2022年函数方程不等式之间的关系

1、学习必备欢迎下载函数、方程和不等式的关系许多同学在学习中把函数、 方程和不等式看作三个独立的学问点； 实际上， 他们之间的联系特别紧密； 假如能娴熟地把握三者之间的联系， 并在做题时敏捷运用， 将会有事半功倍的收效；函数与方程之间的关系；先看函数解析式：yaxba0 ，这是一个一次函数，图像是一条直线；对于这个函数而言， x 是自变量，对应的是图像上任意点的横坐标；y 是因变量，也就是函数值，对应的是图像上任意点的纵坐标；假如令y0 ，上面的解析式也就变成了axb0 ，也就是一个一元一次方程了； 我们知道， 一般在求一个函数图像与x 轴交点的时候， 令 y0（同理求一个函数图像与y 轴交点的时

2、候，令x0 ）；所以上面的意义可以这样表达：将函数解析式中的 y 变为 0 ，那么就得到相应的方程； 这个方程的解也就是原先的函数图像与x 轴交点的横坐标； 这就是函数解析式与方程之间的关系，它适用于全部的函数解析式；举例说明如下：例如函数 y2 x3 的图像如右所示：,0该函数与 x 轴的交点坐标为32，也就是在函数解析式 y2 x3 中，令 y0 即可；令 y0也就意味着将一元一次函数y2 x3 变成了一元一次方程 2x30 ，其解和一次函数与x 轴的交点的横坐标是相同的；接下来推广到二次函数：例如函数 y2 x25 x2 的图像如右图所示：很简单验证，该函数图象与x 轴的交点的横坐标正是

3、方程2 x25 x20 的解；假如右边的函数图象是通过列表、描点、连线 的方式作出来的，虽然比较精确，但过程特别繁琐；在实际中，许多时候并不要求我们把函数图象作得 很精准；有时候只需要作出大致图像即可；既然上面叙述了函数图象与对应的方程之间的关系，我们可不行以通过利用方程的根来绘制对应的函数图象呢？函数 y2 x25 x2 对应的方程是2x25x20 ，先求出这个方程的两个解； 很容易依据十字相乘法 2 x1 x2) 0 得出该方程的两个解分别为1和 2；这样，依据函数2解析式与方程之间的关系，也就得出了函数y2 x25 x12 与 x 轴的两个交点 ,0 和22,0 ；有了与横坐标两个交点的

4、坐标，仍知道了开口方向（二次项前面的系数20 ，所以开口向上） ，就该二次函数的大致图像就简单作出了；以上的结论可不行以进一步推广呢？先看接下来这个函数解析式y x1x2 x3) ，假如作这样一个三次函数 （三次或三次以上就叫高次函数）的图像，用列表、描点、连线的方法是特别复杂的，甚至无法作出；假如我们采纳上面的思想，先求出y x1 x2 x3 对应的方程 x1x2 x30 的根，很简单得出该方程的三个根：1、2、-3 ；知道了三个根仍不行， 仍必需知道开口方向， 由于三次函数和二次函数不同，所以不行能通过三次项系数的正负来确定开口方向；在实际中， 我们可以发觉这样的规律：假如三次项系数是正数

5、、最右边一个交点的右边部分图像是在x 轴上面的； 假如三次项系数是负数， 最右边一个交点的右边部分图像是在x 轴下面的；那么函数y x1 x2 x3 的大致图像如下：函数 yx1x2 x3 的大致图像如下：通过以上函数图象：我们可以总结出作高次函数大致图像的步骤：（1） 求出高次函数所对应的方程的根，并在数轴上（不需要建立坐标系）从小到大依次表示出来；（2） 假如最高次项的系数是正数，就依据从右到左，从上到下依次穿过；假如最高次数的系数是负数，就依据从右到左，从下到上依次穿过； 函数与不等式之间的关系函数解析式：yaxba0 中，假如变为axb0（ 的情形类似） 或 axb0（的情形类似） ，

6、那么就是不等式了；实际上，以上两个不等式分别对应一次函数yaxba0 的图像在 x 轴上方和 x 下方的情形；而不等式axb0 和 axb0 的解分别是一次函数yaxba0 的图像上方部分对应的自变量x 的范畴和下方部分对应的自变量 x 的范畴；例如不等式 2x30 所对应的是一次函数y2x3 在 x 轴上方部分的图像；该不等式的解为 y2 x3 在 x 轴上方部分的图像所对应的自变量 x 的范畴，即 x3 ；2在二次函数中，这种不等式和函数的对应关系同样适用；例如：y2 x25 x2的图像如右图所示：不等式2 x25 x20 的解为二次函数y2x25x2 图像上在 x 轴上方的部分，不等式的

7、解为： x1 或 x2 ；同理22 x25x20 的解为 12x 2；这也就是二次不等式“二次项的系数大于零， 后面是大于号的取两边（即小于最小根，大于最大根） ，后面是小于号的取中间（大于最小根，小于最大根）”的性质；对于二次项系数小于零的不等式，可以通过在两边同时乘以-1 将二次项系数变为正数；从上面的现象可以得出函数和不等式的关系：不等式f x0 对应的是函数f x 图像上在 x 轴上方的部分， 不等式f x0 的解就是函数f x图像上在 x 轴上方的部分所对应的自变量 x 的取值范畴；不等式f x0 对应的是函数f x图像上在 x 轴下方的部分，不等式 fx0 的解就是函数f x 图像

