阶微分方程的解法课件

1、目录 上页 下页 返回 结束 阶微分方程的解法一阶微分方程的解法 第二节 第八章 一、可分离变量微分方程 二、齐次微风方程 三、一阶线性微分方程 四、伯努利方程* （了解） 目录 上页 下页 返回 结束 阶微分方程的解法一、可分离变量微分方程可分离变量微分方程 xxfyygd)(d)(定义：定义：形如形如)()(dd21yfxfxy 第八章 或或的方程称为的方程称为可分离变量方程。可分离变量方程。 特点：特点：变量x及dx与变量y及dy能分离在方程两端。目录 上页 下页 返回 结束 阶微分方程的解法分离变量方程的解法分离变量方程的解法:xxfyygd)(d)(再两边积分, 得 yygd)(xx

2、fd)(CxFyG)()(当G(y)与F(x) 可微且 G (y) g(y) 0 时, 的隐函数 y (x) 是的解. 则有称为方程的隐式通解.同样, 当 F (x) = f (x)0 时, 由确定的隐函数 x(y) 也是的解. 设左右两端的原函数分别为 G(y), F(x), 说明由确定先分离变量： 目录 上页 下页 返回 结束 阶微分方程的解法例例1. 求微分方程yxxy23dd的通解.解解: 分离变量得xxyyd3d2两边积分xxyyd3d2得13lnCxy3lnlnyxC即13eCxy31eexC3exCy 1eCC令( C 为任意常数 )或或说明说明: 在求解过程中每一步不一定是同解

3、变形, 因此可能增、减解.( 此式在分离变量时丢失的解 y = 0 )目录 上页 下页 返回 结束 阶微分方程的解法例例2. 解初值问题0d)1(d2yxxyx解解: 分离变量得xxxyyd1d2两边积分得Cxyln11lnln2即Cxy12由初始条件得 C = 1,112xy( C 为任意常数 )故所求特解为 1)0(y目录 上页 下页 返回 结束 阶微分方程的解法例例3. 求下述微分方程的通解:) 1(sin2yxy解解: 令 , 1yxu则yu1故有uu2sin1即xuuddsec2Cxutan解得Cxyx) 1tan( C 为任意常数 )所求通解:目录 上页 下页 返回 结束 阶微分方

4、程的解法二、齐次方程二、齐次方程形如)(ddxyxy的方程叫做齐次方程齐次方程 .令,xyu ,xuy 则代入原方程得,ddddxuxuxy)(dduxuxuxxuuud)(d两边积分, 得xxuuud)(d积分后再用xy代替 u, 便得原方程的通解.解法:分离变量: 定义定义：特点特点：右端能化为以 为内函数的复合函数。yx目录 上页 下页 返回 结束 阶微分方程的解法例例4. 解微分方程.tanxyxyy解解:,xyu 令,uxuy则代入原方程得uuuxutan分离变量xxuuuddsincos两边积分xxuuuddsincos得,lnlnsinlnCxuxCu sin即故原方程的通解为x

5、Cxysin( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解)( C 为任意常数 )0C此处目录 上页 下页 返回 结束 阶微分方程的解法三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程定义：形如)()(ddxQyxPxy称为一阶线性微分方程。特点：变量 及y 都是“一次”的。y, 0)( xQ当当上方程称为上方程称为一阶线性一阶线性齐次方程齐次方程.上方程称为上方程称为一阶线性非一阶线性非齐次方程齐次方程., 0)( xQ当当例如例如,2xydxdy ,sin2ttxdtdx , 32 xyyy, 1cos yy线性的线性的;非线性的非线性的.目录 上页 下页 返回 结束 阶微分方程的解法. 0)

6、( yxPdxdy,)(dxxPydy ,)( dxxPydy|,|ln)(|lnCdxxPy齐次方程的通解为齐次方程的通解为.)( dxxPCey1. 线性齐次方程线性齐次方程(使用分离变量法使用分离变量法)一阶线性微分方程的解法一阶线性微分方程的解法 目录 上页 下页 返回 结束 阶微分方程的解法0( )2( )ln 2( ).xf xf t dtf x，求2)()( xfxf解：解：yy2 02 yy dxcexfy2)(xce2 2ln)0( f2ln cxexf22ln)( 则则例例5 5、若连续函数、若连续函数f f( (x x) )满足关系式满足关系式目录 上页 下页 返回 结束

