北师大八年级数学上册实数知识点及习题

1、北师大版八年级数学上册实数知识点及习题实数知识点一、【平方根】如果一个数x的平方等于a，那么，这个数x就叫做a的平方根；也即，当时，我们称x是a的平方根，记做：。因此：1、当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；2、当a0时，也就是a为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：。3、当a0时，也即a为负数时，它不存在平方根。例1.（1） 的平方是64，所以64的平方根是 ；（2） 的平方根是它本身。（3）若的平方根是±2，则x= ；的平方根是 （4）当x 时，有意义。（5）一个正数的平方根分别是m和m-4，则m的值是多少这个正数是多少知识点二、【算术平方根】： 1、

2、如果一个正数x的平方等于a，即，那么，这个正数x就叫做a的算术平方根，记为：“”，读作，“根号a”，其中，a称为被开方数。特别规定：0的算术平方根仍然为0。2、算术平方根的性质：具有双重非负性，即：。3、算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：。例2.（1）下列说法正确的是 （ ）a1的立方根是； b； （c）、的平方根是； （ d）、0没有平方根； （2）下列各式正确的是（ ）a、 b、 c、 d、（3）的算术平方根是 。（4）若有意义，则_。（5

3、）已知abc的三边分别是且满足，求c的取值范围。（7）如果x、y分别是4的整数部分和小数部分。求x y的值.（8）求下列各数的平方根和算术平方根.64； ； ； (25)2； 11. 1.44， 0，8， ， 441， 196， 104（9）()2等于多少()2等于多少？（10） ()2等于多少？（11）对于正数a，()2等于多少？我们共学了加、减、乘、除、乘方、开方六种运算.加与减互为逆运算，乘与除互为逆运算，乘方与开方互为逆运算.知识点三、【开平方性质】(1) =_，=_；(2) (2)=_，=_；(3) =_，=_；(4) (4)_，=_.知识点四、【立方根】： 1、如果x的立方等于a，

4、那么，就称x是a的立方根，或者三次方根。记做：，读作，3次根号a。注意：这里的3表示的是根指数。一般的，平方根可以省写根指数，但是，当根指数在两次以上的时候，则不能省略。2、平方根与立方根：每个数都有立方根,并且一个数只有一个立方根；但是，并不是每个数都有平方根，只有非负数才能有平方根。例3.（1）64的立方根是（2）若，则b等于（ ） a. 1000000 b. 1000 c. 10 d. 10000（3）下列说法中：都是27的立方根，的立方根是2，。其中正确的有 （ ）a、1个 b、2个 c、3个 d、4个知识点五、【无理数】： 1、无限不循环小数叫做无理数；它必须满足“无限”以及“不循环

5、”这两个条件。在初中阶段，无理数的表现形式主要包含下列几种：（1）特殊意义的数，如：圆周率以及含有的一些数，如：2-，3等；（2）开方开不尽的数，如:等；（3）特殊结构的数：如： 010 001 000 01（两个1之间依次多1个0）等。应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：等；无理数也不一定带根号，如：2、 有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。例4.（1）下列各数：、,其中无理数有 ( )个a 2 b 3 c 4 d 5 知识点六、

6、【实数】：1、有理数与无理数统称为实数。在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是0，最大的负整数是-1，最小的正整数是1.2、实数的性质：实数a的相反数是-a；实数a的倒数是（a0）；实数a的绝对值|a|=，它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离。3、实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于0，0大于负数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。（在数轴上，右边的数总是大于左边的数）。对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。4、实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘

7、方、开方六种运算。运算法则和运算顺序与有理数的一致。例5.（1）下列说法正确的是（ ）；a、任何有理数均可用分数形式表示 ； b、数轴上的点与有理数一一对应 ；c、1和2之间的无理数只有 ； d、不带根号的数都是有理数。（2）a，b在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是( )b0aa、 b、 c、 d、（3）如右图所示的数轴上，点b与点c关于点a对称，a、b两点对应的实数是和-1，则点c所对应的实数是（ ）a. 1+ b. 2+ c. 2-1 d. 2+1（4）实数、在轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为（ ）a b. c . d.（5）比较大小(填“>”或“<”).3 ，

8、 ， ， ，（6）将下列各数：，用“”连接起来；_。（7）若，且，则：= 。（8）计算：（9）已知：，求代数式的值。基础练习一一、选择题 b. d.2.下列说法中正确的是（ ）3.下列语句正确的是（ ）c.无限小数不能化成分数 d.无限不循环小数是无理数4.在直角abc中，c=90°，ac=，bc=2，则ab为（ ）a.整数 b.分数 c.无理数 d.不能确定5.面积为6的长方形，长是宽的2倍，则宽为（ ） a.小数b.分数c.无理数 d.不能确定 6.的化简结果是（ ） b.2 或2 的算术平方根是（ ） a.±3 c.± d. 8.(11)2的平方根是 c.&

