实验数据的处理与分析18页

1、实验数据的处理与分析物理是个实验科学，免不了要从事测量。很多同学常常疑惑的是不知道如何正确的分析与处理实验的数据。希望本单元能对你（妳）有所帮助！误差 = 测量值 - 真值谈实验数据往往会先谈到 误差的定义。于是出现了上面的式子。误差就是所测得的数值与被测量物理量真正数值之间的差别。好像很有道理，又好像在讲废话！先想一想，为什么我们要从事测量？（才能有测量值！）如果我已经知道想测量的物理量的真值，我为什么还要去测它？难道就为了要知道测量的误差吗？就是因为不知道 物理量的真值才要测量。那！误差的定义又有什么用呢？实验数据的处理与分析 便是想运用统计的方法，让我们从多次的测量数据中，估算出最接近真

2、值的数据。也就是我们所想要的测量结果。并藉由误差的分析，让我们了解我们所做的估算，可信度有多高！并探讨实验误差的可能来源。误差的种类：（依照来源）一般而言，可以分为 系统误差(systematic error)与 随机误差(random error)。1. 系统误差： 所谓测量，乃是大家事先公定有一测量 单位（标准），例如 公尺。然后依据制造出含刻度的测量工具（例如 尺），将测量工具和待测物相互比较，而判得测量值。如果测量工具本身所显示的刻度，因为校正时疏忽，造成不正确。或因为环境的因素（例如温度 压力等），使得数值产生变化。或因人为不正确（或不熟练）操作或观测方法错误。都是可能产生系统误差的

3、来源。对于某些非直接测量的物理量，依据某原理或方法设计出来的实验。也有可能因为实验时无法充分满足原理所假设的状况，或根本设计原理有失误，而造成系统误差。（这也是很多人常忽略的）通常 系统误差会使得所有测量值 都过高或过低的偏差，偏差量大致相同，不含机率分布的因素。2. 随机误差： 实验的基本方法，往往是希望能控制变因，以找出物理量受个别变因的影响。因此总是希望控制所有影响的变因，一次只让一种变因变化。实验的设计便是尽量能达到上述的目的。而且为了实验简便，往往也忽略对实验影响较微小的因素。（也比较实际）。但实际操作时，不见得尽如人意。这些不易控制（有时候无法控制）的小变因，便会使测量值产生随机分

4、布的误差。也就是说 有些测量值会过高，有些则会稍低。降低 系统误差的方法，当然只有靠正确分析误差来源：仪器造成的 设法改良仪器。环境造成的 设法控制实验环境。操作不良的 只好加强训练自己了喔！ 理论上或许可能将仪器误差完全消除，但是前两项的改善，并不需要做到最完美的情形！ ？ 奇怪！不是仪器越精良，环境越稳定实验结果越好吗？ 因为这些改善的要求，牵涉到对测量值所要求的精密度与实际环境与经费等的考虑 。而且改善时应该以所有误差来源所造成测量误差的比例，能以约略相同的比例减少才有效。例如：把所有经费大部份都买最精密（也最昂贵）的仪器，环境因素却因为能力不够改善（或已经改善至最好境界），但仍然造成较

5、大比例误差，则精密的仪器不过是花冤枉钱吧了！如：碳的电阻系数（resistivity) 的温度系数 = -0.0005 （于 20oC ）也就是说 碳的电阻值当温度升高1 Co时，电阻值会减少万分之五。若是使用 6位有效位数的电表（数万元）来测量实验过程中的电阻值，但实验过程中并未注意（或控制）温度变化，而使得碳电阻器的温度有好几度的变化，则效果和只用 3-4位有效位数的电表（数千元）一样。降低随机误差的方法，则是我们以下所要探讨的：藉由统计的方法，提供我们如何（藉由增加测量次数）、最有效率的改善随机误差。准确度与精密度：精密度：当多次重复测量时，不同测量值彼此间偏差量的大小。如果多次测量时，

6、 彼此间结果皆很接近，则称为精密度较高。准确度：准确度的定义是测量值与真值（或公认值）的偏差程度。公认值通常指 使用已知较准确且精密度高的实验仪器， 在优良训练的实验人员重复操作下，所得出精密度相当高的实验结果。但实验时不见得有所谓公认值存在。问题： 你认为精密度与准确度之间有直接的关系吗？ 精密度高的结果，准确度一定高吗？ 准确度高的结果（平均值），精密度一定高吗？统计分析方法母分布：每一个待测物理量，我们可以假想存在一个真值（只是不知道）。假设只有随机误差而完全没有系统误差的情况下，如果我们对同一物理量，测量次数一直增加。则随机误差的影响使得测量值大于真值与小于真值的机率分布一样，则所有测

