时间序列中常用预测方法

1、华南农业人孑数孑建模培训资料时间序列中常用预测技术一个时间序列是一组对丁某一变最连续时间点或连续时段上的观测值。本 专题中，我们将介绍时间序列中常用的预测技术。预测方法一般可以分为定最和 定性两类，我们仅仅讨论泄诡法。1. 移动平均法移动平均法是一种简单平滑预测技术，它的基本思想是：根据时间序列资料、 逐项推移，依次计算包含一定项数的序时平均值，以反映长期趋势的方法。因此, 当时间序列的数值由受周期变动和随机波动的影响，起伏较大，不易显示出出 件的发展趋势时，使用移动平均法可以消除这些因索的影响，显示出事件的发展 方向与趋势（即趋势线），然后依趋势线分析预测序列的长期趋势。1.1.简单移动平均

2、法设有一时间序列儿儿开则按数据点的顺序逐点推移求出N个数的平均 数，即可得到 次移动平均数：M ='； + Hi + + '； _ X"' , t>N1Nz N式中MJ为第/周期的一次移动平均数；牙为第/周期的观测值；N为移动平 均的项数，即求每一移动平均数使用的观察值的个数。这个公式表明当/向询移动一个时期，就增加一个新近数据，去掉一个远期数 据，得到一个新的平均数。由丁它不断地“吐故纳新"，逐期向前移动，所以称为 移动平均法。由丁移动平均可以平滑数据，消除周期变动和不规则变动的影响，使得长期 趋势显示出來，因而可以用丁预测。其预测公式为：即

3、以第I周期的一次移动平均数作为第t+1周期的预测值。1.2趋势移动平均法半时间序列没冇明显的趋势变动时，使用一次移动平均就能够准确地反映实 际情况，苴接用第/周期的一次移动平均数就可预测第/ + 1周期Z值。但当时间序列出现线性变动趋势时，用一次移动平均数來预测就会出现滞后偏差。因此， 需耍进行修匸，修iE的方法是在一次移动平均的慕础上再做二次移动平均，利用 移动平均滞后偏差的规律找出曲线的发展方向和发展趋势，然后才建立何线趋势 的预测模型。故称为趋势移动平均法。设一次移动平均数为MJ,则二次移动平均数的计算公式为：（I）I-N再设时间序列x，儿x从某时期开始具有fi线趋势，且认为未來时期亦按

4、此iT线趋势变化，则可设此血线趋势预测模型为：沽=*+bT式中/为当前时期数：丁为由当前时期数/到预测期的时期数，即/以后模型外推 的时间；为第f + T期的预测值；q为截距；$为斜率。q，切乂称为平滑 系数。根据移动平均值可得截距q和斜率Q的计笄公式为：2q=2M；D-M巴 h1111N-在实际应用移动平均法时，移动平均项数N的选择十分关键，它取决丁预 测H标和实际数据的变化规律。13应用举例已知某商场19781998年的年销售额如下表所示，试预测1999年该商场的年销售额。年价销售额年份销售额1978321989761979411990731980481991791981531992841

5、98251199386华南农业人了数7建模培训资料19835819948719845719959219856419969519866919971011987671998107198869下面使用移动平均工具进行预测，具体操作步骤如下:选择工具菜单中的数据分析命令，此时弹出数据分析对话框。在分析工具列表框中，选样移动平均匸具。这时将弹出移动平均对话框，如图81所爪。在输入框中指定输入参数，在输入区域框中指定统计数据所在区域B1:B22； 因指定的输入区域包含标志行，所以选中标志位于第一行复选框；在间隔框内键 入移动平均的项数5 （根据数据的变化规律，本例选取移动平均项数N=5）。在输出选项框内指

6、定输出选项。可以选择输出到当前工作表的某个单元格区 域、新I.作表或是新工作簿。木例选定输出区域，并键入输出区域左上角单元格 地址C2：选中图表输出复选框。若需要输出实际值与一次移动平均值Z差，还 可以选中标准误差复选框。单击确定按钮。这时,Excel给出一次移动平均的计算结果及实际值与一次移动平均值的曲线 图，如图8-2所示。图1456T8910111-13匕1516 1?18C 年饴扌自害颔一次移动平均 197S197919801981198245.0)87 4597 95 3 9 4567 5156 & 66<?7t88i8 345 6 78&O12349 9 9

