《一元二次方程的解法(三)--公式法,因式分解法》—知识讲解(基础)

1、一元二次方程的解法（三）一公式法，因式分解法知识讲解（基础）撰稿：李爱国 审稿：杜少波【学习目标】1理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程:2. 正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；3. 通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想.【要点梳理】要点一、公式法解一元二次方程1. 一元二次方程的求根公式一元二次方程<ur14-ax+c = 0（a*0）,当q时，jr =2d2. 一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：a=h-4m当心=夕-灶:>0吋,原方程有两个不等的实数根升 *-b

2、士嗣-心当 a=ij-4a7 = ont,原方程有两个相等的实数根 = «, = 2a当& =4>a-4<*7 <0 时,原方程没冇实数根.3. 用公式法解一元二次方程的步骤用公式法解关于x的一元二次方程& +&t+c = 0（« * 0）的步骤: 把一元二次方程化为一般形式； 确定a、b、c的值（要注意符号）； 求出*a-4«的值;若心力，则利用公式j = 7土求出原方程的解；若4ac <0,则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非戢简单的，一定耍注意方法的 选择.-

3、元二次方程宀如20（“。），川配方法将其变形为：（“冷晋当=戻-4处> 0时，右端是正数因此，方程有两个不相等的实根:-b + y/lf-aac2a当二戸一4心、=0时，右端是零因此，方程有两个相等的实根：x12=-2a 当二，-4dcv 0时，右端是负数.因此，方程没有实根.要点二、因式分解法解一元二次方程1. 用因式分解法解一元二次方程的步骤(1) 将方程右边化为0；(2) 将方程左边分解为两个一次式的积；(3) 令这两个一次式分别为0,得到两个一元一次方程；(4) 解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.2. 常用的因式分解法提取公因式法，公式法(平方差公式、完全平方公式)，

4、十字相乘法等.要点诠释：(1) 能用分解因式法來解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0,另一边可以分解成两个一次 因式的积；(2) 用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0,那么这两个因式中至少有一个 等于0；(3) 用分解因式法解一元二次方程的注意点：必须将方程的右边化为0；方程两边不能同吋除 以含有未知数的代数式.【典型例题】类型一、公式法解一元二次方程¥ 1.用公式法解下列方程.(1) x2+3x+1=0；(2) 2x2 =4x-l :(3) 2x2+3x-l=0.【答案与解析】(1) a二 1, b二3, c=l._ b±7b2- 4ac_ -3&#

5、177;v52a 2._ 3+v5_ 3 _ 旋x：=, x2 .2 2(2) 原方程化为一般形式，得2x2-4x + = 0.t a = 2 , b = -4 , c = 1,b2 -4ac = (-4)2-4x2xl = 8>0._4土2迈亠迈 lln v2 , v22x22|22(3) va=2, b二3，c= - 1.-.b2-4ac=17>0_13±vn x4._ 3+v17_ 3 _ v17 xl, x 2.44【总结升华】用公式法解一元二次方程的关键是对3、b、c的确定.用这种方法解一元二次方程的步骤 是：(1)把方程化为一元二次方程的一般形式;(2)确定a

6、, b, c的值并计算b2-4ac的值；若b2-4ac 是非负数，用公式法求解.举一反三：【变式】用公式法解方程：3x=4x+l【答案】原方程化为一般形式，得3x2-4x-1 = 0.t a=3, b=-4, c=-l, b2-4ac=(-4)2-4x3x(-1)=28x).4±a/282±>/7 hn 2 + v7 2-72x33x => 即 xi ，xj 3 3用公式法解下列方程：(l)x2-4v3x + 10 = 0；(2) (x + l)(x-l) = 2v2x ；(3) 2x2 2迈x 5二0【思路点拨】针对具体的试题具休分析，不是一般式的先化成一般式

7、，再写出a, b, c的值，代入求值即 可.【答案与解析】(1).。=1, h = -4>/3 , c = 10, b2 -4ac = (-4>/3)2 - 4xlxl0 = 8>0,= 2a/3 + v2 , x2 = 2/3 >/2 .原方程可化为x2- 2迈x-1 = 0.d = l, b = -2 近,c = l, h2-4ac = (-2>/2)2 -4x lx (-1) = 12 > 0 ,兀二-(-2血)土辰二2近土2乜二逅*石 * 271-：-'x = >/2 + 屈,x2 - >/2 - >/3 .(3)护2, b