7、量值的平均值，将随着测量次数得增加而越接近真值。当测量次数等于无穷多次 时，测量值的分布称为母分布。（横轴为测量不同数值，纵轴为每个测量值被测到的次数）无穷多次：什么意思嘛！怎样才算？由于我们不可能 无穷多次的测量，所测得有限次的测量属于母分布的部份样本 -> 就称为样本分布好吗？于是有限次数的算数平均值是我们对于真值所能给（猜）的最好的估计值。算数平均值(mean) ：偏差（deviation)： 为了想了解测量数据与平均值的偏离程度，于是定义每一个数据与平均值的差值，称为偏差。但偏差量有正有负，且所有偏差量的总和必为为了想量化实验数据的精密度，且解决偏差量总和必为零的情形。

8、我们可以将偏差量平方后相加，而定义出方差（Variance)：为偏差平方的平均值。 当然将偏差量取绝对值后相加，也可以显示实验的精密度，但是数学计算上采用方差 ，比较方便。方差计算时可简化为平方的平均值减去平均值的平方。比直接用公式计算，简单多了！标准偏差(Standard Deviation)： 对于母分布而言（n）时，取方差的平方根（与测量量相同单位）。定义母分布的标准偏差（代表实验数据分布的精密度）*注:下图中d23应该修正为d22为偏差平方的平均值的根号，称为方均根。方均根英文为 root（根）mean（均）square（方）.如果直接利用上面的定义来处理有限次数的测量数据时，会发生矛

9、盾的情形？例如：如果对于某一物理待测量，只有测量一个数据，则平均值等于唯一测量值，因此偏差为零。当然偏差的方均根值必为零。也就是有最良好的精密度。那岂不是所有测量皆测一次就够了！？问题出在哪儿呢？因为计算 n 个数据的个别偏差时，需先计算平均值。当有平均值时，只要有 n-1 个数据便可以算出所有的偏差量。也就是 计算方差（偏差量平方的平均值）时，数据中的独立变量仅有 n-1 个，因此计算平均值时，分母若改为 n-1 较为合理。因此 样本分布（有限次数）数据的 标准偏差定义为 如此一来只测量一次时，上式中分子分母皆为零，也就是无法确定标准偏差（合理吧！）。当（n）时则分母为 n 或 n-1 已经

10、没有差别了。 以上定义的标准偏差代表所有测量数据与平均值之间平均的偏差量（也就是每一测量数据的精密度的平均值）。可是通常我们也关心所计算出平均值的可信度是多少？也就是实验结果的 精密度有多高？平均值的精密度应该要高于个别测量数据的精密度。我们先写下 依据统计理论所得出的结果。平均值 的标准偏差（standard error of the mean)多次实验测量结果 写为 也就是测量（平均）量加上所对应的标准偏差（俗称不准量 ：uncertainty）。注：实验结果不见得一定都是平均值，例如测量电阻的温度系数，温度一直再改变，测量不同温度时电阻值的变化量。可以用 最小方差计算法计算出斜

11、率（变化率）。并利用误差传递方法计算其标准偏差。标准偏差所代表的意义与运用：通常当测量次数多时，测量数据的随机分布满足常态分布 (normal or gaussian distribution):P 是测量值为x的机率。(次数少时为二项式分布）。如下图为平均值为50, 标准偏差为10的常态分布，测量值出现在范围内的机率为 68.3%。(2:1)范围内的机率为 95.4%。(20:1)范围内的机率为 99.7%。(350:1)范围内的机率为 99.994%。(15000:1) 当从事多次测量时，有时候某些数据与平均值相差的较多，怀疑是因为测量时不小心观测错误或 . ，怎样判断该不该舍去那些数据呢

12、？ 例如：测量某物体长度100次，计算出平均值与标准偏差（非平均值的标准偏差）后，发现有3组数据落在3倍标准偏差外，4组落在2倍3倍之间，其余皆在 平均值与 标准偏差之间。若采用常态分布， 由于数据落在2倍标准内的机率有4.6%。 因此那四组数据是合理的。但是数据落在3倍标准偏差外的机率应小于千分之三。因此 应该重新检讨那三组数据，（除非肯定数据没问题）通常可以舍去，那三组数据舍去后，重新计算平均值与标准偏差。再检视都没有问题后，并计算平均值的标准偏差后，写出测量结果。平均值的标准偏差的意义 每次(组）多次实验所得平均值都不会相同。这些平均值也会形成一种分布。平均值的标准偏差便是代表这些不同的

