格林公式及应用2

1、gyxo 1lqdypdx一、曲线积分与路径无关的定义一、曲线积分与路径无关的定义 2lqdypdx1l2lba如果在区域如果在区域g内有内有 否否则则与与路路径径有有关关. .二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理定理2.2.设设g是单连通域是单连通域 ,),(),(yxqyxp在在g内内具有一阶连续偏导数具有一阶连续偏导数,(1) 沿沿g 中任意光滑中任意光滑闭闭曲线曲线 l , 有有dd0.lp xq y+=(2) 对对g 中任一分段光滑曲线中任一分段光滑曲线 l, 曲线积分曲线积分(3)ddp xq y+),(yxud ( , )ddu x y

2、pxqy=+(4) 在在 g 内每一点都有内每一点都有.pqyx抖=抖ddlp xq y+与路径无关与路径无关, 只与起止点有关只与起止点有关. 函数函数则以下四个条件等价则以下四个条件等价:在在 g 内是某一函数内是某一函数的全微分的全微分,即即 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 说明说明: 积分与路径无关时积分与路径无关时, 曲线积分可记为曲线积分可记为 证明证明: (1) (2)设设21, ll12ddddllp xq yp xq y+-+蝌1ddlp xq y=+2ddlp xqy-+12ddllp xq y-+=+0=ab1l2l2ddlp xq y=+1d

3、dlp xq y+为为g内内任意任意两条由两条由a 到到b 的有向分段光滑曲的有向分段光滑曲线线,则则(根据条件根据条件(1)ddbap xq y=+ddabpxqy+定理定理2 2 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 证明证明: (2) (3)在在g内取定点内取定点),(00yxa因曲线积分因曲线积分00( ,)(,)( , )ddx yxyu x yp xq y=+(, )( , )xuu xx yu x yd=+ d-则则( ,)p xy=0limxxuuxxdd=d0lim(, )xp xx yqd=+d(,)( , )ddxx yx yp xq y+ d=+(, )(

4、, )dxx yx yp x+ d=(, )p xx yxq=+ dd同理可证同理可证uy( , ),q x y=因此有因此有dddupxqy=+和任一点和任一点b( x, y ),与路径无关与路径无关,(, )cxx y+d),(yxb),(00yxa有函数有函数 定理定理2 2 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 证明证明: (3) (4)设存在函数设存在函数 u ( x , y ) 使得使得dddup xq y=+则则( , ),( ,)uup x yq x yxy抖=抖p, q 在在 g 内具有连续的偏导数内具有连续的偏导数,22uux yy x抖=抖抖所以从而在从而在d

5、内每一点都有内每一点都有pqyx抖=抖22,puquyx yxy x抖抖=抖抖抖定理定理2 2 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 证明证明: (4) (1)设设l为为g中任一分段光滑闭曲线中任一分段光滑闭曲线,dd(如图如图) ,d 因 此 在上pqyx抖抖利用利用格林公式格林公式 , 得得dd()d dldqqp xq yx yxx抖+=-抖蝌ddl0=所围区域为所围区域为证毕证毕定理定理2 2 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 yx说明说明: 根据定理根据定理2 , 若在某区域内若在某区域内,pqyx抖=抖则则2) 求曲线积分时求曲线积分时, 可利用格林公式

6、简化计算可利用格林公式简化计算,3) 可用积分法求可用积分法求d u = p dx + q dy在域在域 d 内的原函数内的原函数:00(,)xyd及动点及动点( ,),x yd00( ,)(,)( , )( , )d( , )dx yxyu x yp x yxq x yy=+00( ,)dxxp x yx=或或00( , )(, )dyyu x yq x yy=0y0 x则原函数为则原函数为0( , )dyyq x yy+0( ,)dxxp x yx+若积分路径不是闭曲线若积分路径不是闭曲线, 可可添加辅助线添加辅助线;取定点取定点1) 计算曲线积分时计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径可

7、选择方便的积分路径;定理定理2 2 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 xxyxyyp2)2(2 xyxxxq2)(42 解解 xqyp ，原积分与路径无关原积分与路径无关.1523 积积分分与与路路径径无无关关xqyp ，解解,2)(2xyxyyyp ),()(xyxyxxq ,),(2xyyxp ),(),(xyyxq 由由0)0( ，知知0 c 2)(xx .由由xyxy2)( cxx 2)(11000dxydy=+蝌.21 例例3. 验证验证22ddxyxx y y+是某个函数的全微分是某个函数的全微分, ,并求并求出这个函数出这个函数. . 证证: 设设22,pxyqx

