高三总复习数列知识点及题型归纳总结2

1、高三总复习 -数列一、数列的概念（ 1）数列定义：按肯定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项；记作an ，在数列第一个位置的项叫第1 项（或首项），在其次个位置的叫第2 项，序号为n的项叫第 n 项（也叫通项）记作an ；数列的一般形式：a1 ， a2 ， a3 ，an ，简记作an；例：判定以下各组元素能否构成数列（ 1） a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9;22021年各省参与高考的考生人数；（ 2）通项公式的定义：假如数列叫这个数列的通项公式； a n 的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就例如： 1 ， 2 ， 3 ， 4，

2、5，1111， ， ， ，： 12345数列的通项公式是an =n （ n7， nn），数列的通项公式是a =1（ nn）；nn说明：an表示数列，an 表示数列中的第n 项，an =fn 表示数列的通项公式； 同一个数列的通项公式的形式不肯定唯独；例如，a= 1n =1,n1,n2k1kz ；2kn不是每个数列都有通项公式；例如，1， 1.4 ， 1.41 ， 1.414 ，（ 3）数列的函数特点与图象表示：序号： 123456项： 456789上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射；从函数观点看， 数列实质上是定义域为正整数集n（或它的有限子集）的函数f n

3、 当自变量 n 从 1 开头依次取值时对应的一系列函数值f 1, f 2,f 3,，f n ，通常用an 来代替fn ，其图象是一群孤立点；例：画出数列an2 n1 的图像 .（4）数列分类：按数列项数是有限仍是无限分：有穷数列和无穷数列；按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摇摆数列；例：以下的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摇摆数列？（1） 1， 2，3， 4， 5， 6，210, 9, 8, 7, 6, 5,3 1, 0, 1, 0, 1, 0,4a, a, a, a, a,s1n1（ 5）数列 a n 的前 n 项和sn 与通项a n 的关系：

4、ansnsn 1 n 2例：已知数列 a n 的前 n 项和 sn2n 23 ，求数列 a n 的通项公式练习：1依据数列前4 项，写出它的通项公式：（ 1）1， 3， 5，7；2（ 2） 22132，314 2，41521，；5（ 3）1 1*21，2*3，13*41，；4*5（ 4）9， 99， 999， 9999（ 5）7， 77，777， 7777， 68, 88, 888, 88882数列an中，已知 ann 2n31 nn（ 1）写出a1,， a 2 ， a3 ， an1 ， an2 ；（ 2） 792 是否是数列中的项？如是，是第几项？33（ 2003 京春理14，文 15）在某

5、报自测健康状况的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.观看表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（ ）内；4、由前几项猜想通项：依据下面的图形及相应的点数，在空格及括号中分别填上适当的图形和数，写出点数的通项公式.（ 1）（ 4）（ 7）（）（）5. 观看以下各图，并阅读下面的文字，像这样，10条直线相交，交点的个数最多是（），其通项公式为.a40 个b 45 个c 50 个d 55 个2 条 直 线 相交，最多有 1 个交点二、等差数列3 条 直 线 相交，最多有 3个交点4 条 直 线 相交，最多有 6 个交点题型一 、等差数列定义：一般地，假如一个数列从第2 项起，每一项与它的

6、前一项的差等于同一个常数，那么这个 数 列 就 叫 等 差 数 列 ， 这 个 常 数 叫 做 等 差 数 列 的 公 差 ， 公 差 通 常 用 字 母 d 表 示 ； 用 递 推 公 式 表 示 为anan 1d n2 或 an 1and n1 ；例：等差数列a n2n1 ， ana n 1题型二 、等差数列的通项公式：ana1 n1d ；说明：等差数列（通常可称为a p 数列）的单调性：d0 为递增数列，d0 为常数列，d0为递减数列；例： 1. 已知等差数列a n中， a7a 916， a 41，就 a12 等于（）a 15b 30c 31d 642. an是首项a11 ，公差 d3的

7、等差数列，假如an2005 ，就序号 n 等于（ a） 667（ b）668（ c） 669（d） 6703. 等差数列an“递减数列” ）2 n1, bn2n1 ，就an 为bn 为（填“递增数列”或题型三 、等差中项的概念：定义：假如a ， a ， b 成等差数列，那么a 叫做 a 与 b 的等差中项；其中aab2a ， a ， b 成等差数列aab 2即： 2an 1anan 2（ 2ana n man m ）例：1（ 14 全国 i ）设an是公差为正数的等差数列，如 a1a2a315 ，a1a2 a380 ，就 a11a12a13（）a 120b 105c 90d 752. 设数列

