2018年广州一模数学试题及答案

1、试卷类型： A2018 年广州市普通高中毕业班综合测试<一）数学 <理科）2018.3本试卷共 4 页， 21 小题， 满分 150 分考试用时120 分钟注意事项：1答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县 / 区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型 <A）填涂在答题卡相应位置上。k5A4u1BOd12选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。k5A4u1BOd13非选择题必须用黑色

2、字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。k5A4u1BOd14作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。5考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。参考公式： 锥体的体积公式 V1 Sh，其中 S 是锥体的底面积， h 是锥体的高3122232n2n n 1 2n 1n N*6一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，满分40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的k5A4u1

3、BOd11i2m是虚数单位，若m i3 4i ，则实数的值为已知A 2B 2C 2D 22在 ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为a ， b ， c ，若 C 2B ，则 c 为bA 2sin CB 2cos BC 2sin BD 2 cosC322y x1y 21关于直线对称的圆的方程为圆 x2y 1212y 22A x 2B x 112y 121221C x 2D x 1y 24若函数 f xx2ax1 的定义域为实数集R ，则实数 a 的取值范围为A 2,2B , 22,C,22,D2,25某中学从某次考试成绩中抽取若干名学生的分数，并绘制k5A4u1BOd1频率 /组距成

4、如图 1 的频率分布直方图样本数据分组为50,60，0.0300.0250.020/150.0150.01005060708090100 分数图 160,70，70,80 ， 80,90， 90,100 若用分层抽样的方法从样本中抽取分数在80,100 范围内的数据 16 个，则其中分数在90,100 范围内的样本数据有A5个B6 个C8 个D 10 个 k5A4u1BOd16Ax x Z 且3Z，则集合A 中的元素个数为已知集合2 xA 2B 3C 4D 5k5A4u1BOd17设 a ， b 是两个非零向量，则使a b = a b 成立的一个必要非充分条件是A a bB a bC ab0D

5、 a b8设 a ， b ， m 为整数 < m0），若 a 和 b 被 m 除得的余数相同，则称a 和 b 对模 m 同余，记为 ab mod m 若 aC200C1202 C22022C2020220 ， ab mod10 ，则 b 的值可以是A 2018B 2018C 2018D 2018k5A4u1BOd1二、填空题：本大题共7 小题，考生作答6 小题，每小题5 分，满分 30 分<一）必做题 <9 13 题）9若不等式xa1的解集为 x 1x3 ，则实数 a 的值为10执行如图 2 的程序框图，若输出S7 ，则输入 k kN*的值为11一个四棱锥的底面为菱形，其三视

6、图如图3 所示，则这个四棱锥的体积是 k5A4u1BOd1开始12设为锐角，若cos3 ，则 sin输入 k6512513在数列n0,S01， an 11，记 Sn 为数列an 的前 n 项和，则 S2014an 中，已知 a1an 12211ylogx否<二）选做题正 <主）视图侧< 左）视图<14 15n题，考生只能从中选做一题）k?14 <坐标系与参数方程选做题）是输出 Snn1sincosa与曲线2cos4sin相交于A，B两点，若在极坐标系中，直线AB2 3，则实数a的1值为结束4C图 3nSS2图 2俯视图P15 <几何证明选讲选做题）DE如图

7、4， PC 是圆 O 的切线，切点为C ，直线 PA与圆 O交于OBA， B两点，APC 的平分线分别交弦 CA ， CB 于 D ， E两点，已知 PC3， PB2 ，则 PE 的值为APD图 4三、解答题：本大题共6小题，满分 80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16 <本小题满分12分） / 15已知函数 f ( x)sin xa cos x 的图象经过点， 03<1）求实数 a 的值；<2）设 g( x)22 ，求函数 g( x) 的最小正周期与单调递增区间f ( x)17 <本小题满分12分）甲，乙，丙三人参加某次招聘会，假设甲能被聘用的概率是2 ，甲

8、，丙两人同时不能被聘用的5概率是 6 ，乙，丙两人同时能被聘用的概率是 3 ，且三人各自能否被聘用相互独2510立 k5A4u1BOd1<1）求乙，丙两人各自能被聘用的概率；<2）设 表示甲，乙，丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值，求的分布列与均值 <数学期望） k5A4u1BOd118 <本小题满分14分）D1C1如图 5，在棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1 D1 中，点 E 是棱 D1D 的A1EB1中点，点 F 在棱 B1B 上，且满足 B1F2FB <1）求证： EFAC11；DC<2）在棱 C1C 上确定一点 G ， 使

9、 A， E ， G ， F 四点共面，并求F此时 C1G 的长；AB<3）求平面 AEF 与平面 ABCD 所成二面角的余弦值图 519 <本小题满分14分）已知等差数列an 的首项为10，公差为2，等比数列 bn的首项为 1，公比为2， n N* <1）求数列an 与 bn的通项公式；<2）设第 n 个正方形的边长为cn minan , bn ，求前 n 个正方形的面积之和Sn <注： min a, b 表示 a 与 b 的最小值）20 <本小题满分14分）已知双曲线 E ： x2y21 a 0 的中心为原点 O ，左，右焦点分别为F1， F2，离心率为a

