微积分CH6-2多元函数基本概念

1、6.2 6.2 多元函数的基本概念多元函数的基本概念 二元函数的概念二元函数的概念 二元函数的极限二元函数的极限二元函数的连续性二元函数的连续性 一元函数的概念一元函数的概念一元函数的极限一元函数的极限一元函数的连续性一元函数的连续性特别地特别地特别地特别地推广推广推广推广推广推广一、一、 平面点集平面点集二、二、 二元函数的概念二元函数的概念例例6.2.2例例6.2.3例例6.2.4三、三、 二元函数的极限二元函数的极限四、四、 二元函数的连续性二元函数的连续性五、五、 内容小结内容小结 思考题思考题 习题解答习题解答例例6.2.1例例6.2.5例例6.2.7例例6.2.6 作业作业本节内容

2、本节内容:上一页上一页 下一页下一页 目目 录录 )(0oPPUPP 001. 邻域邻域点集, ),(0PPU称为点 P0 的 邻域邻域. .例如例如, ,在平面上, ),(),(0yxPU(圆邻域)在空间中, ),(),(0zyxPU(球邻域)说明：说明：若不需要强调邻域半径 , ,也可写成. )(0PU点 P0 的去心邻域去心邻域记为PP 0yyxx2020)()(zzyyxx202020)()()(一一. .平面点集平面点集上一页上一页 下一页下一页 目目 录录P0P0当不关心邻域半径时, 简记为 和 .o0(, )U P0(,)U Po0()U P0()U P上一页上一页 下一页下一页

3、 目目 录录在讨论实际问题中也常使用方邻域方邻域,平面上的方邻域为 (),(),0yxPU。0P因为方邻域与圆邻域可以互相包含.,0 xxyy0上一页上一页 下一页下一页 目目 录录2. 平面上的点与点集之间的关系平面上的点与点集之间的关系(1) 内点、外点、边界点内点、外点、边界点设有点集 E 及一点 P : 若存在点 P 的某邻域 U(P) E , 若存在点 P 的某邻域 U(P) E = , 若对点 P 的任一任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 EE则称 P 为 E 的内点内点；则称 P 为 E 的外点外点 ;则称 P 为 E 的边界点边界点 .的外点 ,显然, E 的内点必属于

4、E , E 的外点必不属于 E , E 的边界点可能属于 E, 也可能不属于 E . 上一页上一页 下一页下一页 目目 录录x + y = 0 xy0如图D如 z = ln (x+y)的定义域 D = (x, y)| x+y 0易见, 直线上方每一点都是D的内点. 即 D=D,但直线上的点不是D的内点.上一页上一页 下一页下一页 目目 录录(2) 聚点聚点若对任意给定的 , ,点P 的去心),PU(E邻域内总有E 中的点 , 则称 P 是 E 的聚点聚点.聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为 E 的边界点 )上一页上一页 下一页下一页 目目 录录3.几个重要的平面点集几个重

5、要的平面点集(1) 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集开集；(2) 若点集 E E , 则称 E 为闭集闭集；(3) 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 ,则称 D 是连通集连通集 ; E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;上一页上一页 下一页下一页 目目 录录如图XYE 连通YXE 不连通上一页上一页 下一页下一页 目目 录录(4)连通的开集称为区域连通的开集称为区域(region)或或开区域开区域.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo上一页上一页 下一页下一页 目目 录录整个平面 点集 1),(x

6、yx是开集， 是最大的开域 , 也是最大的闭域 ;但非区域 .11(6)对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 PD 与某定点 A 的距离 AP K , 则称 D 为有界域有界域 , 界域界域 .否则称为无无xyO上一页上一页 下一页下一页 目目 录录例如，例如，在平面上0),( yxyx41),(22yxyx0),( yxyx41),(22yxyx开区域开区域闭区域闭区域xyOxy21OxyOxy21O上一页上一页 下一页下一页 目目 录录这些概念都可毫无困难地推广到三维空间 R3 中去, 且有类似的几何意义. 它们还可推广到 4 维以上的空间中去, 但不再有几何意义.上一页上一页 下