8、an是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，就它的首项是（）a 1b.2c.4d.8题型四 、等差数列的性质：（ 1）在等差数列（ 2）在等差数列an中，从第2 项起，每哪一项它相邻二项的等差中项；an中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列；（ 3）在等差数列a中，对任意m ， nn， aanmd ， danammn ；（ 4）在等差数列nnman中，如 m ， n ， p ， qn且 mnpq ，就 amnmanapaq ；题型五 、等差数列的前n 和的求和公式：snn a1an na1nn1) d1 n 2（ a1d） n ； snan 2bn a, b为常数 2222a

9、 n是等差数列递推公式：sna1an n 2a ma n m21 n例： 1. 假如等差数列an中， a3a4a512 ，那么 a1a2.a7（ a）14（ b） 21（ c）28（ d）352. （2021 湖南卷文）设sn 是等差数列an的前 n 项和，已知a23 ， a611，就s7 等于 a13b35c 49d 633. （2021 全国卷理）设等差数列an的前 n 项和为sn ，如s972 , 就 a2a4a9 =4. （2021 重庆文）（ 2）在等差数列an中， a1a910 ，就a5 的值为（）（ a） 5（ b） 6（ c） 8（ d） 105. 如一个等差数列前3 项的和为

10、34，最终 3 项的和为146，且全部项的和为390，就这个数列有（）a.13 项b.12 项c.11 项d.10 项6. 已知等差数列an的前 n 项和为sn ，如s1221，就a 2a5a8a117. （2021 全国卷理）设等差数列an的前 n 项和为sn ，如s9a55a3 就 s58（2021 全国）已知数列bn是等差数列，b1=1，b1+b2+b10=100.（）求数列bn的通项bn；9. 已知a n数列是等差数列，21a1010 ，其前 10 项的和12s1070 ，就其公差d 等于 abc.d.333310. （ 2021 陕西卷文）设等差数列an的前 n 项和为sn , 如

11、a6s312 , 就 an11（ 2021 全国）设 an为等差数列， sn 为数列 an的前 n 项和，已知 s7 7，s15 75，tn 为数列 sn n的前 n 项和，求 tn；12. 等差数列an的前 n 项和记为sn ，已知a1030， a2050求通项a n ；如sn =242，求 n13. 在等差数列 an 中，（ 1）已知 s848, s12168, 求a1和d；（ 2）已知 a610, s55, 求a8和s8 ； 3已知 a3a1540,求s17题型六 . 对于一个等差数列：（ 1）如项数为偶数，设共有2n 项，就 s 偶s 奇nd ； s奇s偶an；an 1s奇n（ 2）如

12、项数为奇数，设共有2n1项，就 s 奇s 偶ana中 ；s偶n1题型七 . 对与一个等差数列，sn , s2 nsn , s3 ns2 n 仍成等差数列；例： 1. 等差数列 an 的前 m项和为 30，前 2m项和为 100，就它的前3m项和为（）a.130b.170c.210d.2602. 一个等差数列前n 项的和为48，前 2 n 项的和为60，就前 3 n 项的和为；3已知等差数列an的前 10 项和为 100，前 100 项和为 10，就前 110 项和为4. 设 sn 为等差数列an的前 n 项和， s414， s10s730，就 s9 =5（2021 全国 ii ）设 sn 是等

13、差数列 an的前 n 项和，如s3 1 ，就s63s6 s12a 310b 13c 18d 19题型八 判定或证明一个数列是等差数列的方法：定义法：an 1and 常数）（ nn ）a n是等差数列中项法：2an 1a nan 2（ nna n是等差数列通项公式法：anknbk, b为常数 a n是等差数列前 n 项和公式法：san2bn a, b为常数 a是等差数列nn例： 1. 已知数列 a n满意 a nan 12 ，就数列 a n 为 （）a. 等差数列b.等比数列c.既不是等差数列也不是等比数列d.无法判定2. 已知数列 a n的通项为 an2n5 ，就数列 an 为 （）a. 等差

14、数列b.等比数列c.既不是等差数列也不是等比数列d.无法判定3. 已知一个数列 a n 的前 n 项和 sn2n 24 ，就数列 an 为（）a. 等差数列b.等比数列c.既不是等差数列也不是等比数列d.无法判定4. 已知一个数列 a n 的前 n 项和 sn2n 2 ，就数列 a n 为（）a. 等差数列b.等比数列c.既不是等差数列也不是等比数列d.无法判定5. 已知一个数列 a n 满意 a n 22 a n 1a n0 ，就数列 an 为（）a. 等差数列b.等比数列c.既不是等差数列也不是等比数列d.无法判定6. 数列 a n满意 a1 =8， a42，且 an 22a n 1a n

