h1h，每生产一件，每生产一件乙产品使用乙产品使用4 4个个B B配件耗时配件耗时2h2h，该厂每天最多可从配，该厂每天最多可从配件厂获得件厂获得1616个个A A配件和配件和1212个个B B配件，按每天工作配件，按每天工作8h8h计计算，该厂所有可能的日生产

9、安排是什么？算，该厂所有可能的日生产安排是什么？解：按甲、乙两种产品分别生产解：按甲、乙两种产品分别生产x x、y y件，由已知条件，由已知条件可得二元一次不等式组件可得二元一次不等式组 2 y8284 x1 644 y1 23x00y00 xxyxyxy yx4843o 若生产一件甲产品获利若生产一件甲产品获利2 2万元，生产万元，生产一件乙产品获利一件乙产品获利3 3万元，采用那种生产万元，采用那种生产安排利润最大？安排利润最大？ 设工厂获得的利润为设工厂获得的利润为z z，则，则z z2x2x3y3y把把z z2x2x3y3y变形为变形为 它表示斜率为它表示斜率为 的直的直线系，线系，z

10、 z与这条直线的与这条直线的截距有关。截距有关。233zyx 23 如图可见，当直线经过区域上的点如图可见，当直线经过区域上的点MM时，截距最大，时，截距最大，即即z z最大。最大。M28xy 284300 xyxyxy 4x 甲、乙两种产品分别生产甲、乙两种产品分别生产x x、y y件件0824yxxx解方程组)2,4(M求得）（万元取得最大值时所以，当1432,24maxzyxzyx 二、基本概念二、基本概念yx4843o 把求最大值或求最小值的的函数称为目标函数，因为把求最大值或求最小值的的函数称为目标函数，因为它是关于变量它是关于变量x x、y y的一次解析式，又称线性目标函数。的一次

11、解析式，又称线性目标函数。 满足线性约束的解满足线性约束的解（x x，y y）叫做可行解。）叫做可行解。 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题。问题，统称为线性规划问题。 一组关于变量一组关于变量x x、y y的一次不等式，称为线性约束条的一次不等式，称为线性约束条件。件。 由所有可行解组成的由所有可行解组成的集合叫做可行域。集合叫做可行域。 使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解。这个问题的最优解。可行域可行域可行解可行解最优解最优解有关概念有关概念 由由

12、x，y 的不等式的不等式(或方程或方程)组成的不等式组称为组成的不等式组称为x，y 的的约束约束条件条件。关于。关于x，y 的一次不等式或方程组成的不等式组称为的一次不等式或方程组成的不等式组称为x，y 的的线性约束条件线性约束条件。 欲达到最大值或最小值所涉及的变量欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y 的解析式称为的解析式称为目目标函数标函数。关于。关于x，y 的一次目标函数称为的一次目标函数称为线性目标函数线性目标函数。 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题称为称为线性规划问题线性规划问题。 满足线性约束条件的解（满足线性约

13、束条件的解（x，y）称为）称为可行解可行解。所有可行解。所有可行解组成的集合称为组成的集合称为可行域可行域。 使目标函数取得最大值或最小值的可行解称为使目标函数取得最大值或最小值的可行解称为最优解最优解。一、线性规划在实际中的应用：一、线性规划在实际中的应用：线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用，线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用，一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人

14、力、物力、资金等资源来完成该项任务物力、资金等资源来完成该项任务下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用：下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用： 例例5、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供供0.075kg的碳水化合物，的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，的蛋白质，0.06kg的脂肪，的脂肪，1kg食物食物A含有含有0.105kg碳水化合物，碳水化合物，0.07kg蛋白质，蛋白质，0.14kg脂肪，花费脂肪，花费28元；而元；而1kg食物食物B含有含有0.105kg碳水化合物，碳水化合物，0.14kg蛋白质，蛋白质，0.07kg脂肪，

15、脂肪，花费花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物和食物B多少多少kg？分析：将已知数据列成表格分析：将已知数据列成表格食物kg碳水化合物kg蛋白质/kg脂肪kgA0.1050.070.14B0.1050.140.07解：设每天食用解：设每天食用xkg食物食物A，ykg食物食物B，总成本为，总成本为z，那么那么0.1050.100.0757750.070.140.0671460.140.070.0614760000 xyxyxyxyxyxyxxyy目标函数为：目标函数为：z2

16、8x21y作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域1、找、找把目标函数把目标函数z28x21y 变形为变形为xyo/ 575/76/73/73/76/74321zyx 它表示斜率为它表示斜率为 纵截纵截距随距随z变化的一组平行变化的一组平行直线直线34 是直线在是直线在y轴上轴上的截距，当截距最的截距，当截距最小时，小时，z的值最小。的值最小。21zM如图可见，当直线如图可见，当直线z28x21y 经过可行经过可行域上的点域上的点M时，纵截距时，纵截距最小，即最小，即z最小。最小。43yx 2、画、画3 3、移移M点是两条直线的交点，解方程组