9、#177;11 d.没有平方根9.下列式子中，正确的是（ ）a.b.= c.=13d.=±62的算术平方根是（ ） a. c. 的平方根是（ ） a.±4 c.± d.±212.一个数的算术平方根为a，比这个数大2的数是（ ）+2 b.2 c.+2 +213.下列说法正确的是（ ）a.2是4的平方根 是(2)2的算术平方根 c.(2)2的平方根是2 的平方根是414.的平方根是（ ） b.4 c.±4 d.±215.的值是（ ） b.1 d.716.下列各数中没有平方根的数是（ ）a.(2)3 3 d.（a2+1）17.等于（ ） b

10、.a c.±a d.以上答案都不对18.如果a(a0)的平方根是±m，那么（ ）=±m =±m2 c.=±m d.±=±m19.若正方形的边长是a,面积为s，那么（ ）的平方根是a 是s的算术平方根 =± = 二、填空题1.在， ，中，无理数的个数有_.小数或_小数是有理数，_小数是无理数.=8,则x_分数，_整数，_有理数.(填“是”或“不是”)4.面积为3的正方形的边长_有理数；面积为4的正方形的边长_有理数.(填“是”或“不是”) 5.的平方根是_； 6.()2的算术平方根是_； 7.一个正数的平方根是2a1

11、与a+2，则a=_，这个正数是_； 8.的算术平方根是_； 2的算术平方根是_； 10.的值等于_，的平方根为_； 11.(4)2的平方根是_，算术平方根是_.三.判断题 1.是的平方根.( ) 2.52的平方根为5.（ ） 和负数没有平方根.（ ） 4.因为的平方根是±,所以=±.（ ） 5.正数的平方根有两个，它们是互为相反数.（ ）四、解答题 1.已知：在数，,0,42,(1)2n中，（1）写出所有有理数；（2）写出所有无理数； 2.要切一块面积为36 m2的正方形铁板，它的边长应是多少？ 3.已知某数有两个平方根分别是a+3与2a15,求这个数. 分母有理化1分母有

12、理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。2有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：单项二次根式：利用来确定，如：，与等分别互为有理化因式。两项二次根式：利用平方差公式来确定。如与，分别互为有理化因式。例题：找出下列各式的有理化因式3分母有理化的方法与步骤：（1）先将分子、分母化成最简二次根式；（2）将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；（3）最后结果必须化成最简二次根式或有理式。例题：把下列各式分母有理化例题：把下列各式分母有理化：（1） （3） （4） 【练习】1找出下列各式的有理化因

13、式2把下列各式分母有理化3计算 4比较大小与5.把下列各式中根号外面的因式适当改变后移到根号里面： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ；6.计算： (1) ； (2) ； (3) ；(4) ； (5) ； (6) ；1. 计算(1) ； (2) ； (3) ； (4) ； 专题讲解：类型一有关概念的识别1、实数的有关概念无理数即无限不循环小数，初中主要学习了四类：含的数，如：等，开方开不尽的数，如等；特定结构的数，例 010 001等；某些三角函数，如sin60o，cos45 o等。判断一个数是否是无理数，不能只看形式，要看运算结果，如是有理数，而不是无理数。例1下面几个

14、数：，3，其中，无理数的个数有（ ）a、1 b、2 c、3 d、4例2.（2010年浙江省东阳县） 是 a无理数 b有理数 c整数 d负数 举一反三：1.在实数中，0，中无理数有（ ） a1个 b2个 c3个 d4个2、平方根、算术平方根、立方根的概念若a0，则a的平方根是，a的算术平方根；若a<0，则a没有平方根和算术平方根；若a为任意实数，则a的立方根是。【例1】的平方根是_【例2】的平方根是_【例3】下列各式属于最简二次根式的是（ ） a【例4】（2010山东德州）下列计算正确的是（a） （b） （c） （d） 【例5】（2010年四川省眉山市）计算的结果是a3 b c d 9举一

15、反三：1.下列说法中正确的是（ ）a、的平方根是±3 b、1的立方根是±1 c、=±1 d、是5的平方根的相反数2. 的算术平方根是_；平方根是_. -27立方根是_. _， _，_. 类型二计算类型题1.估算、比较大小 正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数绝对值大的反而小，常用有理数来估计无理数的大致范围，要想正确估算需记熟020之间整数的平方和010之间整数的立方例1设，则下列结论正确的是（ ） a. b. c. d. 解析：例2.(2010年浙江省金华)在 -3， 1， 0 这四个实数中，最大的是（ ）a. -3 b. c. 1 d. 02.二

