2022年函数的奇偶性、单调性、最值综合问题探究

1、精品资料欢迎下载函数的奇偶性、单调性、最值综合探究新泰一中闫辉学问梳理1. 函数的奇偶性：（ 1）奇函数：假如对于函数y=f （ x）的定义域内任意一个x，都有f（ x）=f（x）或 f（x）+ f（ x）=0，就称 f（x）为奇函数；（ 2 ） 偶函 数： 假如对 于 函数 f （ x） 的定 义域 内任意 一个 x， 都有f（ x） =f（ x）或 f（ x） f（ x）=0，就称 f（x）为偶函数 .（3）奇、偶函数的性质具有奇偶性的函数， 其定义域关于原点对称 （也就是说， 函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）.奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称.如

2、奇函数的定义域包含数 0，就 f（ 0） =0.奇函数的反函数也为奇函数 .奇偶函数的运算性质： 设 y=fxxd1为奇函数， y=gxx d2为偶函数，dd 1d 2 ,就在 d 上有：奇±奇奇（函数）偶±偶偶（函数）奇×奇偶（函数）偶×偶偶（函数）奇×偶奇（函数）2. 函数的单调性：（1） 增函数、减函数的定义一般地，对于给定区间上的函数y=f（ x），假如对于属于这个区间的任意两 个自变量的值 x1、x2，当 x1 x2 时，都有 f（ x1）f（x2）或都有 f（x1）f（ x2），那么就说 f（ x）在这个区间上是增函数（或减函数）

3、.假如函数 y=f（ x）在某个区间上是增函数（或减函数） ，就说 f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，这一区间叫做 f（x）的单调区间 .如函数是增函数就称区间为增区间，如函数为减函数就称区间为减区间 .（2） 函数单调性可以从三个方面懂得图形刻画：对于给定区间上的函数f（x），函数图象如从左向右连续上升，就称函数在该区间上单调递增， 函数图象如从左向右连续下降， 就称函数在该区间上单调递减 .定性刻画：对于给定区间上的函数f（x），如函数值随自变量的增大而增大，就称函数在该区间上单调递增， 如函数值随自变量的增大而减小，就称函数在该区间上单调递减 .定量刻画，即定义 .（3） ）关于

4、函数单调性的几个重要结论和函数的单调性：如 y=fx 与 y=gx 在公共区间 d内都是增（减）函数，就函数 y=fx+gx在 d内是增（减）函数；如 y=fx 在区间 d 内是增（减）函数，就函数y=kfx k>0 k<0在 d内是增（减）函数；奇偶函数在对称区间上的单调性奇函数在 a,b 和-b,-a a<b上单调性相同，偶函数在 a,b 和-b,-a a<b上单调性相反；3. 函数的最值：（1） 函数的最值的定义：定义：一般地，函数 y=fx 在 x0 处的函数值是 fx 0） ，假如对于定义域内任意 x，不等式 fx fx 0 （fx fx 0 ）都成立，那么

5、fx 0）叫做函数 y=fx的最小值，（最大值）记做： ymin=fx 0 （ymax=fx 0 ）（2） 求函数最值的常用方法有：（1） 配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后依据变量的取值范畴确定函数的最值；（2） 换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的；（3） 数形结合法：利用函数图象求出函数的最值.（4） 函数的单调性法 .一、函数奇偶性的判定问题；【例 1】 判定以下函数的奇偶性：（1）f（x） =|x+1|x1|；（2）f（x） =（x 1）· 1x ；1x（3）f（x） =1| xx2；2 |2（4）f（x） =x1xx1x x0, x0.

6、剖析：依据函数奇偶性的定义进行判定 .解：（1）函数的定义域 x（， +），对称于原点 .f（ x）=|x+1| x1|=|x1|x+1|=（ |x+1| |x1|） = f（x），f（x） =|x+1|x 1|是奇函数 .（2） ）先确定函数的定义域 . 由11x 0，得 1x 1，其定义域不对称于x原点，所以 f（x）既不是奇函数也不是偶函数 .（3） 去掉肯定值符号，依据定义判定 .1x20,1x1,由| x2 |20, 得 x0且x4.故 f（x）的定义域为 1，0）（0，1，关于原点对称，且有 x+20.从而有 f（x）=1x2=x221x 2x，这时有 f（ x）=1x 2=x1x

7、 2x=f（ x），故 f（ x）为奇函数 .（4）函数 f（x）的定义域是（， 0）（ 0，+），并且当 x 0 时， x0，f（ x）=（ x）1（ x）=x（1+x）=f（x）（ x 0）.当 x0 时， x0， f（ x）=x（1x）=f（x）（x0）.故函数 f（x）为奇函数 .评述：（1）分段函数的奇偶性应分段证明 .（2）判定函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式.二、奇偶函数的解析式问题；【例 2】已知 f（x）是奇函数，当 x（ 0， 1）时， f（x）=lg11xx（ 1， 0）时， f（x）的表达式是.，那么当解析：当 x（ 1，0）时，x（0，1），f（x）= f（