7、9 9 9 9 9 9 9 9 11111111111150.253.456.659.863.065.269.070.872.876.279.681.8次穆动半均EFGH+粥值预测值图2从图8-2可以看出，该商场的年销售额具有明显的线性增长趋势。因此要进 行预测，还必须先作二次移动平均，再建立H线趋势的预测模型。而利用Excel 2000提供的移动平均工具只能作一次移动平均，所以在-次移动平均的基础上 再进行移动平均即可。二次移动平均的方法同上，求出的二次移动平均值及实际值与二次移动平均 值的拟合1111线，如图8-3所示。再利用前面所讲的截距勺和斜率计算公式 可得： s= 2M；： M；?

8、= 1x96.4-88.96 = 103.8422妇=(M ； -) =(96.4 - 8&96) = 3.725 15年卅伯售颔一次移閒平均二次移动平均1978 3±1979 411980 48198L53均二a7198381984919851011198619871219881319891<199015199 L 199216巧181993199445.050.253.456.659,8!53>0063.056.6065.259.6069.062. 7270.865.5672.868.1676.270.8019.613.6881.876. 2451585764

9、696769767379848687于是可得/ = 21时的直线趋势预测模型为：九寸=103.84 + 3.727预测1999年该商场的年销售额为：九 999 = J2141 = 103.84 + 3.72 = 107.562. 指数平滑法移动平均法的预测值实质上是以前观测值的加权和，且对不同时期的数据给 予相同的加权。这往往不符合实际情况。指数平滑法则对移动平均法进行了改进 和发展，其应用较为广泛。根据半滑次数不同，指数平滑法分为：一次指数平滑法、二次指数平滑法和 三次指数平滑法等。但它们的基本思想都是：预测值是以前观测值的加权和，且 对不同的数据给予不同的权，新数据给较大的权，旧数据给较小

10、的权。2.1 一次指数平滑法设时间序列为儿儿X，则一次指数平滑公式为：Sj=s+（l_a）S：式中SJ为第/周期的一次指数平滑值；q为加权系数，Ovovl。为了弄清指数平滑的实质，将上述公式依次展开，可得：=（I-疣）、-+（1-仪）丫絆由T-0<a<l,当/too时，（1-ayO,于是上述公式变为由此可见SJ实际上是X，X",的加权平均。加权系数分别为 华南农业人7数7纽模培训资料a a(-a). a(l-a)2,是按儿何级数衰减的，愈近的数据，权数愈大，愈远的 数据，权数愈小，且权数之和等丁7,即a(l-a)y = lo因为加权系数符介指>=« 数规律

11、，且乂具有平滑数据的功能，所以称为指数平滑。用上述平滑值进行预测，就是一次指数平滑法。其预测模型为y=ay,+(-a)yt即以第/周期的一次指数丫滑值作为第/ + 1期的预测值。2.2二次指数平滑法当时间序列没有明显的趋势变动时，使用第t周期一次指数平滑就能K接预 测第i+i期之值。但当时间序列的变动出现任线趋势时，用一次指数平滑法來预 测仍存在着明显的滞后偏差。因此，也需要进行修正。修IE的方法也是在一次指 数平滑的基础上再作二次指数平滑，利用滞后偏差的规律找出曲线的发展方向和 发展趋势，然后建立血线趋势预测模型。故称为二次指数平滑法。设一次指数平滑为SJ，则二次指数平滑sy的计算公式为：s