16、次根式的运算 二次根式的加、减、乘、除运算方法类似于整式的运算，如：二次根式加、减是指将各根式化成最简二次根式后，再利用乘法的分配律合并被开方数相同的二次根式；整式的运算性质在这里同样适用，如：单项式乘以多项式、多项式乘以多项式、乘法公式等实数的混合运算经常把零指数、负整数指数、绝对值、根式、三角函数等知识结合起来解决这类问题应明确各种运算的含义(，运算时注意各项的符号，灵活运用运算法则，细心计算。例1、计算所得结果是_例2、阅读下面的文字后，回答问题：小明和小芳解答题目：“先化简下式，再求值：a+其中a=9时”，得出了不同的答案 ，小明的解答：原式= a+= a+(1a)=1，小芳的解答：原

17、式= a+(a1)=2a1=2×91=17_是错误的； 错误的解答错在未能正确运用二次根式的性质： _例3、计算：（1）（3 （2）例4、二次根式中，字母a的取值范围是（ ）a ba1 ca1 d举一反三：1.求下列各式中的（1） （2）（3）类型三数形结合 例1. 点a在数轴上表示的数为，点b在数轴上表示的数为，则a，b两点的距离为_举一反三：1.如图，数轴上表示1，的对应点分别为a，b，点b关于点a的对称点为c，则点c表示的数是（ ）a1 b1 c2 d22。 已知实数、在数轴上的位置如图所示： 化简 3.如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线

18、长为半径画弧，交数轴正半轴于点a，则点a表示的数是（ ）a、1 b、 c、 d、类型四实数绝对值的应用例4化简下列各式：(1) |(2) |(3) |-| (4) |x-|x-3| (x3)(5) |x2+6x+10|举一反三：【变式1】化简：类型五实数非负性的应用若a为实数，则均为非负数。非负数的性质：几个非负数的和等于0，则每个非负数都等于0。例5已知：=0，求实数a, b的值。举一反三：1.已知(x-2)2+|y-4|+=0，求xyz的值2、已知(x-6)2+|y+2z|=0，求(x-y)3-z3的值。3、已知那么a+b-c的值为_类型六实数应用题例6有一个边长为11cm的正方形和一个长

19、为13cm，宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少cm。基础训练二一、选择题1下列各式中正确的是（ ） a b. c. d. 2. 的平方根是( ) a4 b. c. 2 d. 3. 下列说法中 无限小数都是无理数 无理数都是无限小数 -2是4的平方根 带根号的数都是 无理数。其中正确的说法有（ ） a3个 b. 2个 c. 1个 d. 0个4和数轴上的点一一对应的是（ ） a整数 b.有理数 c. 无理数 d. 实数5对于来说（ ） a有平方根 b只有算术平方根 c. 没有平方根 d. 不能确定6在（两个“1”之间依次多1个“0”）中，无理数 的个数有（

20、 ） a3个 b. 4个 c. 5个 d. 6个7面积为11的正方形边长为x，则x的范围是（ ） a b. c. d. 8下列各组数中，互为相反数的是（ ） a-2与 b.-与 c. 与 d. 与9-8的立方根与4的平方根之和是（ ） a0 b. 4 c. 0或-4 d. 0或410已知一个自然数的算术平方根是a ，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（ ） a b. c. d. 二、填空题11的相反数是_，绝对值等于的数是_，=_。12的算术平方根是_，=_。13_的平方根等于它本身，_的立方根等于它本身，_的算术平方根等于它本身。14已知x的算术平方根是8，那么x的立方根是_。15填入两

21、个和为6的无理数，使等式成立： _+_=6。16大于，小于的整数有_个。17若2a-5与互为相反数，则a=_，b=_。18若a=6，=3，且ab0，则a-b=_。19数轴上点a，点b分别表示实数则a、b两点间的距离为_。20一个正数x的两个平方根分别是a+2和a-4，则a=_，x=_。三、解答题21计算 + ×+× 4× 9 + 2×（） （结果保留3个有效数字）22在数轴上表示下列各数和它们的相反数，并把这些数和它们 的相反数按从小到大的顺序排列，用“”号连接：参考答案：一: 1、b 2、d 3、b 4、d 5、c 6、a 7、b 8、c 9、c 10

22、、d二：11、，-3 12、3， 13、0；0，；0，114、 15、答案不唯一 如： 16、5 17、 18、-15 19、2 20、1，9三：21、 -17 -9 2 -36 22、 基础练习三一、选择题1. 大于2，且不大于3的整数的个数是（ ）a. 9 b. 8 c. 7 d. 52. 下列几种说法：（1）无理数都是无限小数；（2）带根号的数是无理数；（3）实数分为正实数和负实数；（4）无理数包括正无理数、零和负无理数。其中正确的有（ ）a.（1）（2）（3）（4） b.（2）（3） c.（1）（4） d. 只有（1）3. 要使=3x，则 x的取值范围 ( ) 3 3 x3 d.任意数

