高考数学总复习第4章43平面向量的数量积及平面向量的应用精品课件理北师大版

1、4.3平面向量的数量积平面向量的数量积及平面向量的应用及平面向量的应用考点探究考点探究挑战高考挑战高考考向瞭望考向瞭望把脉高考把脉高考4.3平平面面向向量量的的数数量量积积及及平平面面向向量量的的应应用用双基研习双基研习面对高考面对高考双基研习双基研习面对高考面对高考1两个向量的夹角两个向量的夹角(1)夹角的定义夹角的定义定义定义范围范围已知两个已知两个_向量向量a，b，作，作 a， b，则则aob叫作向量叫作向量a与与b的夹角的夹角(如图如图)向量夹角向量夹角的范围是的范围是_ 当当_时，两向量时，两向量共线；共线；当当_时，两向时，两向量垂直，记作量垂直，记作ab(规定规定零向量可与任一向

2、量垂零向量可与任一向量垂直直).，0或或18090非零非零0，180(2)射影的定义射影的定义设设是是a与与b的夹角，则的夹角，则_叫作叫作b在在a方向方向上的射影上的射影_叫作叫作a在在b方向上的射影方向上的射影射影是一个实数，不是线段的长度，也不是向射影是一个实数，不是线段的长度，也不是向量当量当_时，它是正值；当时，它是正值；当_时，它是负值；当时，它是负值；当_时，它是时，它是0.(90，18090|b|cos|a|cos0，90)提示：提示：不正确求两个向量的夹角时，两向量起不正确求两个向量的夹角时，两向量起点应相同，向量点应相同，向量a与与b的夹角为的夹角为abc.思考感悟思考感悟

3、|a|b|cos|a|cosab0abcos_对任意两个向量对任意两个向量a、b，有，有|ab|a|b|，当且仅，当且仅当当ab时等号成立时等号成立(3)向量数量积的运算律向量数量积的运算律给定向量给定向量a，b，c和实数和实数，有，有abba；(交换律交换律)(a)b(ab)_；(数乘结合律数乘结合律)a(bc)_ (分配律分配律)a(b)abac思考感悟思考感悟2当当a0时，由时，由ab0一定有一定有b0吗？吗？提示：提示：不一定不一定ab0有三种情形；有三种情形；a0；b0；ab即即a与与b的夹角为的夹角为90.3平面向量数量积的坐标运算平面向量数量积的坐标运算(1)平面向量数量积的坐标

4、表示平面向量数量积的坐标表示已知两个非零向量已知两个非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则，则ab_.即两个向量的数量积等即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和于它们对应坐标的乘积的和x1x2y1y2x2y2(4)两个向量垂直的充要条件两个向量垂直的充要条件设设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则，则ab_.(5)直线的方向向量直线的方向向量把与直线把与直线l共线的向量共线的向量m称为直线称为直线l的方向向量，的方向向量，设直线方程为设直线方程为ykxb，则其方向向量为，则其方向向量为m_设直线方程为设直线方程为axbyc0，则，则其方向向量为其方向向量为m_，利用直线的方，利

5、用直线的方向向量可以表示过定点的直线方程、求两直线的向向量可以表示过定点的直线方程、求两直线的夹角等，这给我们处理解析几何问题增加了一条夹角等，这给我们处理解析几何问题增加了一条新途径新途径x1x2y1y20(1，k)(b，a)解析：解析：选选b.ab，ab0，6x560，x5.课前热身课前热身2(原创题原创题)若若a0，ab0，则满足条件的，则满足条件的b的的个数是个数是()a0 b1c2 d无数个无数个解析：解析：选选d.只要只要ba即可，故即可，故b有无数个有无数个答案：答案：c答案：答案：3答案：答案：2向量的数量积是向量之间的一种运算，它是向量向量的数量积是向量之间的一种运算，它是向

6、量与向量的运算，结果却是一个数量平面向量的与向量的运算，结果却是一个数量平面向量的数量积运算类似于多项式的乘法数量积运算类似于多项式的乘法平面向量数量积的运算平面向量数量积的运算考点探究考点探究挑战高考挑战高考 (1)(2010年高考北京卷年高考北京卷)若若a，b是非零向是非零向量，且量，且ab，|a|b|，则函数，则函数f(x)(xab)(xba)是是()a一次函数且是奇函数一次函数且是奇函数b一次函数但不是奇函数一次函数但不是奇函数c二次函数且是偶函数二次函数且是偶函数d二次函数但不是偶函数二次函数但不是偶函数【思路点拨思路点拨】利用向量数量积的定义、性质、利用向量数量积的定义、性质、运算