17、点是两条直线的交点，解方程组6714577yxyx得得M点的坐标为：点的坐标为：7471yx所以所以zmin28x21y16 由此可知，每天食用食物由此可知，每天食用食物A143g，食物，食物B约约571g，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为最低成本为16元。元。4 4、求求5 5、答答49解线性规划问题的步骤：解线性规划问题的步骤： （1 1）2 2、画画： 画出线性约束条件所表示的可行域；画出线性约束条件所表示的可行域； （2 2）3 3、移移： 在线性目标函数所表示的一组平行线中，在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行

18、域有公共点利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；且纵截距最大或最小的直线； （3 3）4 4、求求：通过解方程组求出最优解；：通过解方程组求出最优解； （4 4）5 5、答：作出答案。答：作出答案。 1 1、找、找 找出线性约束条件、目标函数；找出线性约束条件、目标函数； 某工厂现有两种大小不同规格的钢板可截成某工厂现有两种大小不同规格的钢板可截成A、B、C三种规格，三种规格，每张钢板可同时截得三种规示每张钢板可同时截得三种规示 ：格的小钢板的块数如下表所格的小钢板的块数如下表所解：解：设需截第一种钢板设需截第一种钢板x张，第二种钢板张，第二种钢板y张，张，钢板钢板总总张

19、数为张数为Z则则,规格类型规格类型钢板类型钢板类型第一种钢板第一种钢板第二种钢板第二种钢板A规格规格B规格规格C规格规格2121312x+y15,x+2y18,x+3y27,x0y0 某顾客需要某顾客需要A,B,C三种规格的成品分别为三种规格的成品分别为15，18，27块，块，若你是若你是经理经理,问各截这两种钢板多少张既能满足顾客要求又使所用钢板张问各截这两种钢板多少张既能满足顾客要求又使所用钢板张数最少数最少。分分析析问问题题: :例题例题6 6标目函数标目函数: z=x+y) )N Ny y, ,x x( ( x0y2x+y=15x+3y=27x+2y=18x+y =02x+y15,x+

20、2y18,x+3y27,x0, y0直线直线x+y=12经过的整点是经过的整点是B(3,9)和和C(4,8)，它们是最优解，它们是最优解. 作出直线作出直线L:x+y=0，目标函数目标函数:z= x+yB(3,9)C(4,8)A(3.6,7.8)当直线当直线L经过点经过点A时时z=x+y=11.4,解得交点解得交点B,C的坐标的坐标B(3,9)和和C(4,8)2 4 6181282724681015但它不是最优整数解但它不是最优整数解.约束条件约束条件:画可行域画可行域平移平移L找交点及交点坐标找交点及交点坐标) )N Ny y, ,x x( ( 调整优解法调整优解法x0y2x+y=15x+3

21、y=27x+2y=18x+y =02x+y15,x+2y18,x+3y27,x0, xN*y0 yN*经过可行域内的整点经过可行域内的整点B(3,9)和和C(4,8)且和原点距离最近的直线是且和原点距离最近的直线是x+y=12，它们是最优解，它们是最优解.作出一组平行直线作出一组平行直线t = x+y，目标函数目标函数t = x+yB(3,9)C(4,8)A(18/5,39/5)打网格线法打网格线法在可行域内打出网格线在可行域内打出网格线，当直线经过点当直线经过点A时时t=x+y=11.4,但它不是最优整数解但它不是最优整数解，将直线将直线x+y=11.4继续向上平移继续向上平移，121218

22、2715978 即先求非整数条件下的最优解，即先求非整数条件下的最优解，调整调整Z的值使不定方程的值使不定方程Ax+By=Z存在最大（小）存在最大（小）的整点值，最后筛选出整点最优解的整点值，最后筛选出整点最优解 即先打网格，描出可行域内的即先打网格，描出可行域内的整点整点，平移直线，最先经过或最后经过的整点平移直线，最先经过或最后经过的整点坐标即为最优整解坐标即为最优整解线性规划求最优整数解的一般方法线性规划求最优整数解的一般方法:1. 1.平移找解法：平移找解法： 2. 2.调整优解法调整优解法：小结：小结：例例1一个小型加工厂造一个小型加工厂造A、B型两类桌子，每张桌型两类桌子，每张桌子

23、需要木工和漆工两道工序完成，已知木工做一子需要木工和漆工两道工序完成，已知木工做一张张A、B型桌子分别需要型桌子分别需要1小时和小时和2小时，漆工油漆小时，漆工油漆一张一张A、B型桌子分别需要型桌子分别需要3小时和小时和1小时，又知木小时，又知木工、漆工每天工作分别不得超过工、漆工每天工作分别不得超过8小时、小时、9小时，小时，而工厂造一张而工厂造一张A、B型桌子可分别获得型桌子可分别获得20元、元、30元的利润，试问工厂每天生产元的利润，试问工厂每天生产A、B型桌子各多少型桌子各多少张，可获得最大利润？最大利润是多少？张，可获得最大利润？最大利润是多少？应用题备选应用题备选答：工厂每天生产答