23、4. 下列四个命题中，正确的是（ ）a. 数轴上任意一点都表示唯一的一个有理数 b. 数轴上任意一点都表示唯一的一个无理数c. 两个无理数之和一定是无理数 d. 数轴上任意两个点之间还有无数个点5. 若a为正数，则有( ) a. a b. a= c. a d. a与的关系不确定6. 不是( ) a. 分数 b. 小数 c. 无理数 d. 实数7. 下列说法正确的是（ ） a. 无限小数都是无理数 b. 无理小数是无限小数c. 无理数的平方是无理数 d. 无理数的平方不是整数8. 下列等式正确的是（ ） a b c d9.实数a在数轴上的位置如图2-6-2，则a，-a，的大小关系是（ ）.a.

24、b. c. d. 10. 的值是（ ） a b1 c d11.下列各语句中错误的个数为（ ）.最小的实数和最大的实数都不存在；任何实数的绝对值都是非负数；任何实数的平方根都是互为相反数；若两个非负数的和为零，则这两个数都为零. 二、填空题1、2的算术平方根是_. (2的算术平方根为_.的算术平方根为_，=_ 的平方根是_；92是_的算数平方根；5、()2的算术平方根是_；2.等腰三角形的两条边长分别为和5，那么这个三角形的周长等于 。3.负数a与的差的绝对值是 .4、若a、b都是无理数，且a+b=2，则a、b的值可以是（填上一个满足条件的值即可）5、实数a在数轴上的位置如图所示，则 第6题图6

25、（）2007（）2008= 7实数p在数轴上的位置如图1所示， 化简_8. 一个负数a的倒数等于它本身，则= _；若一个数a的相反数等于它本身，则 52=_ 。9. 数轴上的点与_ 一一对应关系，在数轴上的点在表示的点的_ 侧。10比较大小：（1） （2） 三、判断（1）无理数都是开方开不尽的数。 （ ）（2）无理数都是无限小数。 （ ）（3）无限小数都是无理数。 （ ）（4）无理数包括正无理数、零、负无理数。（ ）（5）不带根号的数都是有理数。 （ ）（6）带根号的数都是无理数。 （ ）（7）有理数都是有限小数。 （ ）（8）实数包括有限小数和无限小数. （ ）（9）所有的有理数都可以在数轴

26、上表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数 （ ）四、解答题1.实数a、b、c在数轴上的对应关系如图2-5-1，化简。2. 求的值综合练习一、易考题：1 1的相反数的倒数是2 已知a+3|+0，则实数（a+b）的相反数3 数314与的大小关系是4 和数轴上的点成一一对应关系的是5 和数轴上表示数3的点a距离等于25的b所表示的数是6 在实数中,0, ,314, 无理数有（）（a）1个（b）2个（c）3个（d）4个7一个数的绝对值等于这个数的相反数，这样的数是（）（a）非负数（b）非正数（c）负数（d）正数8若x3，则x3等于（）（a）x3（b）x3（c）x3（d）x39下列说法正确是（）（a）

27、 有理数都是实数 （b）实数都是有理数（b） 带根号的数都是无理数（d）无理数都是开方开不尽的数10实数在数轴上的对应点的位置如图，比较下列每组数的大小：（1） c-b和d-a （2） bc和ad 二、考点训练：*1判断题：（1）如果a为实数，那么a一定是负数；（）（2）对于任何实数a与b,|ab|=|ba|恒成立；（）（3）两个无理数之和一定是无理数；（）（4）两个无理数之积不一定是无理数；（）（5）任何有理数都有倒数；（）（6）最小的负数是1；（）（7）a的相反数的绝对值是它本身；（）（8）若|a|=2,|b|=3且ab>0，则ab=1；（）2把下列各数分别填入相应的集合里|3|，2

28、13，1234，,0，, , ()0，32 无理数集合 负分数集合 整数集合 非负数集合 *3已知1<x<2，则|x3|+等于（）（a）2x（b）2（c）2x（d）24下列各数中，哪些互为相反数哪些互为倒数哪些互为负倒数3, 1， 3， 03， 31， 1 +， 3互为相反数： ；互为倒数： 互为负倒数： *5已知、是实数，且（x）2和2互为相反数，求，y的值6.若,b互为相反数，c,d互为倒数，m的绝对值是2，则+4m-3cd= 。*7已知0，则= 。三、解题指导：1下列语句正确的是（）（a）无尽小数都是无理数 （b）无理数都是无尽小数（c）带拫号的数都是无理数 （d）不带拫号的数一定不是无理数。2和数轴上的点一一对应的数是（）（a）整数 （b）有理数 （c）无理数 （d）实数4.如果