平面向量的数量积与运算律

1、sF 一个物体在力一个物体在力F 的作用下产生位的作用下产生位移移s，那么力那么力F 所做的功应当怎样计所做的功应当怎样计算？算？其中力其中力F 和位移和位移s 是向量，功是数量是向量，功是数量.| s|F|W cos 是是F的方向的方向 与与s的方向的方向 的夹角。的夹角。先看一个概念先看一个概念-向量的夹角向量的夹角 AOB)1800( OABab OABba当当 ，0 OABba当当 ，180 OABab 当当 ，90 ba 记作记作已知已知a 与与b 同向；同向；a 与与b 反向；反向；a 与与b 垂直垂直. 在在 中，找出下列向量的夹角：中，找出下列向量的夹角： ABCABC(1);

2、ABAC与(2);ABC与B(3)ACC与B 。平面向量的数量积的定义平面向量的数量积的定义 （1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定夹角决定. （3） 在运用在运用数量积公式解题时，一定要注意两向量夹角的数量积公式解题时，一定要注意两向量夹角的范围是范围是 0，180（2）两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，它与，它与数的乘法是有区别的，数的乘法是有区别的， a b不能写成不能写成 ab 或或 ab .说明：说明： 例题例题1 1：求下列向量的内积：求下列向量的内积（1 1）e a=

3、a e=| a | cos （2 2）ab a b=0 ( (判断两向量垂直的依据判断两向量垂直的依据) ) （3 3）当当a 与与b b 同向时，同向时，a b =| a | | b |，当当a 与与b 反向反向时，时， a b = -| a | | b | 特别地特别地22a aaaa或 4cosa ba b( a / b a b=|a| |b| )(5) a ba b 4cosa ba b 数量积的运算律：数量积的运算律：abba)()()(bababacbcacba )(交换律：交换律：对数乘的结合律：对数乘的结合律：分配律：分配律：则，和实数、已知向量cba（1 1） 23ab解：由

4、题意解：由题意 0,（1）在四边形）在四边形ABCD中，中，AB BC=0，且，且AB=DC则四边形则四边形ABCD是（是（ ）A 梯形梯形 B 菱形菱形 C 矩形矩形 D 正方形正方形（3）在）在 中，已知中，已知|AB|=|AC|=1，且，且ABCAB AC= ，则这个三角形的形状是，则这个三角形的形状是12C1等边三角形等边三角形（2）已知向量）已知向量 a , b 共线，且共线，且 |a| =2|b|则则a与与b间的夹角的余弦值是间的夹角的余弦值是 。总结提炼总结提炼1、向量的数量积的物理模型是力的做功；、向量的数量积的物理模型是力的做功； 4、两向量的夹角范围是、两向量的夹角范围是0

5、, 5、掌握五条重要性质、掌握五条重要性质：平面向量的数量积的几何意义是平面向量的数量积的几何意义是: a 的长度的长度 |a|与与 b 在在 a 的方向的方向 上的上的数量数量 |b|cos 的乘积的乘积2、a b的结果是一个实数，它是标量不是向量。的结果是一个实数，它是标量不是向量。3、利用、利用 a b= |a| |b|cos 可求两向量的夹角，可求两向量的夹角， 尤其尤其 是判定垂直。是判定垂直。判断下列各题是否正确：判断下列各题是否正确：（2）、若 ， ，则0a 0a b0b （3）、若 ， ，则0a a bbcac(1)、若 ，则任一向量 ，有0a b0a b（4）、/a ba b

6、ab分配律的证明：aAcBCb1AB1Oabc ().abca cb c r rr rr rr r r rr r r r 在实数中，有在实数中，有(a b)c = a(b c)，向量，向量中是否也有中是否也有 ? 为什么为什么?答：没有答：没有.()()a bcab c 因为右端是与因为右端是与 共线的向量，而共线的向量，而左端是与左端是与 共线的向量，但一般共线的向量，但一般 与与 不共线不共线 a c c a 所以，向量的数量积不满足结合律所以，向量的数量积不满足结合律所以，向量的数量积不满足消去律所以，向量的数量积不满足消去律 在实数中，在实数中，若若a b = a c且且a 0，则，则

7、b = c向量中是否也有向量中是否也有“若若 ，则，则 ”成立呢成立呢 ? 为什么为什么?(0)a ba c a bc OababABC 例例3 已知已知| | = 6，| | = 4， 与与 的夹角为的夹角为60 ，求：，求：a b 解：解：(1)b a (1) (2 ) (3 );abab (2 ) (3 )abab 6a aa bb b 22|6 |aa bb 22664cos6064 = 72. 1. 小结：小结： 2. 向量运算不能照搬实数运算律，向量运算不能照搬实数运算律，交换律、数乘结合律、分配率成立；交换律、数乘结合律、分配率成立；向量结合律、消去律不成立。向量结合律、消去律不

8、成立。 3. 向量的主要应用是解决长度和夹向量的主要应用是解决长度和夹角问题。角问题。0.aba b 运用平面向量的坐标求内积运用平面向量的坐标求内积11,x ya22,xybij探究：设，探究：设， 分别为分别为x x轴和轴和y y轴轴正方向上的单位向量。正方向上的单位向量。12121221x x i iy y j jx y i jx y j i 11平面向量内积的坐标表示平面向量内积的坐标表示1212x xy y a b即：两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积之和即：两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积之和. .探究：利用坐标公式验证向量的模探究：利用坐标公式验证向量的模例题例题：求下列向量的内积：求下列向量的内积解解：（）：（） 121200 x xy y aba b例题例题2 2：已知：已知1,2 ,2,3 ab，求： （1） abab （2） 2abab向量夹角的计算公式向量夹角的计算公式121222221122cos,a ba ba bx xy yxyxy 1,2 ,3,1ab a b,a b