全国I卷理科数学高考真题

1、2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1 .答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2 .回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .已知集合 M x| 4 x 2, N x x2 x 6 0 ,则 M I N =A. x 4 x 3 B. x 4 x 2 C. x 2

2、x 2 D. x 2 x 32 .设复数z满足z i =1, z在复平面内又应的点为(x, y),则22222 ,.、22 , .、2 .A. (x+1) y 1 B(x 1) y 1c x (y 1)1 D. x (y+1)1,. _0.20.3 一.3 .已知 a log20.2, b 2 , c 0.2 ，则A. abcB. acbC. cabD. bca4 .古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是近(近-0.618,22称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 亘.若某人满足上述两个黄金

3、分割比例，且腿长为105 cm,头顶至脖子下端的长2度为26 cm,则其身高可能是A . 165 cmB. 175 cmC. 185 cmD. 190 cmsinx x5 .函数f(x)=2在, 的图像大致为cosx x12AA.0ITC.>Tf ,r6个爻组成，爻分为6 .我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化.每一 “重卦”由从下到上排列的阳爻“的概率是和阴爻“一 一”，如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻5A.1611 B.32C.32D.11167.已知非零向量b满足|a| 2|b|,且(a b) b,则a与b的夹角为D.花B.一38.如图是求A. A=

4、的程序框图,图中空白框中应填入B.A=2 AC.1A=1 2AD.A=1 9.记Sn为等差数列an的前n项和.已知S4 0, a5 5 ,则A. an 2n 5B. an3n 10一_ 2 _C. Sn 2n8nD.Sn 2 n22n10.已知椭圆 C的焦点为F1( 1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A, B两点.若|AF2| 2|F2B|,|AB| | BFi |,则C的方程为2x 2A. y 122 x B.32 x C.4D.11.关于函数f(x) sin|x| |sin x|有下述四个结论:f(x)是偶函数f(x)在区间(一2)单调递增f(x)在,有4个零点f(x)的最大值

5、为其中所有正确结论的编号是A.B.C.D.12.已知三棱锥 P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC, ABC是边长为2的正三角形，E, F分别是PA, AB的中点，/ CEF=90,则球O的体积为A. 8,6B. 4.6C. 2.6D.6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。213.曲线 y 3(xxx)e在点(0,0)处的切线方程为14.记Sn为等比数列an的前n项和.若a13,15.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束).根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为主主客客主客主设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0

6、.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以 4：1获胜的概率是16.已知双曲线C:2-2ab1(a 0,b0)的左、右焦点分别为 Fi, F2,过F1的直线与C的两条渐近线分别交于Auur uurB两点.若F1A AB ,uur uuuuF1B F2B 0,则C的离心率为三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共 60分。17. (12 分)22_ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c,设(sinB sinC) sin A sinBsinC.(1)求 A

7、；(2)若 72a b 2c ,求 sinC.18. (12 分)如图，直四棱柱ABCD -A1B1C1D1的底面是菱形，AA=4, AB=2, Z BAD =60° , E, M, N分别是BC,BB1, A1D的中点.5 G(1)证明：MN /平面 CiDE;(2)求二面角A-MA 1-N的正弦值.19. (12 分)已知抛物线C: y2=3x的焦点为F,斜率为9的直线l与C的交点为A, B,与x轴的交点为P.2(1)若 |AF|+|BF|=4,求 l 的方程；uuiruur(2)若 AP 3PB,求 AB|.20. (12 分)已知函数f(x) sin x ln(1 x), f

8、 (x)为f(x)的导数.证明：(1) f (x)在区间(1,一)存在唯一极大值点；2(2) f(x)有且仅有2个零点.21. (12 分)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案 如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以 乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得 1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白

9、鼠未治愈则乙药得1分，甲药得 1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为a和3, 一轮试验中甲药的得分记为 X.(1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,Pi(i 0,1,L ,8)表示 用药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效 ”的概率，则 p0 0 , p8 1 , pi api 1 bpi cpi 1 (i 1,2,L ,7),其中 a P(X 1), b P(X 0), c P(X 1) .假设 0.5,0.8 .(i)证明: pi 1 pi (i 0,1,2,L ,7)为等比数列;(ii)求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合

10、理性.(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.选彳4-4：坐标系与参数方程(10分)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为1 t22，1 t(t为参数)4t1 t2以坐标原点 。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 2 cos33 sin 11 0.(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值.23.选彳4-5:不等式选讲(10分)已知a, b, c为正数，且满足 abc=1证明:,、111222(1) 一 一 a b c ；a b c(a b)3 (b c)3 (c a)32019年普通高

11、等学校招生全国统一考试理科数学？参考答案一、选择题1. C 2. C 3. B 4. B 5. D 6. A 7. B 8. A 9. A 10. B 11. C 12. D二、填空题13. y=3x12114. 315. 0.1816. 22三、解答题2 、17.解：（1）由已知得sin Bsin2C.2 ,sin A sinBsinC,故由正弦定理得b2a2 bc. b2由余弦定理得cos A 22c a2bc因为0 A 180，所以A 60 . 由（1）知B 120 C ,由题设及正弦定理得 J2sinA sin 120 C 2sin C ,-6,31.2即 cosC sinC 2sin