13、平均值的可能差异性（精密度）。综合说来：实验数据的标准偏差(standard deviation)显示单一个测量值与平均值间可能偏差的程度。重复（增加实验次数）并不会减少其数值。（单一测量的精密度）平均值的标准偏差(standard error of the mean): 则显示所得平均值的可重复性程度，（结果的精密度）。如果多组重复测量所计算出平均值的标准偏差。其数值可以藉由 增加测量次数而减少，与 成反比。因此 10000 次测量平均值的标准偏差为100 次测量的 1/10.为了增加一位有效位数，次数由100增加到10000. 可真是不容易。误差传递：经常一个物理量是经由测量数个

14、物理量，再藉由关系式计算而得出。例如：动量是由测量值 质量与速度相乘而得（速度又由位移与时间测量值得出）。当测量时，质量、位移与时间的个别误差将影响最后结果的误差。假设X代表某一个物理量，由 等测量值所决定。即 ，而以 分别代表等分量样本分布的平均值。则平均值 ，对于某一组测量样本数据，可以表示为 ，则测量值的方差其中，而 称为协方差（corvarance）。如果 u 和 v （测量物理量）彼此不相关，则协方差为零。（通常测量时的个别参数间是互不相干的）于是 方差可以简化为 当测量物体密度时，质量与体积的测量通常不相干，因此

15、可用上式计算质量与体积的误差所造成密度测量的误差。但是体积测量误差的计算，若体积是由长、宽、高等测量值相乘而得。当 长、宽、高 都是用同一量具同样方式测量时，往往彼此间的误差是相关的。尤其当量具的系统误差大于随机误差时，由于校正所造成误差将造成长、宽、高的系统误差。则体积的百分误差将直接等于长、宽、高 百分误差之和。（而非 长、宽、高 百分误差平方之和开根号）。当使用误差传递时要辨别测量值间是否彼此相关。让我们运用上式计算平均值的标准偏差。平均值是由各测量值取平均而得到（视为 以各测量值为独立变量的函数）。若各测量值的标准偏差皆相同时，上式可以简化为于是平均值的标准偏差 让我们再做几

16、个例题：1. 例如： (3.1257 ± 0.0138) - ( 1.892 ± 0.0095) = (3.1257 - 1.892) ± (0.01382 + 0.00952)1/2 = 1.234 ± 0.017注意： 误差并非 0.0138 + 0.0095 ? 为什么呢？ 3.1257 ± 0.0138 表示 测量值在 3.1257-0.0138 与 3.1257+0.0138之间，多次测量时应该越接近 3.1257 的数值越多，离开越远的机率越少（满足常态分布）。因为随机分布的关系，大于平均与小于平均的机率皆相等。当两测量值

17、相加时，两者偏差皆为最大正偏差或皆为最大负偏差的机率，应该很小，经统计分析以 平方相加开根号为较适当。2. 若协方差为零时，则结果的百分误差的平方等于个别参数的百分误差的平方和。参数间为相除的情形时，也有相同结果，请你自以试一试。3. 换人做做看！该你练习了喔！分别练习计算 以上三种函数的标准偏差。以上皆讨论 独立变量间的误差皆互不相干，彼此不受影响。若是讨论包含系统误差的情形，或是 变量间相互影像时，就必须考虑协方差。例如： 体积是由三个测量值 长，宽，高 相乘而得，假使测量的尺因为温度的变化而收缩。用同一把尺测量，则 长宽高 误差皆会有相同趋势（同时过大或过小）。则百分误差不再是

18、 平方后相加再开根号，而是直接相加。有效位数的说明： 当使用测量工具从事测量时，工具的最小刻度限制了测量值的有效位数。通常我们以仪器最小能读到的刻度值 外加一位估计值 作为记录的结果。但是 由于科技的进步，现代很多仪表显示时都已经 数字化（直接显示数值），在正常的情形下，最后一位显示的数值，已经包含了仪器帮你估计的成分。（事实上，你也无从估计！）但是：并非数字化的仪器所显示的数值，完全都是必须记录的。仪器显示的最小刻度值，应该要配合仪器的精密度。但是仪器商生产不同精密度的仪器时，为了成本问题很可能使用相同的显示组件。因此某些仪器显示的数值，可能多于实际的精密度。另外一种情形是，仪器也的确够精密

