多元复合函数的求导

1、证证),()(tttu 则则);()(tttv 一、链式法则一、链式法则定理如果函数定理如果函数)(tu 及及)(tv 都在点都在点t可可导，函数导，函数),(vufz 在对应点在对应点),(vu具有连续偏具有连续偏导数，则复合函数导数，则复合函数)(),(ttfz 在对应点在对应点t可可导，且其导数可用下列公式计算：导，且其导数可用下列公式计算： dtdvvzdtduuzdtdz ，获得增量获得增量设设tt 由由于于函函数数),(vufz 在在点点),(vu有有连连续续偏偏导导数数,21vuvvzuuzz 当当0 u，0 v时，时，01 ，02 tvtutvvztuuztz 21 当当0 t

2、时，时， 0 u，0 v,dtdutu ,dtdvtv .lim0dtdvvzdtduuztzdtdzt 上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.如如dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz uvwtz以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为dtdz 上定理还可推广到中间变量不是一元函数上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：而是多元函数的情况：).,(),(yxyxfz 如果如果),(yxu 及及),(yxv 都在点都在点),(yx具有对具有对x和和y的偏导数，且函数的偏导数，且函数),(vufz 在对应在对应点点),(vu

3、具有连续偏导数，则复合函数具有连续偏导数，则复合函数),(),(yxyxfz 在对应点在对应点),(yx的两个偏的两个偏导数存在，且可用下列公式计算导数存在，且可用下列公式计算 xvvzxuuzxz ， yvvzyuuzyz .uvxzy链式法则如图示链式法则如图示 xz uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv 类似地再推广，设类似地再推广，设),(yxu 、),(yxv 、),(yxww 都在点都在点),(yx具有对具有对x和和y的偏导数，复合的偏导数，复合函数函数),(),(),(yxwyxyxfz 在对应点在对应点),(yx两个偏导数存在，且可用下列公式计算两个偏导数存在，且可

4、用下列公式计算 xwwzxvvzxuuzxz , ywwzyvvzyuuzyz .zwvuyx特殊地特殊地),(yxufz ),(yxu 即即,),(yxyxfz ,xfxuufxz .yfyuufyz 令令,xv , yw 其中其中, 1 xv, 0 xw, 0 yv. 1 yw把把复复合合函函数数,),(yxyxfz 中中的的y看看作作不不变变而而对对x的的偏偏导导数数把把),(yxufz 中中的的u及及y看看作作不不变变而而对对x的的偏偏导导数数两者的区别两者的区别区别类似区别类似例例 1 1 设设vezusin ，而，而xyu ，yxv ， 求求 xz 和和yz .解解 xz uzxu

5、 vzxv 1cossin veyveuu),cossin(vvyeu yz uzyu vzyv 1cossin vexveuu).cossin(vvxeu 例例 2 2 设设tuvzsin ，而而teu ，tvcos ， 求求全全导导数数dtdz.解解tzdtdvvzdtduuzdtdz ttuvetcossin ttetettcossincos .cos)sin(costttet 例例 3 3 设设),(xyzzyxfw ，f具有二阶具有二阶 连续偏导数，求连续偏导数，求xw 和和zxw 2. .解解令令, zyxu ;xyzv 记记,),(1uvuff ,),(212vuvuff 同理有

6、同理有,2f ,11f .22f xwxvvfxuuf ;21fyzf zxw2)(21fyzfz ;221zfyzf yzf zf1zvvfzuuf 11;1211fxyf zf2zvvfzuuf 22;2221fxyf 于是于是 zxw21211fxyf 2f y )(2221fxyfyz .)(22221211f yf zxyfzxyf 设函数设函数),(vufz 具有连续偏导数，则有全微分具有连续偏导数，则有全微分dvvzduuzdz ;当当),(yxu 、),(yxv 时，有时，有dyyzdxxzdz .全微分形式不变形的实质全微分形式不变形的实质： 无论无论 是自变量是自变量 的函

7、数或中间变量的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的的函数，它的全微分形式是一样的.zvu、vu、二、全微分形式不变性二、全微分形式不变性dxxvvzxuuz dyyzdxxzdz dyyvvzyuuz dyyudxxuuz dyyvdxxvvzduuz .dvvz 例例 4 4 已知已知02 zxyeze，求，求xz 和和yz .解解, 0)2( zxyezed, 02)( dzedzxydezxy)()2(ydxxdyedzexyz dyexedxeyedzzxyzxy)2()2( xz ,2 zxyeyeyz .2 zxyexe1、链式法则、链式法则（分三种情况）（分三种情况）2

8、、全微分形式不变性、全微分形式不变性（特别要注意课中所讲的特殊情况）（特别要注意课中所讲的特殊情况）（理解其实质）（理解其实质）三、小结三、小结设设),(xvufz ，而而)(xu ，)(xv ，则则xfdxdvvfdxduufdxdz ，试试问问dxdz与与xf 是是否否相相同同？为为什什么么？思考题思考题思考题解答思考题解答不相同不相同.等式左端的等式左端的z是作为一个自变量是作为一个自变量x的函数，的函数，而而等等式式右右端端最最后后一一项项f是是作作为为xvu,的的三三元元函函数数， 写出来为写出来为 xxvuxdxduufdxdz),(.),(),(xvuxxvuxfdxdvvf 一

9、、填空题一、填空题: : 1 1、设、设xyyxzcoscos , ,则则 xz_； yz_. .2 2、 设设22)23ln(yyxxz , ,则则 xz_； yz_._. 3 3、设、设32sinttez , ,则则 dtdz_._.二二、设设uvuez , ,而而xyvyxu ,22，求求yzxz , . .练练 习习 题题三、设三、设)arctan(xyz , ,而而xey , ,求求dxdz. .四、设四、设),(22xyeyxfz ( (其其具具中中f有一阶连续偏导有一阶连续偏导 数数) ), ,求求yzxz ,. .五、设五、设)(xyzxyxfu ,(,(其其具具中中f有一阶连

10、续偏导有一阶连续偏导 数数),),求求.,zuyuxu 六、设六、设),(yxxfz ,(,(其其具具中中f有二阶连续偏导数有二阶连续偏导数),),求求 22222,yzyxzxz . .七、设七、设,)(22yxfyz 其中为可导函数其中为可导函数, , 验证验证: :211yzyzyxzx . .八、设八、设 ,),(其中其中yyxxz 具有二阶导数具有二阶导数, ,求求 .,2222yzxz 一、一、1 1、xyyyyxxxyxxxy222cos)cossin(cos,cos)sin(coscos ； 2 2、,)23(3)23ln(2222yyxxyxyx 2232)23(2)23ln(2yyxxyxyx ； 3 3、.)43(1)41(3232ttt 二、二、,)(22222222yxxyeyyxyxyxxz )(22222)(22yxxyeyxxyxyyz . .练习题答案练习题答案三、三、xxexxedxdz221)1( . .四、