10、243 5 ，点 P 是直线 xa2上任意一点，点Q 在双曲线 E 上，且满足 PF2QF2 053<1）求实数 a 的值；< 2）证明：直线 PQ 与直线 OQ 的斜率之积是定值；<3）若点P 的纵坐标为1 ，过点 P 作动直线 l 与双曲线右支交于不同两点M ， N ，在线段 / 15PMMHMN 上取异于点M ， N 的点 H ，满足，证明点H 恒在一条定直线PNHN上 k5A4u1BOd121 <本小题满分 14分）已知函数fxx22x1 ex <其中 e 为自然对数的底数）<1）求函数f ( x) 的单调区间；<2 ）定义：若函数h x 在区

11、间s,tst上的取值范围为s, t ，则称区间s, t 为函数h x 的“域同区间”试问函数f (x) 在 1,上是否存在“域同区间”？若存在，求出所有符合条件的“域同区间”；若不存在，请说明理由k5A4u1BOd12018 年广州市普通高中毕业班综合测试<一）数学 <理科）试题参考答案及评分标准说明： 1参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数k5A4u1BOd12对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得

12、分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分k5A4u1BOd13解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，选择题和填空题不给中间分一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算共8 小题，每小题，满分40 分题号12345678答案ABADBCDA二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性共7 小题，每小题，满分30 分其中1415 题是选做题，考生只能选做一题k5A4u1BOd1题号9101112131415答案2342201121021或 53三、解答题：本大题共6小题，满分80分16 <本小题满分

13、 1）<本小题主要考查三角函数图象的周期性、单调性、同角三角函数的基本关系和三角函数倍角公式等等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）k5A4u1BOd1解： <1）因为函数f (x) sin xa cos x 的图象经过点， ，所以f0 033即 sin0 3a cos3即3a0 22解得 a3 / 15<2）方法 1：由 <1）得 f (x)sin x 3cos x 所以 g (x) f (x) 22 sin x223 cosxsin2 x 23sin x cosx3cos2 x23sin 2xcos2 x23 sin 2x1 cos 2x222si

14、n 2x coscos2x sin662sin2x 6所以 g (x) 的最小正周期为 22因为函数 ysin x 的单调递增区间为2k, 2kk Z ，22所以当 2kkZ时，函数 g( x) 单调递增，22x2k26kZ 时，函数 g( x) 单调递增即xkk36所以函数 g( x) 的单调递增区间为kZ , kk36方法 2：由 <1）得 f ( x)sin x3cos x2sin x cos3cos xsin32sinx 32所以 g (x) f (x) 222sinx234sin 2x232cos 2x2 分3所以函数 g( x) 的最小正周期为2分2 / 15因为函数 yco

15、s x的单调递减区间为2k,2 kkZ ，所以当 2k22kkZ时，函数 g ( x) 单调递增2x3x k即 k< k Z ）时，函数 g(x) 单调递增36所以函数 g( x) 的单调递增区间为kZ 3, kk617 <本小题满分 1）<本小题主要考查相互独立事件、解方程、随机变量的分布列与均值<数学期望）等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识）k5A4u1BOd1解： <1）记甲，乙，丙各自能被聘用的事件分别为A1， A2， A3，由已知 A1 ， A2 ， A3 相互独立，且满足PA12,51PA11PA36,3 .

16、25P APA2310解得P A21， PA3325所以乙，丙各自能被聘用的概率分别为1，325<2）的可能取值为1， 3因为 P3 P A1 A2A3P A1 A2A3PA1PA2PA31PA11PA21PA3213312652552525所以 P11P316192525所以的分布列为所以131 193619EP6252518 <本小题满分1）2525<本小题主要考查空间线面关系、四点共面、二面角的平面角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）k5A4u1BOd1推理论证法：<1）证明： 连结

17、B1 D1 ， BD ，D1/15A1ED3725C1B1CF因为四边形 A B C D 是正方形，所以AC1B D 1111111在正方体 ABCDA1B1C1 D1 中， DD1平面 A1 B1C1D1 ，AC1 1平面 A1B1C1 D1 ，所以 AC11DD1 因为 B1D1DD1D1 ， B1D1 ， DD1平面 BB1D1D ，所以AC1平面BB DD111因为 EF平面 BBDD，所以 EFAC1111<2）解： 取 C1C 的中点 H ，连结 BH ，则 BHAE 在平面 BBC C 中，过点F作 FGBH，则 FG AE1 1连结 EG ，则 A， E， G ， F 四

