四1.10三角函数复习与小结教案

1、1.10 三角函数 小结与复习一、教学目标：知识与技能：回顾本章基本概念及公式：任意角的概念、弧度制、任意角三角函数的定义，同角三角函数基本关系及诱导公式，三角函数的图像与性质及其应用，三角函数图像变换等。掌握常见问题的解法。过程与方法：通过对基本知识的梳理回顾， 帮助学生形成知识网络。 由基本问题的解决， 促使学生形成解题技能。情感、态度与价值观通过章节复习培养学生总结归纳能力。在问题逐步深入的研究中唤起学生追求真理、乐于创新的情感需求，引发学生渴求知识的强烈愿望，树立科学的人生观、价值观二重点难点重点：基本知识的回顾及基本问题的解法难点：知识的综合运用能力。三、教材与学情分析通过章节复习引

2、导学生解决有一定综合性和思考水平的问题 , 培养他们综合应用数学和其他学科的知识解决问题的能力 . 培养学生的建模、 分析问题、 数形结合、 抽象概括等能力。四、教学方法问题引导，主动探究，启发式教学五、教学过程一、构建知识网络，完善认知体系、归纳基本题型，形成解题技能专题一三角函数的概念三角函数的概念所涉及的内容主要有以下两方面：理解任意角的概念、弧度的意义， 能正确地进行弧度与角度的换算；掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线， 能够利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域.例1 (1)设角a属于第二象限，COS 2 = 一 COS 2，试判定2角属于第几

3、象限.(2)求函数y = 13tan x+yf3的定义域.一.、r一，一兀兀 a兀解：依题息得 2kTt+ 2< a<2kTt+ Ttk Z),所以 kTt+ 4<2<k 兀+ 2(叱 Z) .当k= 2n(nCZ)时，2为第一象限角；当k= 2n+1(nCZ)时，科第三象限角.-y-f民_ _ _ 8 八 LL r r又 cos 2 = cos 2>0,所以 cos 2< 0.所以我为第二、三象限角或终边落在 x非正半轴上或y轴上.综上所述，2是第三象限角.(2)3tan x+x>0,即3 tan x A 2 . 3k兀一6+k兀+ 2,所以函数y

4、= 43tan x+43的定义域为%工"x k兀6双< k兀+ 2 ,kC Z .第7页共7页A归纳升华1,由a所在象限，判断2角所在象限时，一般有两种方法：一种是利用终边相同角的集 合的几何意义，用数形结合的方法确定 和所属象限；另一种方法就是将k进行分类 讨论.2.求函数的定义域注意数形结合，应用单位圆中三角函数线或函数图象解题；求与正 切函数有关问题时，不要忽视正切函数自身的定义域.变式训练1 (1)若。为第四象限的角，试.判断sin(cos 0) cos(sin。)的符号；(2)已知角a的终边过点P(3cos 0, 4cos 0),其中长1t, “求a的正切值. 一一一

5、TTTT解：因为。为第四象限角，所以 0<cos 9<1<-, 2<1<sin X0, 所以 sin(cos 0)>0, cos(sin >0,所以 sin(cos 0) cos(sin >0.(2)因为 长 仅 兀g 所以 cos 0<0, 所以 r= x2+y2 = ；9cos2 升 16cos2。= 5cos a故 sin a= y= 4i,cos a= x= 3, tan a= y = 4 4r 5r 5x3.专题二同角三角函数的基本关系与诱导公式在知道一个角的三角函数值求这个角的其他的三角函数值时，要注意题中的角的范围，必要时按象

6、限进行讨论，尽量少用平方关系，注意切化弦、“1的妙用、方程思想等数学思想方法的运用，在利用诱导公式进行三角式的化简，求值时，要注意正负号的选取.例 2 已知 2 + tan( °= 4, 求(sin 0 3cos 0) (cos 0- sin 0)的值.1 + tan (2 兀一。)解：法一：由已知 2+ tan 0 = 4,所以 2+tan 0= 4(1 tan 0),解得 tan 0= 2,1- tan所以(sin 0 3cos (cos 0 sin 0)= 4sin (cos 0 sin2 o 3cos2 o=4sin (cos 0 sin2。 3cos2 0 4tan 0 t

7、an2。- 3_843 1sin2 0+ cos2 0tan2 0+14+15.法二：由已知2+tan 9= 4,解得tan仁2,即sn4=2,所以sin 0= 2cos 为 1-tan 0cos 0所以(sin 0 3cos (cos 0 sin 0)=2八一一2 cos 011(2cos e- 3cos 9(cos 42cos e) = cos 0= sin2e+ cos2 rtOTA归纳升华三角函数式的化简，求值与证明问题的依据主要是同角三角函数的关系式及诱导公式.解题中的常用技巧有：(1)弦切互化，减少或统一函数名称；(2) “仍代换，如：1 =sin2 a+ cos2&常用于

8、解决有关正、余弦齐次式的化简求值问题中),1=tan 4等；(3)若式子中有角k, kC Z,则先利用诱导公式化简.5变式训练2.若sin“=得，且“为第四象限角，则tan “的值等于()1312A飞B.12555 C.行D.12解析：法一：因为a为第四象限的角，故cos a= 1 1 sin a=-g；= 11，所以 tan1313sin aa=cos法二：因为a是第四象限角，且 sin a=135121313'12-所以可在a的终边上取一点P(12, 5),则tan a= y=磊.x 12答案：D专题三 三角函数的图象及变换三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的