8、二-2返，c= - 5b' - 4ac= ( - 2) 2-4x2x ( - 5) =8+40二48；b± 厶2 4ac_2 晅土 a/482x2 _2后±4貞z4 z_v2 ± 2 v32z._v2+2 v3 _v2 - 2 v3 x1, x 2_ 2 _ 2【总结升华】首先把每个方程化成一般形式，确定出a、b、c的值，在b2-4ac> 0的前提卜一，代入求根公式可求出方程的根.举一反三：【变式】用公式法解卞列方程：2x2 + 2x = 1；【答案】解：移项，得2 + 2兀-1 = 0.。=2, b = 2, c = -l, b2-4ac = 22

9、 -4x 2x (-1) = 12 > 0 ,-2±vl2 -1±v3/ x =,2x22.-1"-1 + v3 xi =,* 2 2类型二、因式分解法解一元二次方程wr 3.用因式分解法解下列方程：(1)3(x+2)2=2(x+2)；(2) (2x+3)2-25 = 0；(3) x (2x+l) =8x 3.【思路点拨】用因式分解法解方程，一定要注意第1小题，等号的两边都含有(x+2)这一项，切不可 在方程的两边同除以(x+2)，化简成3 (x+2)二2,因为你不知道(x-2)是否等于零.第2小题，运用平 方差公式可以，用直接开方也町以笫3小题化成一般式z

10、后，再运用分解因式法解方程.【答案与解析】(1)移项.得 3 (x+2)$-2 (x+2) =0, (x+2) (3x+6-2)=0.x+2 = 0或3x+4 = 0,4 xi=_2,=23(2) (2x+3-5) (2x+3+5)=0,2x-2=0 或 2x+8=0， xi = l, x2=4.(3) 去括号，得：2x2+x=8x - 3, 移项，得:2x'+x 8x+3=0 合并同类项，得：2x2 - 7x+3=0,(2x 1) (x 3)二0,.*.2x - 1=0 或 x 3=0,【总结升华】(1)中方程求解时，不能两边同时除以(x+2),否则要漏解.用因式分解法解一元二次方程

11、 必须将方程右边化为零，左边用多项式因式分解的方法进行因式分解.因式分解的方法有提公 因式法、公式法、二次三项式法及分组分解法.(2)可用平方差公式分解.p 4.解下列一元二次方程：(1) (2x+1)2+4(2x+1)+4=0；(2) (3x- l)(x-1) = (4x +1)(%-1).【答案与解析】(1) (2x+1)2+4(2x+1)+4 = 0,(2x+1+2)2=0.即(2x + 3)2=0,(2)移项，得(3x-l) (x-l)-(4x+l) (x-l)=0, 即(x-1) (x+2)=0,所以齐=1 x2 = 2 .【总结升华】解一元二次方程时，一定要先从整体上分析，选择适当

12、的解法.如(1)可以用完全平方公 式.用含未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程丢根，(2)容易丢掉x = l这个根.举一反三：【变式】(1) (x+8) l5(x+8)+6二0(2) 3x(2x + l) = 4x + 2【答案】(1) (x+8-2) (x+8-3) =0(x+6) (x+5)=0xi=-6, x2=-5.(2)3x(2x+l)-2 (2x+l)=0(2x+l) (3x-2) =01 2y 5.探究下表中的奥秘，并完成填空：一元二次方看!两个根二次三项式因式分解x2 - 2x+l=0x1 = 1 , x2=lx2 - 2x+l= (x - 1 ) (x - 1)x2 - 3x+2=0xi=l, x2=2x2 - 3x+2= (x - 1) (x - 2)3x2+x - 2二0xi , x2= - 1 33x'+x - 2=3 (x - ) (x+1)32x2+5x+2=0x)= - , x2= - 2 22x2+5x+2=2 (x+-) (x+2)24x2+13x+3=0x|=, x2=4x2+13x-»3=4 (x+) (x+)将你发现的结论一般化，并写出来.