24、：工厂每天生产A型桌子型桌子2张，张，B型桌子型桌子3张，可获得最大张，可获得最大利润利润130元元例例2某工厂要制造某工厂要制造A种电子装置种电子装置45台，台，B种电子种电子装置装置55台，需用薄钢板给每台装置配一个外壳，台，需用薄钢板给每台装置配一个外壳，已知薄钢板的面积有两种规格：甲种薄板每张已知薄钢板的面积有两种规格：甲种薄板每张面积面积2m2，可做，可做A种外壳种外壳3个，个，B种外壳种外壳5个，个，乙种薄板每张面积乙种薄板每张面积3m2，可做，可做A、B种外壳各种外壳各6个，求两种薄板各用多少张，才能使总的用料个，求两种薄板各用多少张，才能使总的用料面积最小？面积最小？应用题备选

25、应用题备选答：当甲种薄板用答：当甲种薄板用5张，乙种薄板用张，乙种薄板用5张时，总的用料面积最张时，总的用料面积最小，最小面积为小，最小面积为25m2练习练习1某玩具厂生产甲、乙两种玩具，生产每件甲种某玩具厂生产甲、乙两种玩具，生产每件甲种玩具需要经过第一道工序玩具需要经过第一道工序2小时，第二道工序小时，第二道工序2小时；小时；生产每件乙种玩具需要经过第一道工序生产每件乙种玩具需要经过第一道工序2小时，第二小时，第二道工序道工序4小时；第一道工序有小时；第一道工序有2位工人，第二道工序位工人，第二道工序有有3位工人，他们每人每周工作位工人，他们每人每周工作40小时，已知甲种玩小时，已知甲种玩

26、具每件能获得利润具每件能获得利润30元，乙种玩具每件能获得利润元，乙种玩具每件能获得利润40元，假定工人生产的玩具都能卖出去，问每周两元，假定工人生产的玩具都能卖出去，问每周两种玩具各生产多少件才能使获得的利润最大？最大种玩具各生产多少件才能使获得的利润最大？最大利润是多少？利润是多少？ 应用题备选应用题备选答：每周生产甲种玩具答：每周生产甲种玩具20件，乙种玩具件，乙种玩具20件，可获得最大件，可获得最大利润利润,最大利润为最大利润为1400元元 练习2某农场种植某农场种植A、B两种作物，需用甲、乙两两种作物，需用甲、乙两种化肥，已知种植种化肥，已知种植A、B作物每亩分别需要甲种化作物每亩分

27、别需要甲种化肥肥200kg、300kg,需要乙种化肥需要乙种化肥400kg、200kg,而现有的化肥量为甲种化肥而现有的化肥量为甲种化肥10000kg,乙种化肥乙种化肥12000kg，每亩，每亩A作物可获得利润作物可获得利润6万元，每亩万元，每亩B作物可获得利润作物可获得利润6万元，问：在现有条件下，如万元，问：在现有条件下，如何安排种植作物才能使得利润最大？何安排种植作物才能使得利润最大？应用题备选应用题备选答：当种植答：当种植A种植物种植物20亩，亩，B种植物种植物20亩时亩时 ，能使获，能使获 得利润最大。得利润最大。练习练习3预计用预计用2000元购买单价为元购买单价为50元的桌子和元

28、的桌子和20元的椅子，希望使桌、椅的总数尽可能多，但椅元的椅子，希望使桌、椅的总数尽可能多，但椅子不少于桌子，且不多于桌子数的子不少于桌子，且不多于桌子数的1.5倍，问桌、倍，问桌、椅各买多少才行？椅各买多少才行？ 答：应买桌子答：应买桌子25张，椅子张，椅子37张才行。张才行。应用题备选应用题备选练习4某家具厂有方木料某家具厂有方木料90m3，五合板，五合板600m3，准，准备加工成书桌和书橱，已知每张书桌要方木料备加工成书桌和书橱，已知每张书桌要方木料0.1m3，五合板，五合板2m3，生产每个书橱要方木料，生产每个书橱要方木料0.2m3，五合板，五合板1m3，出售一张书桌可获得利润，出售一张书桌可获得利润80元，出售一张书橱可获得利润元，出售一张书橱可获得利润120元，怎样安排元，怎样安排生产可使所获得的利润最大？生产可使所获得的利润最大？ 应用题备选应用题备选答：当生产书桌答：当生产书桌100张，书橱张，书橱400张时，能使获得张时，能使获得的的 利润最大。利润最大。练习5某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少运送某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少运送180吨支援物质的任务，该公司有吨支援物质的任务，该公司有8辆载重量为辆载重量为6吨的吨的A型卡车和型卡车和4辆载重量为辆载重量为10吨的吨的B型卡车，有型卡车，有1