15、0（ nn）求数列a n的通项公式；7（14 天津理， 2）设 sn 是数列 an 的前 n 项和，且2a. 等比数列，但不是等差数列b.等差数列，但不是等比数列c.等差数列，而且也是等比数列d.既非等比数列又非等差数列sn=n ，就 an 是（）题型九 . 数列最值（ 1） a10 ， d0 时，sn 有最大值；a10 ， d0 时，sn 有最小值；（ 2） sn 最值的求法：如已知sn ，sn 的最值可求二次函数san 2bn 的最值；n可用二次函数最值的求法（nn）；或者求出an中的正、负分界项，即：如已知an ，就sn 最值时 n 的值（ nn）可如下确定an0或an 10an0；an

16、 10例： 1等差数列an中，a10， s9s12 ，就前项的和最大；2设等差数列a n的前 n项和为sn ，已知 a312， s120， s130求出公差 d 的范畴，指出s1， s2， s12 中哪一个值最大，并说明理由；a*3（ 12 上海）设是（）n（ n n ）是等差数列，sn 是其前 n 项的和，且s5 s6， s6 s7 s8 ，就以下结论错误的a. d 0b. a7 0c.s9 s5d. s6 与 s7 均为 sn 的最大值4已知数列na n的通项n98 （ n99n），就数列an的前 30 项中最大项和最小项分别是5. 已知 a n 是等差数列，其中a131 ，公差 d8；（

17、 1）数列 a n从哪一项开头小于0？（ 2）求数列 an 前 n 项和的最大值，并求出对应n 的值6. 已知 an 是各项不为零的等差数列，其中a10 ，公差 d0 ，如s100 , 求数列 a n 前 n 项和的最大值7. 在等差数列 a n 中，a125 ，s17s9 ，求sn 的最大值题型十 . 利用 ans1nsnsn 1n1求通项21. 数列 a 的前 n 项和 sn21 （ 1）试写出数列的前5 项；（ 2）数列 a 是等差数列吗？（3）你能写出数nnn列 a n的通项公式吗？n=2n2已知数列a n的前 n 项和 snn 24 n1，就3. 设数列 a n 的前 n 项和为 s

18、2，求数列 an 的通项公式；4. 已知数列a n中， a13，前 n 和 sn1 n21 an11求证：数列an是等差数列求数列a n的通项公式5. （ 2021 安徽文）设数列 an 的前 n 项和sn 2 ，就a8 的值为（）n（ a） 15b 16c49（ d） 64等比数列等比数列定义一般地， 假如一个数列从其次项起 ，每一项与它的前一项的比等于同一个常数 ，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示 q0 ，即：an 1 ： anqq0 ；一、递推关系与通项公式递推关系：an 1a n q通项公式： anaq n 11推广： a naq n mm

19、1 在等比数列an中, a14, q2 ，就 an2 在等比数列an中, a712, q2 , 就 a19 .33. （ 2021 重庆文）在等比数列 an 中， a2 8，a1 64，就公比q 为（）（ a）2（ b）3（ c）4（ d）84.在等比数列a n中， a22 ， a554 ，就a8 =5. 在各项都为正数的等比数列 an 中，首项a13 ，前三项和为21，就 a3a4a5（）a 33b 72c 84d 189二、等比中项：如三个数a, b, c 成等比数列，就称b 为 a与c 的等比中项，且为bac，注： b 2ac 是成等比数列的必要而不充分条件.例： 1. 23 和 23

20、的等比中项为 a1b1c 1d 22. （ 2021 重庆卷文） 设an是公差不为0 的等差数列，a12 且 a1, a3, a6 成等比数列， 就an的前 n 项和 sn =（）n27 na44n 25nb33n 23nc24d n2n三、等比数列的基本性质，1. （ 1） 如mnpq，就 a mana pa q其中 m, n,p, qn（ 2） q n ma n ， a 2na ma n ma n mnn（ 3） an为等比数列，就下标成等差数列的对应项成等比数列.（ 4） an既是等差数列又是等比数列a n是各项不为零的常数列.例： 1在等比数列a中,2a 和 a是方程 2 x5 x10