7、 阶微分方程的解法).()(xQyxPdxdy 讨论讨论: 设设y=f(x)是解是解, 则则,)()()()()(dxxPxfxQxfxdf 变形变形积分积分,)()()()(ln dxxPdxxfxQxf,)()()()( dxxpdxxfxQeexf非齐方程通解形式非齐方程通解形式).()()()(xQxfxPdxxdf ,)()()( dxxfxQexc记记 dxxpexcxfy)()()(2. 2. 线性非齐次方程线性非齐次方程目录 上页 下页 返回 结束 阶微分方程的解法常数变易法常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. .设解

8、为设解为 dxxPexcy)()(,)()()()()( dxxPdxxPexPxcexcy)(xcC 得得)()(xQyxPdxdy 代代入入原原方方程程和和将将yy ),()()(xQexcdxxP ,)()()(CdxexQxcdxxP 积分得积分得)()()(CdxexQeydxxPdxxP 非齐方程通解非齐方程通解目录 上页 下页 返回 结束 阶微分方程的解法一阶线性非齐次微分方程的通解为一阶线性非齐次微分方程的通解为:)()()(CdxexQeydxxPdxxP dxexQeCedxxPdxxPdxxP )()()()(对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解对

9、应齐次方程通解与对应齐次方程通解与非齐次方程特解非齐次方程特解之和。之和。.0)()()(的的解解的的任任意意两两解解之之差差是是证证明明 yxPdxdyxQyxPdxdy的通解是的通解是)()(xQyxPdxdy 目录 上页 下页 返回 结束 阶微分方程的解法.sin1的通解的通解求方程求方程xxyxy ,1)(xxP ,sin)(xxxQ Cdxexxeydxxdxx11sin Cdxexxexxlnlnsin Cxdxxsin1 .cos1Cxx 解解例例6 6、目录 上页 下页 返回 结束 阶微分方程的解法 如图所示，平行于如图所示，平行于 轴的动直线被曲轴的动直线被曲 线线 与与 截

10、下的线段截下的线段PQ之之长数值上等于阴影部分的面积长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线求曲线 .y)(xfy )0(3 xxy)(xf,)()(230yxdxxfx xyxydx03,两边求导得两边求导得,32xyy 解解解此微分方程解此微分方程xyoxPQ3xy )(xfy 例7、目录 上页 下页 返回 结束 阶微分方程的解法 dxexCeydxdx23, 6632 xxCex, 0|0 xy由由, 6 C得得所求曲线为所求曲线为).22(32xxeyx 23xyy 目录 上页 下页 返回 结束 阶微分方程的解法*四、伯努利四、伯努利 ( Bernoulli )方程方程 伯努利方程的标准形

11、式:)1,0()()(ddnyxQyxPxyn伯努利 方程为方程为线性微分方程线性微分方程. 方程为方程为非线性微分方程非线性微分方程.时时，当当1 , 0 n时时，当当1 , 0 n解法解法: : 经过变量代换化为线性微分方程经过变量代换化为线性微分方程.目录 上页 下页 返回 结束 阶微分方程的解法ny以)()(dd1xQyxPxyynn令,1 nyzxyynxzndd)1 (dd则)()1 ()()1 (ddxQnzxPnxz求出此方程通解后,除方程两边 , 得换回原变量即得伯努利方程的通解.解法解法:(线性方程)伯努利 目录 上页 下页 返回 结束 阶微分方程的解法例例8. 求方程2)ln(ddyxaxyxy的通解.解解: 令,1 yz则方程变形为xaxzxzlndd其通解为ez将1 yz1)ln(22xaCxyxxd1exa)ln(xxd1Cxd2)ln(2xaCx代入, 得原方程通解: 目录 上页 下页 返回 结束 阶微分方程的解法( 雅各布第一 伯努利 ) 书中给出的伯努利数在很