12、y = aS：l)+ (l_a)S：?若时间序列儿儿儿从某时期开始具冇氏线趋势，且认为未来时期亦按 此11线趋势变化，贝I与趋势移动平均类似，可用如下的血线趙势模型來预测。沽=4 + b,TT = l, 2,式中/为当丽时期数；7为由当前时期数/到预测期的时期数；几卢为第f + 7'期 的预测值：q为截灰，切为斜率，其计算公式为：q=2Sy-S.(Sj-Sf)-a2.3三次指数平滑法若时间序列的变动呈现出二次曲线趋势，则需要用三次指数平滑法。三次指 数平滑是在二次指数平滑的棊础上再进行一次平滑，其计算公式为:sr=aSy + (l_a)S：三次指数平滑法的预测模型为：yt+T =at+

13、 crT27 = 1, 2,其中：a, =3S；,)-3S；2)+5；3),2b = 2(： a)J(6-5a)S；“-2(5-4o)S：+(4-3a)Sfa-2(1 a)?Sj_2Sf+S；T24加权系数的选择在指数平滑法中，预测成功的关键是。的选择。Q的大小规定了在新预测值 中新数据和原预测值所占的比例。Q值愈大，新数据所占的比重就愈大，原预测 值所占比重就愈小，反之亦然。若把一次指数平滑法的预测公式改写为：八4 aX八、九=%+心-兀）则从上式可以看出，新预测值是根据预测谋差对原预测值进行修止得到的C 的 大小表明了修正的幅度。Q值愈大，修正的幅皮愈大，Q值愈小，修正的幅度愈 小。因此，

14、Q值既代表了预测模型对时间序列数据变化的反应速度，乂体现了预 测模型修匀误差的能力。在实际应用中，Q值是根据时间序列的变化特性來选取的。若时间序列的波 动不大，比较平稳，则Q应取小一些，如0.1-0.3：若时间序列具有迅速且明显 的变动倾向，则a应取大一些，如0.6-0.9。实质上，a是一个经验数据，通过 多个a值进行试算比较而定，哪个a值引起的预测误差小，就采用哪个。25应用举例己知某厂19781998年的钢产量如下表所示，试预测1999年该厂的钢产量。华南农业人7数7建模培训灸料年份钢产量年份钢产暈1978676198920311979825199022341980774199125661

15、981716199228201982940199330061983115919943093198413841995327719851524199635141986166819973770198716881998410719881958卜面利用指数平滑1.具进行预测，具体步骤如下：选择工具菜单中的数据分析命令，此时弹出数据分析对话框。 在分析工具列表框中，选择指数平滑具。这时将出现指数平滑对话框，如图8-4所示。图4右瀚入桩中指定输入参数。右输入区域指定数据所在的单元格区域B1:B22： 因指定的输入区域包含标志行，所以选中标志箜选框；在阻尼系数指定加权系数 0.3 o任输出选项框屮指定输出选项

16、。本例选择输出区域，并指定输出到当前1作华南农业犬7数7处模培训资料表以C2为左上角的单元格区域；选中单击确定按钮。这时，Excel给出一次指数平滑值，如图8-5所示。A6C年份钢产堂一次指敷平滑2197767631978825676419 T9774780.351980716775.8961981940733.967719821159878.19018198313841074.75703g198415241291.22710910198516681454.16813311138616881603.8504412198719581662. 755132198820311869.42654141

17、98922341992. 52796215199025662158. 55838916199128202443. 767517IT199230062707,130255直199330932916* 339076一次指救平滑+实际值华南农业犬7数7处模培训资料华南农业犬7数7处模培训资料图5从图85可以看出，钢产量具有明显的线性增长趋势。因此需使用二次指平滑法，即在一次指数平滑的基础上再进行指数平滑。所得结果如图8-6所示。ABCDEFC|HI1年份钢产重一次指数平滑二次扌鐵平滑21977676二次指故平歩 一冶他冷疋酒31978825676 cKlirffcTln41979774780.367

18、6.0045005I96071677E.89749.01400061981940733.967767.83719821159878.1901744.123500戶8138313841074.75703837.97駅 3000g19841524129L 2271 矗.过03727* OKHA10198516681454.1681331204.98pn £.1/111986168S1603.8504413T9.4L盜 2000'J12198719581662.7551321536. 521500.七”15198820311869.426541624.881419392234198