8、 y=则则2pqx yyx抖=抖由定理由定理2 可知可知, 存在函数存在函数 u (x , y) 使使22ddduxyxx y y=+( , )22(0,0)( , )ddx yu x yxyxx y y=+。)0 , 0(。),(yx)0 ,(x00dxxx=20dyx y y=20dyx yy+2212x y=机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例4. 验证验证22ddxyyxxy-+在右半平面在右半平面 ( x 0 ) 内存在原函内存在原函数数, ,并求出它并求出它. . 证证: 令令2222,yxpqxyxy-=+则则22222(0)()pyxqxxxyy-=

9、+由由定理定理 2 可知存在原函数可知存在原函数( , )22(1,0)dd( , )x yx yy xu x yxy-=+10 dxx= -arctan(0)yxx=oxy220dyyxxy+)0 ,(x)0 , 1(),(yx三、小结三、小结与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件 lqdypdxd与与路路径径无无关关内内在在)1( cdcqdypdx闭闭曲曲线线, 0)2(qdypdxduyxud 使使内内存存在在在在),()3(xqypd ,)4(内内在在等等价价命命题题一、一、 填空题填空题: :1 1、 设闭区域设闭区域d由分段光滑的曲线由分段光滑的曲线l围成围成,

10、 , 函数函数),(,),(yxqyxp及在及在d上具有一阶连续偏导数上具有一阶连续偏导数, ,则则有有 ddxdyypxq)(_；2 2、 设设d为 平 面 上 的 一 个 单 连 通 域为 平 面 上 的 一 个 单 连 通 域 , , 函 数函 数),(,),(yxqyxp在在d内有一阶连续偏导数内有一阶连续偏导数, ,则则 lqdypdx在在d内与路径无关的充要条件是内与路径无关的充要条件是_在在d内处处成立；内处处成立；3 3、 设设d为由分段光滑的曲线为由分段光滑的曲线l所围成的闭区域所围成的闭区域, ,其面其面积为积为 5,5,又又),(yxp及及),(yxq在在d上有一阶连续偏

11、上有一阶连续偏导数导数, ,且且1 xq, ,1 yp, ,则则 lqdypdx_. .练练 习习 题题二、二、 计算计算 ldyyxdxxxy)()2(22其中其中l是由抛物线是由抛物线2xy 和和xy 2所围成的区域的正向边界曲线所围成的区域的正向边界曲线, ,并并验证格林公式的正确性验证格林公式的正确性 . .三、三、 利用曲线积分利用曲线积分, ,求星形线求星形线taytax33sin,cos 所所围成的图形的面积围成的图形的面积 . .四、证明曲线积分四、证明曲线积分 )4,3()2, 1(2232)36()6(dyxyyxdxyxy在整个在整个xoy面面内与路径无关内与路径无关,

12、,并计算积分值并计算积分值 . .五、利用格林公式五、利用格林公式, ,计算下列曲线积分计算下列曲线积分: :1 1、 ldyyxdxyx)sin()(22其中其中l是在圆周是在圆周 22xxy 上由点上由点(0,0)(0,0)到点到点(1,1)(1,1)的一段弧；的一段弧；2 2、求曲线积分、求曲线积分 ambdyyxdxyxi221)()(和和 anbdyyxdxyxi222)()(的差的差. .其中其中amb是过原点和是过原点和)1,1(a, ,)6,2(b且其对称轴垂直于且其对称轴垂直于x轴的抛物线上的弧段轴的抛物线上的弧段, , amb是连接是连接ba ,的线段的线段 . .六、计算

13、六、计算 lyxydxxdy22, ,其中其中l为不经过原点的光滑闭曲为不经过原点的光滑闭曲 线线 .( .(取逆时针方向取逆时针方向) )七、验证七、验证yxxdxxyyx23228()83( dyyey)12 在整在整个个xoy平面内是某一函数平面内是某一函数),(yxu的全微分的全微分, ,并求这并求这样一个样一个),(yxu. .八、试确定八、试确定 , ,使得使得dyryxdxryx 22 是某个函数是某个函数),(yxu的全微分的全微分, ,其中其中22yxr , ,并求并求),(yxu. .九、设在半平面九、设在半平面0 x内有力内有力)(3jyixrkf 构成力构成力场场, ,其中其中k为常数为常数, , 22yxr . .证明在此力场中证明在此力场中场力所作的功与所取的路径无关场力所作的功与所取的路径无关 . .练习题答案练习题答案一、一、1 1、 ldyqpdx； 2 2、xqyp ； 3 3、10.10.三、三、301. . 四、四、283a . . 五、五、236.236.六、六、1 1、2sin4167 ； 2