7、一页下一页 目目 录录设 D 是 xy 平面上的一个点集,即 D R2, 若对任意的点 X = (x, y)D R2, 按照某个对应规则 f , 总有唯一确定的实数 z 与之对应, 则称 f 是定义在 D 上的二元实值函数, 记作f : D R, X = (x, y) z .二、二元函数的概念1.二元函数概念上一页上一页 下一页下一页 目目 录录称 z 为点 X = (x, y) 在 f 下的像, 记作 f (X) 或 f (x, y), 即z = f (X ) = f (x, y). 也称作 X = (x, y)所对应的函数值.称 D 为函数 f 的定义域定义域. D 在 f 下的像集 f

8、(D)= f (X )| XD 称为 f 的值域值域.习惯上, 称 z = f (X ) = f (x, y) 为二元函数, 另外, 称 x, y 为自变量, z 为因变量.比如 z = sinx +cosy , z = 3x2 + ey .上一页上一页 下一页下一页 目目 录录 一般说来, 自变量 x , y 都是独立变化的. 它们只受到 (x, y) D 的限制. f (x, y) 的表达式, 算 f (x0, y0) 的方法与一元函数类似.另外, 若给出了上一页上一页 下一页下一页 目目 录录 特别, 若定义域 D 是 x y 面上一条曲线. D: y = g(x). g事实上, x D

9、 上的点 (x, g(x) = (x, y) z .f= f (x, g(x)成为一元函数.则二元函数 z = f (x, y)上一页上一页 下一页下一页 目目 录录任何一个一元函数都可扩充为一个 二元函数.事实上, z = f (x) = f (x) + 0 y只须将 z 作为一元函数的定义域 D R 扩充为R2 中点集即可.注注2, 注注3说明二元函数是一元函数的推说明二元函数是一元函数的推广广, 而一元函数则是二元函数的特殊情形而一元函数则是二元函数的特殊情形. 上一页上一页 下一页下一页 目目 录录约定约定, ,凡用算式表达的多元函数凡用算式表达的多元函数, ,除另有除另有说明外说明外

10、, ,其定义域是指的自然定义域其定义域是指的自然定义域与一元函数类似，当我们用某个算式表达与一元函数类似，当我们用某个算式表达多元函数时，凡是使算式有意义的自变量所组多元函数时，凡是使算式有意义的自变量所组成的点集称为这个多元函数的成的点集称为这个多元函数的自然定义域自然定义域一元函数的单调性、奇偶性、周期性等性一元函数的单调性、奇偶性、周期性等性质的定义在多元函数中不再适用，但质的定义在多元函数中不再适用，但有界性有界性的的定义仍然适用定义仍然适用. .上一页上一页 下一页下一页 目目 录录设D Rn , 若对任意的 X = (x1, x2, , xn) D Rn , 按某个对应规则 f ,

11、 总有唯一确定的实数 z 与之对应, 则称 f 是定义在 D 上的 n 元实值函数. 记作f : D R , X = (x1, x2, , xn) z .并记 z = f ( X ), 或 z = f (x1, x2, , xn).补充：补充： n n元函数定义元函数定义上一页上一页 下一页下一页 目目 录录 与一元函数类似. 就是要求使这个式子有意义的平面上的点的集合. 求 z = ln (x + y)的定义域 D , 并画出D的图形.x + y 0. 故 定义域 D = (x, y)| x + y 0画直线 y = x. 由于 D 中点 (x, y) 的纵坐标 y 要大于直线 y = x

12、上点的纵坐标 y, 故 D 表示直线 y = x 上方点的集合. (不包括边界y = x上的点)为画 D 的图形, 由x + y 0, 得 y x .上一页上一页 下一页下一页 目目 录录x + y = 0 xyo如图y xD(不包括直线x + y = 0)上一页上一页 下一页下一页 目目 录录. .122的图形并画的定义域求DDyxz1 , 012222yxyx即故1| ),(22yxyxD.),(22的距离到原点表示点由于oyxyx 故 D 表示到原点距离不超过1的点的集合. 即, D 为单位圆盘 (包括圆周). 上一页上一页 下一页下一页 目目 录录xyox2 + y2 = 1122 y