8、上在 x 轴下方的部分所对应的自变量x 的取值范畴；对于多次不等式，例如 x1x2 x30 ，第一在数轴上作出函数y x1x2 x3 的大致图像 （前面已介绍） ，然后取图像在x 轴上方部分对应的x 的取值范畴；所以不等式 x1x2 x30 的解为 x3 或2x1 ；同理也可以解n n4 次不等式； 一元二次方程和一元二次不等式的关系假如将一元二次方程ax2bxc0a0 中的“ =”改为“”或“” ，就可变为一元二次不等式；解一元二次不等式的步骤：1、 二次项为负数的， 第一要在两边同时乘以-1 将二次项系数变为正数 （留意不等式两边同时乘以一个负数后，不等号要变号）；如2 x25x20 要通

9、过两边同乘以-1 变为2 x25 x20 ；2、 解出不等式对应的方程的两个根；如解出方程2 x25 x20 的两根分别为2, 1 ；23、 假如是大于号， 解为： x最小根或 x最大根； 假如是小于号， 解为：最小根x最大根；例如2x215x20 的解为：2x2 ； 一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式之间的关系在图像上的表示在实际中，我们常常会遇到这样的方程：x2x10 或这样的不等式：x2x10 ；结果是都是无解；也会遇到x2x10 ，解为全体实数；这就说明一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式在图像上仍存在着某种明显的关系；我们分别作出函数f xax2bxca0 的六种可能图

10、像；第一种：当 a0,b24ac0 时，图像为：从图像我们可以看出，该图像与x 轴有两个交点，也就是说方程ax2bxc0 有两个不相等的实数根（设为x , x ，且xx ）， ax2bx c0 的解为：xxx ，121212ax 2bxc0 的解为：xx1 或xx2 ；所以可以得出这样的结论：当 a0,b24ac0 时，方程ax2bxc0 有两个不相等的实数根（设为x1, x2 ，且 x1x ），ax2bxc0 的解为： x1xx ，ax2bxc022的解为：xx1 或xx2 ；其次种：当 a0,b24ac0 时，图像为：从图像我们可以看出，该图像与x 轴有一个交点，也就是说方程22axbxc

11、0 有两个相等的实数根 （设为x1, x2 ，且 x1x2 ）， ax2 bx c0 的解集为：， axbxc0 的解为：xx1 或 xx2 即 xx1 ；所以可以得出这样的结论：当a 0,b24ac0 时，方程ax2bxc0 有两个相等的实数根（设为x1, x2 ，且xx ）， ax 2bxc0 的解集为：， ax2bxc0 的12解为：xx1或 xx2 即xx1 ；第三种：当 a0,b24ac0 时，图像为：从图像我们可以看出，该图像与x 轴没有交点，也就是说方程ax 2bxc0 没有实数根，ax 2bxc0 的解为：， ax2bxc0 的解为： r ；2所以可以得出这样的结论：当 a0,

12、b24 ac0 时，方程ax2bxc0 无实数根；ax 2bxc0 的解为：， axbxc0 的解为： r；第四种：当 a0,b24ac0 时，图像为：从图像我们可以看出，该图像与x 轴有两个交点，也就是说方程ax2bxc0 有两个不相等的实数根（设为x , x ，且 xx ）， ax2bxc0 的解为： xx 或 xx ，121212ax 2bxc0 的解为：x1xx2 ；所以可以得出这样的结论：当 a0,2b 4 ac20 时，方程 axbxc0 有两个不相等的实数根（设为x1, x2 ，且xx ）， ax2bxc0 的解为：xx1 或xx2 ，12ax 2bxc0 的解为：x1xx2 ；

13、第五种：当 a0,b24ac0 时，图像为：从图像我们可以看出，该图像与x 轴有一个交点，也就是说方程ax2bxc0 有两个相等的实数根 （设为x , x ，且 xx ），ax2bx c0 的解集为：xx 或xx 即 xx ，1212121ax 2bxc0 的解为：；所以可以得出这样的结论：当 a0,b24 ac0 时，方程ax2bxc0 有两个相等的实数根（设为x1, x2 ，且 x12x2 ）， axbxc0 的解集为：xx1 或x x2 即 xx1，ax 2bxc0 的解为：；第六种：当 a0,b24ac0 时，图像为：从图像我们可以看出，该图像与x 轴没有交点，也就是说方程ax 2bx

14、c0 没有实数根，ax 2bxc0 的解为： r ， ax2bxc0 的解为：；所以可以得出这样的结论： 当 a0,b 24ac0 时，方程ax2bxc0 没有实数根，ax 2bxc0 的解为： r ， ax2bxc0 的解为：；总结： 值得留意的是，假如对于一元二次函数y ax2bxc a0 无论自变量 x 取什么值，函数值都大于零，那么这就属于上面六种情形中的第三种情形，就有a0,b24ac0 ；假如对于一元二次函数yax2bxca0 无论自变量 x 取什么值，函数值都小于零，那么这就属于上面六种情形中的第六种情形，就有：a0,b24 ac0 ；1、 已知 例题精讲ax22xc0 的解集为x1x1，试求 a、c 的值；32解析： 第一， 假如 a0 ，就不等式ax22 xc0 的解应当是 “两边”，不应当是 “中间”，所以必定有 a0 ；这并不影响做题；由题意值：1 、 1 是方程ax 22 xc0 的两根；依据韦达定理（即根与系数关系，即x1x232b， x1 x2ac）得：a112，32a11c32a；解得： a12 ， c2 ；2、 设二次函数f xx22 xa ，（ 1）如存在实数x 使得不等式f x0 成立，就实数 a