7、律及模的求法，即可解决运算律及模的求法，即可解决【答案答案】(1)a(2)d(3)b1数量积大于数量积大于0说明不共线的两向量夹角为锐角；说明不共线的两向量夹角为锐角；数量积等于数量积等于0说明两向量的夹角为直角；数量积说明两向量的夹角为直角；数量积小于小于0且两向量不共线时，两向量的夹角就是钝且两向量不共线时，两向量的夹角就是钝角角2找两向量的夹角，在图形中必须使两向量共找两向量的夹角，在图形中必须使两向量共起点，可以结合解三角形求角起点，可以结合解三角形求角3解决向量垂直问题，常用向量垂直的充要条解决向量垂直问题，常用向量垂直的充要条件即非零向量件即非零向量abab0 x1x2y1y20.

8、利用平面向量解决夹角、垂直等问题利用平面向量解决夹角、垂直等问题 (2009年高考江苏卷年高考江苏卷)设向量设向量a(4cos，sin)，b(sin，4cos)，c(cos，4sin)(1)若若a与与b2c垂直，求垂直，求tan()的值；的值；(2)求求|bc|的最大值；的最大值；(3)若若tantan16，求证：，求证：ab.【思路点拨思路点拨】利用两向量垂直时数量积为利用两向量垂直时数量积为0的的坐标运算公式可以解第一问，第二问中模的最值坐标运算公式可以解第一问，第二问中模的最值可以转化为三角函数的有界性求解，第三问中利可以转化为三角函数的有界性求解，第三问中利用两向量平行的充要条件进行转

9、化即可得证用两向量平行的充要条件进行转化即可得证【名师点评名师点评】求解求解|bc|时注意到向量时注意到向量b与向与向量量c的模都不是定值，因而利用坐标法先求和再的模都不是定值，因而利用坐标法先求和再求模，此方法较求模，此方法较|bc|2b2c22bc要快捷得要快捷得多证明两向量平行时，可以利用两向量平行的多证明两向量平行时，可以利用两向量平行的充要条件公式充要条件公式向量与其它知识结合，题目新颖而精巧，既符合向量与其它知识结合，题目新颖而精巧，既符合考查知识的考查知识的“交汇处交汇处”的命题要求，又加强了对双的命题要求，又加强了对双基覆盖面的考查，特别是通过向量坐标表示的运基覆盖面的考查，特

10、别是通过向量坐标表示的运算，利用解决平行、垂直、成角和距离等问题的算，利用解决平行、垂直、成角和距离等问题的同时，把问题转化为新的函数、三角或几何问同时，把问题转化为新的函数、三角或几何问题题平面向量的应用平面向量的应用【思路点拨思路点拨】(1)根据向量加、减法的几何意义根据向量加、减法的几何意义求解；求解；(2)根据向量数量积的坐标运算，列方程求解根据向量数量积的坐标运算，列方程求解【名师点评名师点评】利用向量解平面几何、解析几何利用向量解平面几何、解析几何问题要注意向量线性运算的几何意义及数量积的问题要注意向量线性运算的几何意义及数量积的坐标表示的应用坐标表示的应用方法技巧方法技巧1要熟练

11、类似要熟练类似(ab) (satb)sa2(ts)abtb2的运算律的运算律(、s、tr)(如例如例1(1)2解决向量模的问题的关键是利用解决向量模的问题的关键是利用|a|2a2，将，将模的问题转化为数量积的问题，通过数的精确计模的问题转化为数量积的问题，通过数的精确计算来解决问题算来解决问题(如例如例2)方法感悟方法感悟3平面向量的数量积的运算法则把平面向量与平面向量的数量积的运算法则把平面向量与实数紧密地联系在一起，使它们之间的相互转化实数紧密地联系在一起，使它们之间的相互转化得以实施因此，一方面我们要善于把向量的有得以实施因此，一方面我们要善于把向量的有关问题通过数量积转化为实数问题，利