13、x(包括圆周)D上一页上一页 下一页下一页 目目 录录222arcsin()lnxyzxxy D, x y22201xxyyx222( , )|1,0.Dx yxyyxx例例6.2.1求函数解解 定义域中的点应满足条件 故所求定义域为 的定义域上一页上一页 下一页下一页 目目 录录),(vuf22222222vuvuvuvu,222vuuv.2),(22yxxyyxf故得 即有 上一页上一页 下一页下一页 目目 录录设 z = f (X) = f (x, y) 的定义域是平面区域 D .按二元函数定义, X = (x, y)D. 可以唯一确定实数 z , 从而确定了空间一个点 M (x, y,

14、 z). 2.二元函数的几何意义上一页上一页 下一页下一页 目目 录录当 X 在 D 中变动时, 点 M (x, y, z)在空间中变动, 当 X 取遍 D 中一切点时, M (x, y, z)在三维空间中 织 出一片曲面.即即, , 二元函数表示空间中一片曲面二元函数表示空间中一片曲面, , D D是该曲是该曲面在面在 xOy xOy 面上的投影区域面上的投影区域. .上一页上一页 下一页下一页 目目 录录二元函数的图形通常是二元函数的图形通常是一张曲面一张曲面.上一页上一页 下一页下一页 目目 录录回忆一元函数的极限. 设 y = f (x),)(lim0Axfxx所谓当 x 不论是从 x

15、0的左边还是从x0的右边无限接近于x0时, 对应的函数值无限接近于数 A.表示如图xyA0f (x)f (x)y = f (x)x0 xxx x0. )(lim0语言表示用Axfxx就是 0, 0.当0|x x0| 时, 有|f (x) A | 0, 0, 当, )()(2020时yyxx对应的函数值满足| f (X) A | 则称 A 为z = f (X)的, 当 X 趋近于X0时(二重)极限.记作,)(lim0AXfXX或,),(lim00Ayxfyyxx也可记作 f (X) A(X X0)或 f (x, y) A (x x0, y y0 ) | 00XX 上一页上一页 下一页下一页 目目

16、 录录),( xf对一元函数.)(lim)(lim00Axfxfxxxx如图xx0 x0 xx0 xxxAxfxx)(lim0有上一页上一页 下一页下一页 目目 录录xoX0XD对二元函数 f (X), 如图有.)(lim0AXfXX 点X以任何方式、任任何方式、任何方向何方向趋近于X0时, f (X)的极限都存在且为A.Dz = f (x, y)Xf (X)MX0Ayzxo上一页上一页 下一页下一页 目目 录录上一页上一页 下一页下一页 目目 录录1.因此, 如果当X以某几种特殊方式某几种特殊方式趋于X0时, f (X)的极限为A. 不能断定不能断定二重极限.)(lim0AXfXX2.若X以

17、不同方式趋于X0时, f (X)的极限不同, 则可肯定二重极限.)(lim0不存在XfXX 3.极限定义可推广到三元以上函数中去, 且多元函数极限的运算法则等都与一元函数相同.注：注：上一页上一页 下一页下一页 目目 录录2222001lim()sinxyxyxy 求求例例6.2.36.2.3证证 令令 22txy则 2222001lim()sinxyxyxy01lim sinttt 0注注 在可能的情况下通过在可能的情况下通过换元换元，变成一元函数的极，变成一元函数的极限，所有一元函数求极限的方法都可以用，如罗限，所有一元函数求极限的方法都可以用，如罗比塔法则、重要极限等比塔法则、重要极限等

18、.上一页上一页 下一页下一页 目目 录录 02sinlimxyxyx求求例例6.2.46.2.4解解 02sinlimxyxyx 02sinlimxyxyyxy 0022sinlimlimxxyyxyyxy 2 上一页上一页 下一页下一页 目目 录录设f (x, y) = ,0 ,2222时当yxyxxy,0 , 022时当 yx证明 f (x, y)在 (0, 0)点的极限不存在.证证: 方法一：方法一：由注2知, 只须证明当X 沿不同的线路趋于(0, 0)时, 函数f (x, y)对应的极限也不同即可.例例6.2.56.2.5上一页上一页 下一页下一页 目目 录录考察 点(x, y)沿平面