12、 C ,可得 cos C 60.2222由于0 C 120 ,所以sin C 60sinC sin C 60 60sin C 60 cos60cos C 60 sin 6018.解：（1）连结 BiC, ME.因为M, E分别为BBi, BC的中点,所以 ME/BiC,且 ME = 1B1C.21又因为N为Aid的中点，所以ND=-AiD.由题设知 A1B1 P DC ,可得 BiC P AiD,故 ME P ND ,因此四边形MNDE为平行四边形， MN / ED.又MN 平面EDCi,所以MN/平面CiDE.(2)由已知可得DE ±DA.155以D为坐标原点,D-xyz,则A(2

13、,0,0) , Ai(2 ,0 ,uuuuA1Nuuur(1,0, 2) , MNuuru一DA的方向为x轴正方向，建立如图所小的空间直角坐标系4), M (1,73,2) , N(1,0,2),uLurAA (0,0, 4)，(0, 73,0) .uLmrAM(1J3, 2),uuuu设m (x,y,z)为平面Aima的法向量，则m A1M0uuurm A1A0所以x岛2z 0,可取m (73,1,0).4z 0.uuuu/、n MN0,设n (p,q,r)为平面A1MN的法向量，则uuuun AN0.所以、3q 0,p 2r可取n 0.(2,0,1).m n cos m, n| mI n

14、|2 32.5所以二面角A MA1N的正弦值为近0 .519.解：设直线l :t,A Xi,yi ,B X2, y2 .3 一(1)由题设得 F 3,0 ，故 | AF | |BF | x14X2 -,由题设可得Xi23V X t由,2 ，可得 9x2 12(t 1)x 4t2 0 ,则 X1 X2V2 3x12(t 1)12(t 1) 5从而一-,得t9237所以l的方程为y 3x28uuu uuu(2)由 AP 3PB可得 y13y2.3由 y 2X 1 可得 y2 2y 2t 0 .y2 3x所以V1V22 .从而3 y2V22 ,故y21,V1 3.代入C的方程得x13x 13,x23

15、故 | AB|4 13320.解：(1)设 g(x)f'(x),则 g(x)cosx 一 1X，g'(x)sin x12 .(1 X)1-时,2g'(x)单调递减,而g'(0)0, g'(-) 0,可得g'(x)在 1- 有唯一零点,22设为2则当 x ( 1,)时，g'(x) 0；当 x时，g'(x) 0.(1,0时,由(1)知，f «)在(时，f'(x)0,故“刈在(1,0)单调递减,又f(0)=0 ,从而x 0是£3在(1,0的唯(ii)当 x0,-时，由(1)知，f'(x)在(0,)单调

16、递增，在，一单调递减，而f '(0)=02，所以存在2 ,使得f( )0,且当x (0,)时，f'(x)0；当x时，f'(x)0 .故 f(x)在(0,)单调递增，在,-单调递减.又 f (0)=01 ln 10,所以当20-时，f(x) 0从而, 2f(x)在0,一 2所以g(x)在(1,)单调递增，在 ，单调递减，故g(x)在1,_存在唯一极大值点, 即f'(x)在1,万存在唯一极大值点.(2) f(x)的定义域为(1,).1,0)单调递增，而f'(0) 0,所以当x (1,0)没有零点.(iii)当 x时，f'(x) 0,所以f(x)在，单

17、调递减.而f 220, f()0,所以f(x)在有唯一零点.(iv)当 x (,)时，ln(x 1) 1,所以f(x)<0,从而“*)在(，)没有零点.综上，f(x)有且仅有2个零点.解：X的所有可能取值为 1,0,1.P(X 1) (1),P(X 0)(1)(1),P(X 1)(1),所以X的分布列为A |01P （a）*由（1）得 a 0.4, b 0.5, c 0.1.因此 pi=0.4R 1+0.5 pi+0.1pi 1,故 0.1 pi 1piPi 1 Pi 4 pipi 1又因为pip0p10 ,所以pi 1pi（i0,1,2,L ,7）为公比为4,首项为p1的等比数歹U.（

18、ii）由（i）可得p8p8p7P7P6 Lp1p0p0p8p7p7p6 Lp1p0.3 一 .由于p8=1 ,故p1 -8，所以 48 1p4p4 p3p3 p2p2 RR p。1p11257p4表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为1p42570.0039 ,此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理.1 t2口22 .解：（1）因为 12 1 ,且1 t24t22-1 t1 ,所以C的直角坐标方程为2x2 1（x1）.4l的直角坐标方程为2x J3y 110.x cos（2）由（1）可设C的参数方程为y 2sin为参数,冗）.12cos 23 sin 11|C上的点到l的距离为J产,74cos花-11352