19、2, 5279621796.061000ar*"】5199025662158. 5583891926.59500】6199128202443.7675172088.97A1T199230062707.1302552337. 33VT18199330932916.3390762696.19I IOI利用前而的截距勺和斜率玄计算公式可得：仙=2S；： - S；? = 2x3665.47 - 3336.01 = 3994.90 30 3b“= (S：； _ Sf) = (3665.47 一 3336.01) = 141.21-0.30.7丁是，可得钢产帚的H线趋势预测模世为：y2UT =

20、3994.9 + 141.27 T = 1,2,3,预测1999年的钢产量为：为咖=乩=3994.9 + 141.2 = 4136.13. 趋势延伸法3.1 直观法定义：根据预测目标的J史时间数列在坐标图上标出分布点，血观地用绘图 匸具，画出一条最佳直线或曲线,并加以延伸來确定预测值。1. 直观法耍点2. 配合EXCEL软件制作趋势图3. 直观法案例分析3.2直线趋势延伸法的预测模型1. H线趋势延伸法的定义:当预测目标的时间序列资料逐期增减量大体相 等时长期趙势呈线性趋势所采用的方法。2、直线趋势延伸法的预测模熨：Yt =a + bt式中：/代表已知时间序列Yt的时间变暈Yt代表时间序列Y,

21、的线性趋势估计值。代表待定系数；a为截距，“为鬥线斜率，代表单位时间周期观察值的增（减）量估计值.华南农业大了数孑建模培训资料3. a和b参数的推算n nH线趋势延伸法的关键是为己知时间序列找到一条最佳拟合其长期线性发 展规律的|工线，即正确地推算出d线的。和b参数。最常用的方法是用最小二乘 法和极值定理求出最佳拟合线的aWb参数。公式为:一般按时间顺序给t分配序号，为了简化计算，使£r = o,当时间序列中数据点数目为奇数，如 =7,则取_3,-2,-1,023为序号：如“为偶数,如72=8,则取_7,-5,-3,-1, + 1,+3,+5,+7为序号，此时。和b计算公式为:n4.

22、配A EXCEL软件制作趋势图 在EXCEL表格中输入相关数据 选定数据区域-一-点击图表I具-一选择折线图-一确定 再用绘图工具栏中的M线或曲线工具画岀趙势延伸线年份89-90年9192193年94年95-9697981销駅400450510560660710810830900910华南农业大了数孑建模培训资料华南农业大了数孑建模培训资料二次曲线趋势延伸法的预测模型华附农业犬7数7建模培训资料华附农业犬7数7建模培训资料4. 1.二次曲线趋势延伸法的定义依据预测冃标的丿力史时间数列，拟合成成抛物线，建工二次曲线方程进行预 测。4. 2二次曲线趋势预测模型二次曲线趋势预测模型为：4 °

23、; +加+川当d>0.b>0,c>0时，曲线呈现正增长趋势；当n>0./7<0,c>0W,曲线呈现负增长趙势：当d>O.b>O.cvO时，曲线呈现负增长趙势；当d > O.b v O.c v 0时曲线呈负增长趙势。二次曲线趋势预测法预测模型中的不定参数abc也是用最小二乘法求最佳拟合线求得。利用城小二乘法可以导出计算三参数的联立方程为：工丫 = m + by + c工广 工"=也+吩+才 工沖之工/Sb刃论工若采用给时间变量分配号满足Lt=O的方法，便可将公式简化为:"d + c/例：根据卜表中某金业历年销售额，预测19

24、96和1997年的销售额.观察期Y （万元）、tt1t4tYAYt =a + bt + ct21989350-3981-10503150334. 521990300-2416-6001200303. 571991250-111-250250300. 00199235000000320. 8119934011140040375. 00199445024169001800453. 571995550398116504950559. 5277 =7工Y = 265O工'28St4=196LtY=1050LVY=11750绘制7年观察值分如图，判断其变动形态，观察值的变动趙势系二次曲线形态，即