19、直线 y = kx 趋于(0, 0)的情形.如图对应函数值22),(yxxyyxf)0 , 0(),( , )1 (222yxkxkxxoy上一页上一页 下一页下一页 目目 录录从而, 当 点 (x, y) 沿 y = kx 趋于(0,0)时, 函数极限),(lim0yxfkxyx21kk当 k 不同时, 极限也不同. 因此, f (x, y) 在 (0, 0)的极限不存在 .方法二方法二：请考察当X = (x, y)沿 x 轴, 沿 y 轴趋于(0, 0)的情形.)1 (lim2220kxkxx上一页上一页 下一页下一页 目目 录录),(lim00yxfyx沿 x 轴, y = 0. 函数极

20、限= 000lim20 xx沿 y 轴, x = 0. 函数极限),(lim00yxfxy= 02000limyx但不能由此断定该二重极限为不能由此断定该二重极限为0 (注2).上一页上一页 下一页下一页 目目 录录00lim( , )xy xf x y 因为沿直线 y=x, 函数极限2220limxxxx 由此断定该二重极限不存在由此断定该二重极限不存在12 方法三方法三 利用极坐标代换cos ,sinxy，则00lim( , )xyf x y20cossinlimcos sin 令上述极限随 角度的变化而变化，因此函数在极限不存在 上一页上一页 下一页下一页 目目 录录四、多元函数的连续性

21、1.1.定义定义6.2.36.2.3上一页上一页 下一页下一页 目目 录录定义在区域 D 上的二元连续函数z = f (X) = f (x, y)表示了在D上的一片没有 空洞, 没有 裂缝 的连续曲面.这里条件 D 是一区域 是必要的. 若D不是区域, z = f (X)可能不是通常意义下的连续曲面.2. 二元连续函数的几何意义二元连续函数的几何意义:上一页上一页 下一页下一页 目目 录录补充例补充例. 设 D = (x, y) | x, y 均为有理数 R2. z =f (x, y)是定义在 D 上的, 在 D 上恒等于1, 在别的点上无定义的函数, 即f (x, y) = 1, 当(x,

22、y) D时,无定义, 当(x, y) D时. 如图xyzo1可知, (x0, y0) D,),(1),(lim0000yxfyxfyyxx但曲面z = f (x, y)不是通常意义下的连续曲面.上一页上一页 下一页下一页 目目 录录例如例如 讨论函数讨论函数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的连续性的连续性解解取取kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，极限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)处不连续处不连续上一页上一页 下一页下一页 目目 录录 多元初等函数多元初等函数

23、：由多元多项式及基本初等：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的函数经过有限次的则四运算则四运算和和复合复合步骤所构成步骤所构成的可用一个式子表示的函数。的可用一个式子表示的函数。结论：结论： 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域又如又如, 函数221( , )sin1f x yxy 在圆周上间断.122 yx上一页上一页 下一页下一页 目目 录录例例6.2.76.2.7.11lim00 xyxyyx 求求解解)11(11lim00 xyxyxyyx原式原式111lim00

24、xyyx.21 ).()(lim)()()()(lim00000PfPfPPfPfPPfPfPPPP 处连续，于是处连续，于是点点在在的定义域的内点，则的定义域的内点，则是是数，且数，且是初等函是初等函时，如果时，如果一般地，求一般地，求例例6.2.66.2.601lim.xxyeyxy 求求解解01limxxyeyxy 012.01e 上一页上一页 下一页下一页 目目 录录3.闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D D上一定有最大值和最小值上一定有最大值和最小值（2）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（1）有界性定理）有界性定理 有界闭区域有界闭区域D D上的多元连续函数是上的多元连续函数是D D上的上的有界函数有界函数 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，如果上的多元连续函数，如果在在D D上取