21、 的两个根 , 就 aan110475 a2b 2 21c 21d 22. 在等比数列an，已知 a15 ， a9 a10100 ，就a18 =3. 在等比数列a n中， a1a 633， a3 a432， ana n 1求 a n如 tnlg a1lg a2lg a n ,求tn4. 等比数列 an 的各项为正数，且a5a6a4 a718, 就log 3 a1log 3 a2llog 3 a10（）2na 12b10c 8d 2+ log3 55.（ 2021 广东卷理） 已知等比数列 an 满意 an0, n1,2,l，且 a5a2n52n3 ，就当 n1时，log 2 a1log 2 a

22、3llog 2 a2n 1（）2a.2. 前 n 项和公式n2 n1b.n1c.n2d.2n1na1q1sa 11q n qa1a qqq1n11n例： 1. 已知等比数列 a n 的首相 a15 ，公比 q2 ，就其前n 项和 sn2. 已知等比数列和 sn a n 的首相 a15 ，公比 q1，当项数n 趋近与无穷大时，其前n 项23. 设等比数列 a n 的前 n 项和为sn ，已 a26, 6a1a330 ，求an 和 sn4（ 2021 年北京卷）设f n22427210l23n10 nn ，就f n 等于（）2n2n 12n 32n 4a817b817c817d8175（ 2021

23、 全国文， 21）设等比数列an 的前 n 项和为 sn，如 s3 s6 2s9，求数列的公比q；6设等比数列 an 的公比为q，前 n 项和为 sn，如 sn+1,s n， sn+2 成等差数列，就q的值为.3. 如数列an 是等比数列，sn 是其前 n 项的和， kn * ，那么sk ，s2 ksk ， s3ks2 k成等比数列 .例： 1. （ 2021 辽宁卷理）设等比数列an 的前 n 项和为sn ，如s6s9ss3 =3 ，就6=a. 2b.73c.83d.32. 一个等比数列前n 项的和为48，前 2 n 项的和为60，就前 3 n 项的和为（）a 83b 108c 75d 63

24、3. 已知数列a n是等比数列，且sm10， s2 m30，就 s3 m4. 等比数列的判定法（ 1）定义法：an 1anq（常数）a n为等比数列；（ 2）中项法：2an 1anan 2an0an为等比数列；（ 3）通项公式法：a nkq nk, q为常数）an为等比数列；（ 4）前 n 项和法： snk1q n （ k, q为常数）an为等比数列；snkkq n（ k , q为常数）a n为等比数列；例： 1. 已知数列 a n的通项为 an2 n ，就数列 a n 为 （）a. 等差数列b.等比数列c.既不是等差数列也不是等比数列d.无法判定2. 已知数列 a n2满意 an 1anan

25、 2 an0 ，就数列 a n为 （）a. 等差数列b.等比数列c.既不是等差数列也不是等比数列d.无法判定3. 已知一个数列 a n 的前 n 项和 sn22 n1，就数列 a n 为（）a. 等差数列b.等比数列c.既不是等差数列也不是等比数列d.无法判定5. 利用 ans1nsnsn 1n1求通项2例： 1. （ 2021 北京卷）数列 an 的前 n 项和为sn， 且 a1=1， an 1的值及数列 an 的通项公式1sn ， n=1， 2， 3，求a2， a3， a432. （ 2021 山东卷）已知数列a的首项 a5, 前 n 项和为 s ，且 ssn5nn * ，证明数n1nn

26、1n列an1 是等比数列四、求数列通项公式方法（ 1） 公式法（定义法）依据等差数列、等比数列的定义求通项例： 1 已知等差数列 a n 满意： a 37, a5a726 ， 求a n ；2. 已知数列 a n满意 a12, a nan 11 n1) ，求数列 a n 的通项公式；3. 数列a n满意 a1 =8， a 42，且 a n 22a n 1an0（ nn），求数列an的通项公式；4. 已知数列 a n 满意 a12,11a n 1an2 ，求数列an的通项公式；5. 设数列 a n 满意 a110 且1an 111 a n1 ，求 an 的通项公式6. 已知数列 a 满意 a2an

27、, a1 ，求数列 a 的通项公式；nn 11nan27. 等比数列 a n 的各项均为正数，且2a13a 221 ， a39a2 a6 ，求数列 a n 的通项公式8. 已知数列 a n 满意 a12,a n3a n1 n1) ，求数列 a n 的通项公式；9. 已知数列 a n 满意 a12，a 24且an 2an2an 1（ nn），求数列a n的通项公式；10. 已知数列 an 满意 a12， 且 an 15n 12 an5 n （ nn），求数列a n的通项公式；11. 已知数列 an 满意 a12，且 an 152n 123an52 n2) （ nn），求数列a n的通项公式；12