25、由高到低再升高，所以，应运用二次曲线进行预测。其方程式为：Y = a + bt + ct2 计算求解参数a、b、c的有关数据。（计算结果见上表） 解联立方程，得：d = 323.81b = 37.5c = 13.69 求得趋势曲线：X =323.81 + 37.5f+ 13.6歼 将1996年和1994年的时间序列变最值t和t：代入,求出：=692.85Vl（t97 =863.565. 回归预测法5.1 一元线性回归预测法是指成对的两个变量数据分布大体上呈H线趙势时，运用合适的参数佔计方 法，求出一元线性回！n模型，然后根据门变量与因变暈之间的关系，预测因变眩 的趋势。由丁很多社会经济现象之间

26、都存在相关关系，因此，一元线性冋归预测 具有很广泛的应用。进行一元线性回归预测时，必须选用合适的统计方法佔计模 型参数，并对模型及其参数进行统计检验。1、建立模型一元线性回归模型： =加+也兀+仏其中，b°, b、是未知参数，“，为剩余残差项或称随机扰动项。2、用最小二乘法进行参数的估计时，耍求口满足一定的假设条件：化是一个随机变最；华南农业人了数孑纽模培训资料 "的均值为零,即E(丛)= 0； 在每一个时期中，“,的方差为常帚:，即0(/, ) = a2 ； 各个“,相互独立； 仏与H变最无关;3、参数估计用最小二乘法进行参数估计，得到的九，勺的公式为:_(x-xXy-y

27、)，=SU-x)2华南农业人了数孑纽模培训资料华南农业人了数孑纽模培训资料4、进行检验 标准误差：估计值与因变最值间的平均平方误差。其计算公式为:SE =EG-y)2n-2 可决系数：衡最H变最与因变最关系密切程度的指标，在o与1之间取值。 相关系数：计算公式为：2册諾 回归系数显苦性检验i检验假设:Hn:b =0, 0 :$工0。ii检验统计量：/=久心一2),其中Sh= t SE Sbiii检验规则：给定显苕性水平a,若|/| > la ,则回归系数显苕。 回!H模型的显著性检验i检验假设：H。：回归方程不显著，回归方程显著。ii检验统计最：Fiii检验规则：给定显著性水平a ,若尸

28、代(1/-2),则回归方程显著。 得宾一沃森统计量(D-W)：检验化之间是否存在IH相关关系。E(a-aJ2，其中仏=%-刃。D：1-15、进行预测小样本情况下近似的置信区间的常用公式为:置信区间二y±tSE o5.2多元线性回归预测法社会经济现象的变化往往受到多个因素的影响，因此，一般耍进行多元回 归分析，我们把包括两个或两个以上H变量的回归成为多元回归。多元回归与医 院回！T1类似，可以用最小二乘法估计模型参数。也需对模型及模型参数进行统计 检验。选择合适的IH变最是正确进行多元冋归预测的前提之一，多元冋归模型IH 变量的选择可以利用变量之间的相关矩阵來解决。1、建立模型一以二元

29、线性I口I归模熨为例二元线性回归模型：必=仇+勺册+乞兀+他。类似使用最小二乘法进行参 数估计。2、拟合优度指标 标准误差：对y值与模型估计值之间的离差的一种度最。其计算公式为:V n-3y (y y)2 可决系数： 宀1-幺。疋=0意味着回归模型没有对y的变差工(y-M做出任何解释；而用=1意味着回归模型对y的全部变差做出解释。3、置信范I韦I置信区间的公式为：置信区间#±JSE,其中-是H由度为n-k的/统计 輦数值表中的数值，"是观察值的个数，R是包括因变量在内的变最的个数。华南农业大7数7述模培训资料4、"相关和多雨共线性问题厂心彳 自相关检验：D-W =