12、用实数的关问题通过数量积转化为实数问题，利用实数的有关知识来解决问题；另一方面，也要善于把实有关知识来解决问题；另一方面，也要善于把实数问题转化为向量问题，利用向量作工具来解决数问题转化为向量问题，利用向量作工具来解决相关问题相关问题(如例如例3)1零向量：零向量：(1)0与实数与实数0的区别，不可写错；的区别，不可写错；0a00，a(a)00，a000；(2)0的方向的方向是任意的，并非没有方向，是任意的，并非没有方向，0与任何向量平行，与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系我们只定义了非零向量的垂直关系2ab0不能推出不能推出a0或或b0，因为，因为ab0ab.失误防范失误防范平面

13、向量的数量积是每年高考必考的知识点之一，平面向量的数量积是每年高考必考的知识点之一，考查重点是向量的数量积运算，向量的垂直以及考查重点是向量的数量积运算，向量的垂直以及用向量方法解决简单的几何问题等，既有选择题，用向量方法解决简单的几何问题等，既有选择题，填空题，又有解答题，属中低档题目近几年试填空题，又有解答题，属中低档题目近几年试题中与平面几何、三角、解析几何知识交汇命题题中与平面几何、三角、解析几何知识交汇命题的综合题是高考的一个热点，主要考查运算能力的综合题是高考的一个热点，主要考查运算能力和数形结合思想和数形结合思想考向瞭望考向瞭望把脉高考把脉高考预测预测2012年高考仍将以向量的数

14、量积运算、向量年高考仍将以向量的数量积运算、向量的垂直为主要考点，以与三角、平面几何、解析的垂直为主要考点，以与三角、平面几何、解析几何的交汇命题为考向几何的交汇命题为考向规范解答规范解答【解解】(1)法一：法一：bc(cos1，sin)，则，则|bc|2(cos1)2sin22(1cos).3分分1cos1，0|bc|24，即，即0|bc|2.当当cos1时，有时，有|bc|2，向量向量bc的长度的最大值为的长度的最大值为2.6分分法二：法二：|b|1，|c|1，|bc|b|c|2.3分分当当cos1时，有时，有bc(2,0)，即，即|bc|2，所以向量所以向量bc的长度的最大值为的长度的最

15、大值为2.6分分【名师点评名师点评】(1)本题易失误的是：对向量的本题易失误的是：对向量的加法、数量积的坐标运算公式掌握不清，不会运加法、数量积的坐标运算公式掌握不清，不会运算，导致无从下手；知道相关知识，知道解决算，导致无从下手；知道相关知识，知道解决思路，但运算出现错误，结果不准确；书写过思路，但运算出现错误，结果不准确；书写过程不详细，逻辑性不强，语句不流畅，卷面不整程不详细，逻辑性不强，语句不流畅，卷面不整洁，对而不全；出现洁，对而不全；出现|bc|b|c|这种错这种错误误(2)本题主要考查平面向量、三角函数的概念、三本题主要考查平面向量、三角函数的概念、三角变换和向量运算等基本知识，

16、考查基本运算能角变换和向量运算等基本知识，考查基本运算能力此题将平面向量、三角函数、三角变换三部力此题将平面向量、三角函数、三角变换三部分知识进行有机的融合，综合性强学科内知识分知识进行有机的融合，综合性强学科内知识融合的问题是近年来高考考查的热点，因为这类融合的问题是近年来高考考查的热点，因为这类题能很全面地考查考生综合运用知识，分析问题、题能很全面地考查考生综合运用知识，分析问题、解决问题的能力解决问题的能力(3)一般来说向量与三角融合时，都会给出向量的一般来说向量与三角融合时，都会给出向量的坐标，都会进行向量的坐标运算，因此向量的坐坐标，都会进行向量的坐标运算，因此向量的坐标运算公式是必须要记住且要会使用涉及向量标运算公式是必须要记住且要会使用涉及向量平行或垂直，两个坐标关系式也要会熟练地应平行或垂直，两个坐标关系式也要会熟练地应用用此题第此题第(1)问，就是要先通过向量的加法运算求向问，就是要先通过向量的加法运算求向量量bc的坐标，第的坐标，第(2)问涉及问涉及a(bc)，要利用，要利用两个向量垂