8、x）=lg11x（ 1 x）.答案： fx= lg （1x）=lg三、奇偶函数的图象问题；【例 3】下面四个结论中，正确命题的个数是偶函数的图象肯定与y 轴相交奇函数的图象肯定通过原点偶函数的图象关于 y 轴对称既是奇函数，又是偶函数的函数肯定是f（ x）=0（x r）a.1b.2c.3d.4解析：不对；不对，由于奇函数的定义域可能不包含原点；正确； 不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f（x）=0x（ a，a）.答案： a四、函数单调性的判定问题；【例 4】证明：函数f xx 3x 是增函数【例 5】争论函数 f（x）=ax（a0）在 x（ 1， 1）上的单调性 .x 21解：设 1x1x

9、21，就 f（x1） f（ x2）=ax12x11ax2222x21x222= ax1 2ax1ax2 1ax2= a x2x1 x1 x21 .x2 x11 x21x11 x21 1 x1 x2 1，x2 x10，x1x2 +10，（ x1 2 1）（x 2 1） 0.又 a0，2f（x1） f（ x2） 0，函数 f（x）在（ 1， 1）上为减函数 .五、函数单调区间的求法问题；【例 6】 求函数 y=x+ 1 的单调区间 .（对号函数）【增减减增】x剖析：求函数的单调区间（亦即判定函数的单调性） ，一般有三种方法：（1） 图象法；（ 2）定义法；（3）利用已知函数的单调性 .但此题图象不

10、易作，利用 y=x 与 y= 1 的单调性（一增一减）也难以确定，故只有用单调性定义来确x定，即判定 f（x2） f（x1）的正负 .解：第一确定定义域： x|x 0 ，在（， 0）和（ 0，+）两个区间上分别争论 .任取 x1、x2 （ 0，+）且 x1 x2，就 f（ x1） f（x2）=x1+ 122x1 x2 1 =x2（ x1x2）+ x2x1=（x1-x ）（1 1）=（x1- x ）x1x21x1x2x1 x2x1x2（1）当 x1、x2（ 0， 1）时，f（x1） f（x2） 0，为减函数 .（2）当 x1、x2（ 1， +）时，f（x1） f（x2） 0，为增函数 .同理可求

11、（ 3）当 x1、x2（ 1， 0）时，为减函数；（ 4）当 x1、x2（， 1）时，为增函数 .评述：解答此题易显现以下错误结论： f（x）在（ 1，0）（ 0，1）上是减函数，在（， 1）（ 1，+）上是增函数，或说 f（ x）在（， 0）（ 0，+）上是单调函数 .排除障碍的关键是要正确懂得函数的单调性概念： 函数的单调性是对某个区间而言的，而不是两个或两个以上不相交区间的并.深化拓展求函数 y=x+a （a0）的单调区间 .x提示：函数定义域 x0，可先考虑在（ 0，+）上函数的单调性，再依据奇偶性与单调性的关系得到在（，0）上的单调性 .答案：在（， a ，（ a ，+）上是增函数，

12、在（ 0， a ，（a ，0） 上是减函数 .【例 7】求以下函数的单调区间：(1) yx 21 x0x 2 y2 x2x13 yx 22 | x |3六、函数奇偶性与单调性的应用；【例 8】（1）已知函数f xax 3bx5, f 23,求 f 2 ；（2） 已知f x 是偶函数，g x 为奇函数，f xg xx 22 x 求 f（ x）；（3） 求函数f xx 25x24的值域；七、二次函数在区间上的最值问题；【例 9】求函数 y2 x 23 x1 在区间 1,2 上的最大值和最小值；【例 10】求函数 yx 22 x3 在区间 a, a1 上的最大值；【例 11】求函数 yx 22ax1

13、 在区间0,2 上的最大值和最小值；闯关训练1. 已知函数 f（x）=ax2bx c（a0）是偶函数，那么 g（x）=ax3 bx2 cx 是a.奇函数b.偶函数c.既奇且偶函数d.非奇非偶函数解析：由 f（x）为偶函数，知 b=0，有 g（x）=ax3cx（a0）为奇函数 .答案： a2. 已知 f（ x） ax2 bx3ab 是偶函数，且其定义域为 a 1， 2a，就 a，b.解析：定义域应关于原点对称，故有 a1 2a，得 a 1 .3又对于所给解析式，要使 f（ x） f（ x）恒成立，应 b0.答案： 10313. 给定函数 :y= （xx0）；y=x2+1；y=2x；y=log2x