28、. 数列已知数列an满意 a11, an24an 11n1. 就数列an的通项公式 =（ 2） 累加法1、累加法适用于：an 1anf na2a1f 1如 an 1anf n n2 ，就a3a2f 2llan 1anf n两边分别相加得an 1a1nf nk 11例： 1.已知数列 an 满意 a1,2a n 11a n24n，求数列 an 1的通项公式；2. 已知数列 an 满意 an 1an2 n1， a11 ，求数列 an的通项公式；3. 已知数列 an 满意 aa231， a3 ，求数列 a 的通项公式；nn 1n1n4. 设数列 a n 满意 a12 ， a n 1a n3 2 2

29、n1 ，求数列 a n 的通项公式（ 3）累乘法适用于：an 1f nan如 an 1a2f n ，就a3f 1f 2，l lan 1f n，ana1a2an两边分别相乘得，an 1n1n1na1na1f k k 1n例： 1. 已知数列 a 满意 a2n15na ， a3 ，求数列 a 的通项公式；2.已知数列a n满意 a12， an 13n，求ann1an ；3.已知 a13 ， a n 13n1ann3n21) ，求a n ；（ 4）待定系数法适用于an 1qanf n解题基本步骤：1、确定f n2、设等比数列an1 f n，公比为3、列出关系式an 11 f n12 a n2 f n

30、4、比较系数求1 ，25、解得数列an1 f n的通项公式6、解得数列an的通项公式例： 1. 已知数列 an 中， a11,an2an 11n2) ，求数列an的通项公式；2.（2021 ，重庆 ,文,14）在数列an中，如 a11,an 12an3n1) ，就该数列的通项a n 3.（2021.福建 .理 22.本小题满分14 分）已知数列an满意 a11,an 12 an1nn * . 求数列an的通项公式；4.已知数列 an 满意 an 12an35n ， a6 ，求数列an的通项公式；1解：设an 1x5n 12a nx5n 5. 已知数列 an 满意 an 13an52n4， a1

31、1，求数列 an 的通项公式；解：设an 1x2n 1y3anx2ny6.已知数列a n中， a15, a n 161 an31) n 1 ，求 an27. 已知数列 an 满意an 12 an3n 24 n5， a11，求数列 an的通项公式；解：设an 1xn12y n1z2 anxn 2ynz8. 已知数列 an 满意an 12an4 3n1， a1 ，求数列an的通项公式；1递推公式为a n 2pan 1qan （其中 p， q 均为常数）；先把原递推公式转化为an 2san 1t a n 1san 其中s， t 满意stpstq9. 已知数列 an 满意 an 25an 16an ,

32、 a11,a22 ，求数列 an的通项公式；（ 5）递推公式中既有sn分析：把已知关系通过ans1, n1转化为数列an或sn 的递推关系，然后采纳相应的方法求解；snsn 1, n21. （2021 北京卷）数列 an 的前 n 项和为sn， 且 a1=1， an 1及数列 an 的通项公式1sn ， n=1， 2， 3，求a2， a3， a4 的值32.（ 2021 山东卷）已知数列a的首项 a5, 前 n 项和为 s ，且 ssn5nn * ，证明数列a1n1nn 1nn是等比数列3已知数列an中， a13，前 n 和 sn1n1 an211求证：数列an是等差数列求数列an的通项公式4

33、. 已知数列 a 的各项均为正数，且前n 项和s 满意 s1 a1a2) ，且 a, a , a 成等比数列，求数列 an n的通项公式；nnnn6249（ 6）倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项例： 1. 已知数列 a 满意 a2an,a1 ，求数列 a 的通项公式；nn 11nan2（ 7） 对无穷递推数列消项得到第n1与 n 项的关系例： 1. （2021 年全国 i 第 15 题，原题是填空题）已知数列 an 满意a11， ana12a23a3l n1an1 n2 ，求 an 的通项公式；2. 设数列a满意 a3a32 a3n 1 an ， an * 求数列a的通项；n123nn3五、数列求和1直接用等差、等比数列的求和公式求和；s1nnaa nn1na1 q1nna12dsn2a1 11q n qq公比含字母时肯定要争论1a 理 无穷递缩等比数列时，s11q例： 1. 已知等差数列 a n 满意 a11, a 23 ，求前 n 项和 sn 2.等差数列 an 中， a1=1, a3+a5=14，其前 n