30、,其屮Q =片-yf oix1=1 多巫共线性检验由于各个鬥变最所提供的是各个不同因素的信息，因此假定各h变量同其他 h变鼠Z间是无关的。但是实际上两个H变量之间可能存在相关关系，这种关系 会导致建立错误的回!H模型以及得出使人误解的结论。为了避免这个问题，有必 耍对h变量之间的相关与否进行检验。任何两个H变量之间的相关系数为：.工（5T） 匹（一对近（）t）经验法则认为相关系数的绝对值小于0.75,或者0.5,这两个H变最之间不 在多重共线性问题。5.3非线性回归预测法在社会现实经济生活中，很多现象之间的关系并不是线性关系，对这种类型 现象的分析预测一般耍应用非线性回D预测，通过变量代换，可

31、以将很多的非线 性回归转化为线性冋归。因而，可以用线性冋归方法解决非线性冋归预测问题。选择合适的Illi线类型不是一件轻而易举的匸作，主耍依靠专业知识和经验。 常用的曲线类世冇幕函数，指数函数，抛物线函数，对数函数和s型函数。5.5应用回归预测法时应注意的问应用冋归预测法时应首先确定变量之间是否存在相关关系。如果变帚之间不 存在相关关系，对这些变量应用回川预测法就会得出错谋的结果。正确应用回归分析预测时应注意： 用定杵分析判断现象Z间的依存关系： 避免回旷I预测的任意外推： 应用合适的数据资料：6灰色预测与优化在灰色理论中，口指信息完全，黑指信息缺乏，灰指信息不完全。信息不完 全的系统便是灰色

32、系统。例如，农牧耦合系统中物质循环和能就流动的信息就是 不完全的。因此，农牧耦合系统是灰色系统。忖前，灰色理论在农牧耦介系统中应用较多的是灰色预测和灰色优化决策。6.1灰色预测所谓预测就是根据客观事物的过左和现在的发展规律，借助丁科学的方法和 先进的技术手段，对其未來的发展趋势和状况进行描述和分析，并形成科学的假 设和判断，对丁一个将來出现的、现在没有诞生的耒來系统，必然是既有己知信 息，乂有未知或不完金确知的信息并且处连续变化的动态之中，所以说“预测 耒来”从木质上说是灰色问题,基于灰色动态GM(nJi)模型的预测称为灰色预测。 灰色系统建立的GM(nJi)模型是微分方程的时间连续函数模型，

33、n表示微分方程 的阶数，h表示变量的个数，灰色预测具有以下特点：灰色预测需要的数据量 较少；灰色预测方法计算简单。虽然GM(nJi)模型建立在较深的高等数学基础 上，但它的计算步骤却不烦琐，多数可用手匚完成，借助数学软件计算则更为迅 速；灰色预测不需要太多的关联因素，因而资料比较容易取得；灰色预测既 可用于近期、短期，也可用F中长期预测。灰色预测的基本方法大致可分为三类：数列预测，即对某个系统或因索发 展变化到未來某个时刻出现的数最大小进行预测：灾变预测，即对某个时间是 否会发生某种“灾变”，或某个异常值可能在什么时间出现等进行预测；系统 预测，即对某个系统中一些变最或因素间相互协调发展变化的

34、大小及其数量进行 预测。在这些预测方法屮，灰色数列预测应用最为普遍，灰色数列预测是指利用 GM(L1)模型，对时间序列进行数量人小的预测。下而介绍灰色数列预测求解的 妹本步骤。设有原始数据列妙=(x(0)(1), x<0)(2),*5()，( n 为数据个数)华南农业大了数孑纽模培训笛料GMW)模型相应的微分方程为竽+卫=“.记a,"为参数向量a的元素,即:a = ajir.GM(l.l)模型求解的基本步骤为:(1) 原始数据累加生成，得到x=(x'，兀何),式中利)(/) = £#°>伙)1=1,2,，n.(2) 构造累加矩阵B与常数项向帚:打即一 0.5(x (l) + x(2)'B= 一 0.5(x (2) + x)，-0.5(x<h0/-l) + x(h(/0) ；=(x<o>(2),x<o)(3),-,x(o)(n)r.(3) 用般小二乘法求解灰参数&，则a=(a = (BTBYlBTYll9W丿(4) 将灰参数a代入时间函数，则f (f + D = (x(o)(l)-)e_w/ +-ci a(5) 对丘