18、点共面因为 CH1 C1C1 a ， HG BF1 C1C1 a ，221 a 33所以 C1G C1C CH HG6故当 C1G1 a 时， A ， E ， G ， F 四点共面6<3）延长 EF ， DB ，设 EFDBM，连结AM，则 AM 是平面 AEF 与平面 ABCD 的交线过点 B作 BNAM ，垂足为 N ，连结 FN ，因为 FBAM ，FBBNB ，所以 AM平面 BNF 因为 FN平面 BNF ，所以 AMFN 所以FNB 为平面 AEF 与平面 ABCD 所成二面角的平面角MBBF1 a2因为3，MDDE13a2即MB2a2 ，MB3所以 MB2 2a在 ABM中

19、， ABa ， ABM135 ，所以 AM2AB 2MB 22AB MBcos135a222a22a2 2a213a2 2即 AM13a/15D1C1A1GEB1 HDCFABD1C1A1EB1DCFABNM因为1AMBN1 ABMBsin135 ，22AB MBsin135a 22a22 13所以 BN2AM13aa 132212 137 13所以 FNBF 2BN 2aaa 31339所以 cosFNBBN6 FN7故平面 AEF 与平面 ABCD 所成二面角的余弦值为6 7空间向量法：<1）证明： 以点 D 为坐标原点， DA ， DC ， DD1 所在的直线分别为 x 轴， y

20、轴， z 轴，建立如图的空间直角坐标系，则 A a,0,0， A1a,0, a， C10, a, a，1a， F1E 0,0,a, a,a ，23所以 AC11a, a,0， EF1a a, a,6因为 AC11 EFa2a20 0 ，所以 AC11EF 所以 EFAC11zD1C1A1EB1DFCyA B x<2）解： 设 G 0, a, h ，因为平面ADD1 A1 平面 BCC1 B1 ，平面 ADD1 A1平面 AEGFAE ，平面 BCC1 B1平面 AEGFFG ，所以 FGAE 所以存在实数，使得 FGAE 因为 AE1， FG1，a,0, aa,0, ha23所以 a,0

21、, h1 aa,0, 1 a 32所以1， h5 a 6 / 15所以 C1G CC1CG a5 a1 a 66故当 CG1 a 时，A，E， G ，F四点共面16<3）解： 由<1）知 AEa,0,1， AF1a0, a, a23设 nx, y, z是平面 AEF 的法向量，n AE0,则n AF0.ax1 az0,即21 azay0.3取 z6 ，则 x3， y2 所以 n3, 2,6 是平面 AEF 的一个法向量而 DD10,0, a是平面 ABCD 的一个法向量，设平面 AEF 与平面 ABCD 所成的二面角为，n DD1则 cos, 1nDD10 302a 66 3222

22、a762故平面 AEF 与平面 ABCD 所成二面角的余弦值为6 7第<1）、 <2）问用推理论证法，第<3）问用空间向量法：<1）、 <2）给分同推理论证法<3）解： 以点 D 为坐标原点，DA ， DC ， DD1 所在的直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立如图的空间直角坐标系，则 A a,0,01a， F a, a,1， E 0,0,a23则 AEa,0, 1 a ， AF0, a, 1 a23zD1C1设 nx, y, z 是平面 AEF 的法向量，A1EB1/15DFCyABxn AE0,ax1 az0,2则即1n AF0.ay0.az3取

23、 z 6，则 x3， y2所以 n3,2,6是平面 AEF 的一个法向量而 DD10,0, a是平面 ABCD 的一个法向量，设平面 AEF 与平面 ABCD 所成的二面角为，则 cosn DD1, 1n DD10302a6 6 22272a36故平面 AEF 与平面 ABCD 所成二面角的余弦值为6 719 <本小题满分1）<本小题主要考查等差数列、等比数列、分组求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力和创新意识） k5A4u1BOd1解： <1）因为等差数列an 的首项为10，公差为2，所以 an10n1 2 ，即 an2n8 因为等比数列bn的首项为1

24、，公比为2，所以 bn12n 1 ，即 b2n 1 n<2）因为 a110 ， a212 ， a314 ， a416， a518 ， a6 20 ，b11， b22 ， b34 ， b4 8 ， b516 ， b632 易知当 n5 时， an bn 下面证明当 n6 时，不等式 bnan 成立方法 1： 当 n6 时， b26 132202 68a ，不等式显然成立66假设当 nkk6 时，不等式成立，即2k 12k8则有 2k2 2k 12 2k 8 2 k 1 8 2k 6 2 k 1 8 /15这说明当 n k 1 时，不等式也成立综合可知，不等式对n6的所有整数都成立所以当 n6 时， bnan 方法 2：因为当 n6时bnan 2n 12n 81 1n12n8C n01C1n 1C n21C nn112n 8C0n 1C1n 1C n2 1C nn13Cnn12C nn112n 82 Cn01C1n 1Cn212n 8n23n 6 n n 4n 6 0 ，所以当 n6 时， bnan 所以 cnmin an , bn2n1 ,n5,2n8,n5.则 cn222 n 2 ,n5,4 n 42n5.,当 n 5 时，Snc12c2 2c32cn2b12b22b3 2bn 220222422n214n14n1 143当