9、具体体现. 在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、 观察来讨论函数的有关性质.例3如图是函数y=Asin(cox+ B + k。，«0, |2,的一段图象.求此函数解析式；(2)分析一下该函数是如何通过y= sin x变换得来的？1-J3、_1+3解：(1)由图象知 A= 2 2一红=2，k= 2 2 = - 1 , T=2X(26= it,所以 3=蔗=2.所以 y=2sin(2x+ 昉1.当 x=M, 2T + Q：,所以所以所求函数解析式为y = 2sin 2x+ ；1.(2)把y= sin x向左平移6单位得到y= sin |x+

10、6j然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的2,得到y=sinj2x + £,再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2得到y=tsin |2x+ 6 j最后把函数y=；sin,x+6；的图象向下平移1个单位，得到y=2sin,x+61的图象.A归纳升华ymax - yminymax+ymin2 兀 r 一仆、 » f 、r 八1 .求解析式的方法：A=2，k =2，=，由 五点作图法 中万法令成兀，2兀或2兀求心2 .图象变换中应注意方向变化与解析式加减符号变化相对应.变式训练3.将函数y=sin(2x+ 的图象沿x轴向左平移(个单位后，得到一个偶函一数 8的图象，则。的一个可能

11、取值为()c兀B.4解析：由题意得g(x)=sin 24为偶函数，所以4 + 4=卜兀+2t,kC Z,所以 Q kjt+j.令 k=0,得 Q：.答案：B专题四三角函数的性质三角函数的性质，重点应掌握y= sin x, y= cos x, y= tan x的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质，在此基础上掌握函数 y=Asin(cox+昉，y=Acos(cox+昉及y= Atan(cox+昉的相关性质.在研究其相 关性质时，将wx+()看成一个整体，利用整体代换 思想解题是常见的技巧.例4已知函数f(x) = 2sin7x+6/+ a+1(其中a为常数).(1)求f(x)的单调区间

12、；(2)若xC 0, 2刷,f(x)的最大值为4,求a的值；(3)求f(x)取最大值时x的取值集合.解：(1)由一：+ 2k兀 wx：+6w2t+ 2k Tt, kCZ,解得一；十 k 兀痔科 ku, kC Z ,所以函数 f(x)的单调增区间为一3+ kit,，+ ku (kC Z),由 2t+ 2kTt Wx+62k% kCZ,解得;+ ku x等+ kTt, k Z,所以函数f(x)的单调减区间为6+ k& 争 kM(kC Z).(2)因为。今日 所以6c及+6w，所以一2< sin2x+ 6卜1,所以f(x)的最大值为2+a+1 = 4,所以a=1,兀 兀1 一，、，兀1

13、 一，、，兀一(3)当 f(x)取最大值时，2x+6 = 2+2k Tt,所以 2x=- + 2k u,所以 x=6+ ku, kC 乙所以当f(x)取最大值时，x的取值集合是<x x = 6+ k兀，kCZA归纳升华1 .形如y= Asin(cox+昉+k单调区间求法策略：可把 % x+力”看作一个整体，代入正弦 函数的相应区间求解.2 .求形如y=Asin(cox+ + k的值域和最值时，先求复合角wx+式的范围，再利用 yf(x)=0,则=sin x的性质来求解.变式训练4.设函数f(x)(xC R)满足f(x+ % > f(x)+ sin x,当。aw的,=()13A.2

14、B. 2 C, 0 D-解析：因为 f(x+ 2ntf(x+ nt >sin(x+ ntAf(x)+sin x-sin x=f(x),所以 f(x)的周期 T=2% 又因为当 0a<兀时，f(x) = 0,所以 f6y=。，即 f6+ 兀尸 f$'+ sin-6) 0, 所以G6% 2,所以售餐-6 %«-*2.答案：A专题五转化与化归思想化归思想贯穿本章的始终，在三角函数的恒等变形中，同角关系式和诱导公式常化繁为简，化异为同，弦切互化；在研究三角函数的图象与性质时，常把函数 y=Asin(«x+昉化归 为简单的y = sin x来研究.这些均体现三角函

15、数中的转化与化归的思想方法.例5求函数y=2sin1一2x和单调区间.解：将原函数化为 y= 2sin gx4J.由 2kjt彳43x-4<kTt+-2(k Z),得3k兀3兀买w k兀+9兀k C Z),此时函数单调递减. 88由2kTt+。x-7<k兀+ 3兀kC Z),得3kTt+ 9兀荚w kTt+ WtiKCZ),此时函数单调递增. 2 34288故原函数的单调递减区间为3k %-3兀，3kTt+ 8(kC Z),单调递增区间为 3k兀+ 9 tt, 3k兀+ 21(keZ). -88iA归纳升华1 .求形如函数 y = Asin(cox+(3<0)的单调区间时：先把此函数化为y=Asin(cox昉的形式后，再利用函数y=sin x的单调区间来求解是常用策略，其目的是使 x的系数为正数是关键.2 .在求形如y= Asin2x+ Bsin x+C的值域或最值时， 常令t=sin x转化为一元二次函数来求解.变式训练5.已知冈宁，求函数f(x)= cos2x+sin x的最小值.解:y= f(x)= cos2x+ sin x= sin