14、；y=log（2 x+x 21 ）.在这五个函数中，奇函数是 .答案： ，偶函数是 ，非奇非偶函数是4. 以下函数中，在区间（ 0，2）上为增函数的是a.y= x+1b.y=xc.y=x2 4x+5d.y= 2x答案： b5. 函数 y=log a（ x22x3），当 x=2 时， y 0，就此函数的单调递减区间是 a.（， 3）b.（1，）c.（， 1）d.（ 1，）解析：当 x=2 时， y=log a5 0，a 1.由 x22x30x 3 或 x1， 易见函数 t x22x 3 在（， 3）上递减，故函数 y=loga（x2 2x3）（其中 a1）也在（， 3）上递减 .答案： a6.（

15、 2003 年北京朝阳区模拟题）函数y=log .1 |x 3|的单调递减区间是2解析：令 u=|x3|，就在（， 3）上 u 为 x 的减函数，在（ 3，+）上 u为 x 的增函数 .又 0 12答案：（ 3， +） 1，在区间（ 3，）上， y 为 x 的减函数 .7. 有以下几个命题：函数 y=2x2+x+1 在（0，） 上不是增函数；函数 y=1在（，x1 1）（ 1，）上是减函数；函数 y=54 xx 2的单调区间是 2，+）；已知 f（x）在 r 上是增函数，如 a+b 0，就有 f（a）+f（b）f（ a）+f（ b）.其中正确命题的序号是.解析：函数 y=2x2+x+1 在（

16、0，+）上是增函数，错；虽然（， 1）、（ 1，）都是 y=1 的单调减区间，但求并集以后就不再符合x1减函数定义，错；要争论函数y=54xx 2的单调区间，第一被开方数5+4xx2 0，解得 1x5，由于 2，+）不是上述区间的子区间， 错； f（x）在 r 上是增函数，且 a b，b a，f（a）f（b），f（b）f（ a），f（a）+f（b） f（ a） +f（ b），因此是正确的 .答案：a8. 如 f（x）=2xax2 为奇函数，求实数 a 的值.21解： x r，要使 f（x）为奇函数，必需且只需 f（x）+f（ x） =0，即2a 2x+a212 x=0，得 a=1.19.（文）

17、假如函数 f（x）=x2+2（a1）x+2 在区间（， 4上是减函数， 那么实数 a 的取值范畴是.解析：对称轴 x=1a，由 1a4，得 a 3.答案： a 3巩固：假如函数 f（x）= x2+2（a1）x+2 的单调减区间是（， 4，那么实数 a的值是 答案： a= 3（理）（2003 年湖北省荆州市高中毕业班质量检查题）函数y=f（ x）的图象与 y=2x 的图象关于直线y=x 对称，就函数y=f（ 4x x2 ）的递增区间是 .解析：先求 y=2x 的反函数，为 y=log2x， f（ x）=log2x，f（4x x2）=log2（ 4xx2）.令 u=4x x2，就 u0，即 4xx

18、20.x（ 0，4）.又u=x2+4x 的对称轴为 x=2，且对数的底为 21，y=f（4xx2）的递增区间为（ 0，2）.答案：（ 0， 2） ）在（10. 争论函数 f（x） = ax1 （a12， +）上的单调性 .x22解：设 x1、x2 为区间（ 2，+）上的任意两个值，且 x1x2，就f（ x1） f（x2）= ax11x12ax21x22= ax11x22ax21 x12 x12 x22= x2 x1x1 12 x22a .2x1（ 2，+），x2（ 2，+）且 x1x2，x2 x1 0，x1+2 0， x2+20.当 12a0，即 a 12时， f（ x1）f（x2），该函数为

19、减函数；当 1 2a0，即 a1 时，2f（x1） f（ x2），该函数为增函数 .11. 如奇函数 f（ x）在 a，b上是增函数，且最小值是 1，就 f（x）在 b， a上是a.增函数且最小值是 1b.增函数且最大值是 1c.减函数且最小值是 1d.减函数且最大值是 1解析： f（ a） =1， f（ a）= 1.答案： b12.已知 f（x）是定义在1，1上的奇函数，且 f（1）=1，如 a、b1，1，a+b0 时，有f aaf b b0.判定函数 f（x）在 1，1上是增函数仍是减函数，并证明你的结论.解：任取 x1、x2 1，1，且 x1x2，就 x2 1，1.又 f（x）是奇函数，于是f（ x1） f（x2）=f（ x1）+f（ x2）= f x1 f x 2 ·（ x1x2）.x1x2 据已知f x1 f x 2 0，x1 x20，x1x2 f（x1） f（x2） 0，即 f（x1） f（x2）.f（x）在 1， 1上是增函数 .学问梳理考卷1、函数的定义：设 a、b 是非空的数集，假如按某个确定的对应关系 f，使对于集合 a 中