2019-2020学年新教材高中数学第7章三角函数7.2任意角的三角函数7.2.1三角函

1、7.2.1 三角函数的定义学习目标核心素养1 .理解任意角的正弦、 余弦、正切的定义.（重点）2 .会根据三角函数的定义确定三角函数在各象限内的符号.（难点）1 .通过任意角的三角函数概念的学习，培养 学生的数学抽象及直观想象核心素养.2 .借助角在各象限符号的判断，提升学生的 直观想象及数学抽象核心素养 .1 .任意角的三角函数在平面直角坐标系中，设a的终边上任意一点 P的坐标是（x, y）,它与原点O的距离是 r （r = W+ y2 > 0）三角函数定义名称sin ay正弦COS axr-余弦tan ay x正切2 .三角函数在各象限的符号思考：记忆正弦、余弦、正切在各象限的符号有

2、什么诀窍吗？提示对正弦、余弦、正切函数值的符号可用下列口诀记忆：“一全正，二正弦，三 正切，四余弦”，该口诀表示：第一象限全是正值，第二象限正弦是正值，第三象限正切是 正值，第四象限余弦是正值.1 .已知角a终边经过P乎，2 ,则COS a等于（）13312 B T C TD. ±2B 由三角函数定义可知，设x=23, y = 2,则r =1x2+ y2 =1, 故COS a2 .若三角形的两内角a, 3满足sin a cos B<0,则此三角形必为（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.以上三种情况都可能B Sin a cos B <0, a , B e (0

3、,), .si n a >0, cos 3 <0,(3 为钝角.3 .若角a的终边上有一点 P(3,4),则sin a + cos a二由三角函数定义知， sin a =3 cos a =1,5 55- sin a + cos a = . 54.已知cos 0 - tan 0 <0,那么角 0是 象限角.第三或第四cos 0 - tan 0 <0, .cos 0 , tan 0 异号.故由象限角知识可知 0在第三或第四象限.任意角三角函数的定义及应用例1 (1)若sin a =f, COS a=2，则在角a终边上的点有()55A. (4,3)B. (3, 4)C. (4

4、, - 3)D. (3,4)(2)已知角 a 的终边过点 P( 3a,4a)( aw0),则 2sin a + cos a=.思路探究(1)由定义确定终边位置，结合函数值求解.(2)分a>0, a< 0两种情况分别求解.(1) A(2)1 或一1 (1)由 sin a, cos a 的定义知 x=4, y=3, r = 5 时，满足题意, 故选A.(2)因为 r = 3a 2+ 4a 2 = 5| a| ,若a>0,则r=5a,角a在第二象限.sin a = y= = - cos ar 5a 5x 3ar5a35'所以2sina+ cos a ;=8-5-3=1.若a

5、<0,则r = - 5a,角a在第四象限,sin4a一 4-3a3“一cos-5a 55a5'所以2sina+ cos a ;8 3=115 5.由角a终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤：(1)已知角a的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：已知由a的终边上一点 P(x, y) , P到原点的距离为 r(r>0),则sin a =y, cos a =x a的终边求a的三角函数时，用这几个公式更方便.(2)当角a的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定要注意对字母正、负的辨别，若 正、负未定，则需分类讨论.1 .设函数f( 9 )=事sin 0 + cos 0 ,其中

6、角0的顶点与坐标原点重合，始边与 x轴 非负半轴重合，终边经过点 P(x, y),且0W 8 w兀.若点P的坐标为2，平,求f( 8 )的 值.解由点P的坐标为2,喙 和三角函数定义得sin 8 =*，cos 8 = J所以 f ( 8 )=乖sin9 + cos 9 = 3X 乎 +2 = 2.三角函数符号的判断【例2】判断下列各式的符号.(1)sin 2 015 ° cos 2 016 ° tan 2 017 ° ;(2)tan 191 ° -cos 191 ° ;(3)sin 2cos 3tan 4.思路探究先确定角所在象限，进一步确定各

7、式的符号解(1)2 015° =5X360° +215° ,2 016° =5X360° +216° , 2 017° =5X360° +217.它们都是第三象限角，.sin 2 015 ° <0, cos 2 016 ° <0, tan 2 017 ° >0,.sin 2 015 ° cos 2 016 ° tan 2 017 ° >0.(2) 191°角是第三象限角，tan 191 ° >0, cos

8、191 ° <0,.tan 191 ° -cos 191 ° >0 .(3) <2<兀,<3<兀,< <4<32,.2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角, .sin 2>0 , cos 3<0 , tan 4>0 ,sin 2cos 3tan 4<0.由三角函数的定义知sin a =y, cos a=-，tan a = r>0 ,可知角的三角函数值rrx的符号是由角终边上任一点Px, y的坐标确定的，则准确确定角的终边位置是判断该角的三角函数值符号的关键.2.判断下列式子

9、的符号：sin 320 ° - cos 385 ° tan 155 ° tan( 480° ).解270° <320°<360°,360°<385° <450°, 90° <155°<180° ,540°< 480°< 450° ,则320°为第四象限角，385。为第一象限角，155。为第二象限角，一480。为第三象限角，所以 sin 320 ° <0, cos

10、385 ° >0, tan 155 ° <0, tan( -480° )> 0.所以 sin 320 ° - cos 385 ° tan 155 ° - tan( -480° )>0,即符号为正.1 .对三角函数值符号的理解三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内点的坐标符号导出的.从原点到角的终边上任意一点的距离 总是正值.根据三角函数定义知：(1)正弦值的符号取决于纵坐标y的符号.(2)余弦值的符号取决于横坐标x的符号.(3)正切值的符号是由x, y的符号共同决定的，即 x, y同号为正，异号

11、为负.2 .对三角函数定义的理解(1)三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x, y)在终边上的位置无关，只由角a的终边位置确定.即三角函数值的大小只与角有关.(2)要善于利用三角函数的定义及三角函数的符号规律解题，并且注意掌握解题时必要 的分类讨论及三角函数值符号的正确选取.(3)要牢记一些特殊角的正弦、余弦、正切函数值.1.已知P(1 , 5)是a终边上一点，则sin a =(A. 1C.5 .'2626C = x=1, y= 5,r = 26,y 5 126 sin = -=- 26 .2.sin 1 cos 2 tan 3 的值是（）A.正数B.负数C. 0D.不存在一一一.兀 兀一兀一A . 0<1<y, 于2<兀,万<3<兀， .sin 1>0 , cos 2<0 , tan 3<0 ,sin 1 cos 2 tan 3>0.3.如果sin x= |sin x| ,那么角x的取值集合是 x| 2k nt w xw2k 兀 + 兀，kC Z sin x=|s