19、，但是你所测量的环境本身造成的影响，超过仪器精密度的范围。例如：使用 6位半的精密电表去量 温度没有适当控制环境下的电阻。结果数值后几位连续不断的跳动。（也就是选用太过精密的仪器）多记了后面一直变动的数值，有用吗？（这也是一般学生常犯的毛病，所有数值皆记下来）基本原则：实验记录所显示的最小刻度值，也应该要配合测量的精密度。否则只是增加自己计算的负担而已！可能只是增加记录的负担而已， 数据处理时.反正用计算器在计算，可能计算完毕，还多了好多位有效位数呢！用 10 位显示的计算器，实验结果变成10位有效位数。如果用12位显示的计算器，实验结果变成12位有效位数。好像实验的精密度取决于计算器的能！？

20、这不是笑话！这是现代很多学生的毛病，甚至在科学展览的会场都会见到。这已经变成一种习惯，不是说一说就改的过来！要一直的提醒自己！（其实在正式的刊物，偶而也会见到类似的错误）。在过去要用手算的时代，就不容易出现这样的问题！（科技带来的影响）举一个实例：如下表 测量序号长度 L (cm)宽度 W (cm)110.788.21210.808.20310.758.22410.738.21510.788.22平均值标准偏差平均值的标准偏差结果10.77±0.02±0.0110.77±0.018.212±0.008±0.0048.212±0.004

21、从以上的例子，是否看出该怎样选取记录的有效位数。和试验数据的标准偏差，有怎样的关系呢？决定好有效位数后多出来的位数，便利用四舍六入五成双的原则。四舍六入大概你得很清楚，可是什么是五成双呢？严格一点说：应该是 舍去的第一位如果大于 5则进位。但如果恰好等于5则依照数据最后一位来决定，奇数则进位，偶数则舍去。主要是我想是为了数据常要除以独立变量等运算，如果每次遇 5 皆进位，有可能经过数次运算后连续进位好几次。而用上法来试图抵销。例如：（取有效位数）处理前（取有效位数）处理后3.1543.153.1513.163.1553.163.1453.14可是如果最后的结果是利用好几层的关系式计算而得到的，

22、是否每计算一次 就要将数据取至适当的有效位数，再继续算下去。还是反正用计算器一直算，最后在取有效位数。我提供的原则是：当数据计算时，运算的数目来源是由于数学推导的常数或物理常数，则最后再取有效位数便可。（视常数完全有效）但是若遇到测量值，则必须运算完后，马上取至适当的有效位数。例如：面积等于常乘宽，算出后马上要决定适当的有效位数，再继续运算下去。你认为这样的原则合理吗？好像还有问题耶！ 9.8×1.28 该取几位有效位数？12.54 还是 12.5 还是 13.虽然通常加，减，乘，除等运算时有效位数以最不准确的因子的有效位数为基准。但是上面的运算取 13. 就似乎不太合理。事实上，当

23、处理数据时，你可以用数据的标准偏差作为最适当的判断依据。附记：当使用游标尺时，有没有所谓的估计值呢？补充说明：1. 有限次数的平均值是我们对于真值所能给（猜）的最好的估计值由于方差代表着 数据的偏差量，对于一组数据而言，若是此偏差量越小越好。问题改换成：采用怎样的平均值计算方式会有较小的方差？取方差对平均值（偏）微分等于零的结果如下：所以采用算数平均值的计算方式时，方差有最小值。（不信的话，你也可以自己试一试几何平均值，看看结果如何）2. 最小平方作图法： 实验时，我们常会需要测量 某物理量（应变量）随 物理参数（自变量）变化时，彼此间的关系。例如：电阻（纵轴）随温度（横轴）的变化。最小平方曲线作图法 便是在 所绘出 数据图中（电阻-温度图），描绘出一条曲线，使的所有数据点到曲线距离平方总和（方差）为最小。用 f(xi,yi) 表示数据点，我们希望找出（最小方差曲线），使得有最小值。以上假设自变量没有误差（或相对很小）：以下我们以常见的线性关系为例，希望找出 a, b使得 有极小值。也就是找出最能代表 测量数据线性关系的直线。欲使方差有最小值 =>联立解 上两个方程式，可得到上式中 a 为直线斜率，b 为其截距。经常所测量物理量之间的关系式并非如 如此简单的关系，可以仿造上面计算最小方差的方式，找出各系