高三复数复习专题

1、优秀教案欢迎下载高三复数专题复习：一、复数的概念及运算：1、复数的概念： （ 1）虚数单位i ；（ 2）实部： rez ，虚部：im z ；实数b有理数0无理数（ 3）复数的分类 zabi 虚数b0纯虚数 a0a,br ；（ 4）相等的复数：2、复数的加、减、乘、除法就：（ 1）加减法具有交换律和结合律；（ 2）乘法具有交换律、结合律、安排律；非纯虚数 a0（ 3）除法：abicdiacbdc2d 2bcad i cdi c2d 20 ；3、复数的共轭与模：（ 1） zrzz ； z 是纯虚数zz ，反之不成立；（ 2）复数 zabi 与点 za, b是一一对应关系，另：z 与 z 关于 x

2、轴对称，z 表示 z 对应点与原点的距离；4、复数共轭运算性质：z1z2z1z2 , z1z2z1z1z1z2 ,；nz2z25、复数模的运算性质：z1 z2z1z1 zz ,z2z1z2z20, znz；6、复数的模与共轭的练习：2zz z ；7、 重要结论（1）对复数 z 、z1 、 z2 和自然数m、n，有zmznzm n， zm nzmn ， zz nnnz1z2122i 1i ， i 21 ， i 3i ， i 41 ；i 4 n 11 ， i 4n 21 ， i 4n 3i ， i 4n1 .31i 22i ，1i1ii ， 1ii .1i4设13i2，2，120，23n3n，优秀

3、教案欢迎下载nn 1n 208. 一些几何结论的复数形式1复平面上 z1，z,2，zz2z1,3三点共线的充要条件是z3zzr.2复平面上z1z2z3为正三角形的充要条件是（有三种形式，它们是等价的）1. z1z22. z2z2z2z3z2z zz3z1 ;z zz z ;12z23.131 2z2z302 31 3cos3i sin.33复平面上z1z2z3的面积为s表示为 s1 im z22z1z2z1 .4复平面上zz13z1, z2 , z3, z4四点共圆的充要条件是 ：z4z1z3z2z4z2r,0 .二、复数的三角形式：1、复数的三角形式概念：任何1个复数 zabi ,都可以改写

4、成复数的形式：zr cosi sin, 其中： ra 2b 2 , cosa , sinb ;rr2、复数的三角形式的乘法公式：设复数 z1r1cosi sin, z2r2 cosi sin就， z1z2r1 cosi sinr2 cosi sinr1 r2cosi sin即： 两个复数相乘，积的模等于两个复数的模之积，积的辐角等于两个复数的辐角之和；上述结论，可以推广到有限个复数相乘的情形 ；z1z2 z3znr1 cos 1i sin1r2 cos 2i sin2 r3 cos 3i sin3 rn cos ni sinn r1r2r3rn cos123ni sin123n3、复数的三角形

5、式的乘方公式（棣莫佛定理）r cosni sinr n cos ni sin n即：复数的n（ nn ）次幂的模等于模的n 次幂，辐角等于这个复数的辐角的n 倍，这个定理称为棣莫佛定理；4、复数的三角形式的除法公式设z1r1 cosi sin, z2r2 cosi sin;11zr就：z2r2cos cosi sin i sinr1cos r2i sin.即：两个复数像除，商的模等于被除数的模除以除数的模，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角；优秀教案欢迎下载三、复数中的方程问题：1、实系数一元二次方程的根的情形：对方程ax2bxc0 （其中a, b,cr 且 a0 ），令b 24ac ，当

6、0 时，方程有两个不相等的实数根；当=0 时，方程有两个相等的实根；当0 时，方程有两个共轭虚根：x12、复系数一元二次方程根的情形：bibi, x2；22对方程ax2bxc0, xb的平方根；2a3、一元二次方程的根与系数的关系：bx1x2如方程 ax2bxc0 （其中 a, b,cr 且 a0 ）的两个根为x1、x2 ，就a ；cx1x2a22四、例题精选例 1：已知z2 3iz23i40 ，求 z ；例 2：已知 z23 4i231 i2243i10，求 z ；例 3：设 z 为虚数，z1 为实数，且12 ；z（ 1）求 z 的值及 z 的实部的取值范畴；（ 2）证明： u1z 为纯虚数

7、；1z优秀教案欢迎下载例 4：已知关于t 的方程 t 22ta0ar 有两个根t1、t2 ，且满意t1t223 ；（ 1）求方程的两个根以及实数a 的值；（ 2）当 a0 时，如对于任意xr ，不等式log a x2ak 22mk2k 对于任意的k2, 12恒成立，求实数m 的取值范畴；例 5：已知复数z1 满 足 1i z115i , z2a2i，其中 i 为虚数单位，ar ，如z1z2z1 ，求 a 的取值范畴；例 6：设虚数z 满意 2z5z10 ；（ 1）求 z 的值；z（ 2）如mm为实数，求实数m 的值；z（ 3）如 12i z 在复平面上对应的点在第一、第三象限角平方线上，求复数

8、z ；优秀教案欢迎下载例 7：已知方程x2xp0 有两个根x1 和x2 ， pr ；（ 1）如x1x23，求实数p ；（ 2）如x1x23 ，求实数p ；例 8：已知复数zabi a , br 是方程 x24 x50 的根， 复数u3i ur 满足z25 ，求 u 的取值范畴；例 9：关于 x 的方程 x22abi xabi0 有实根，求一个根的模是2，求实数a, b 的值；例 10：设两复数z2z1 , z2 满意1a x z z40za2240 （其中 a0 且 a1 ， xr ），求 z1z212是虚数；（ 1）求证：z1是定值，求出此定值；z2（ 2）当 xn时，求满意条件的虚数z1

9、的实部的全部项的和；z2优秀教案欢迎下载例 11：设两个复数z 、z满意 100 z2z2kz zkr ，并且z2 是虚数，当kn时，1求所以满意条件的虚数2121 21z2 的实部之和；z1例 12：运算：（ 1）2 cos 12i sin123 cos6i sin6（ 2）3 cos55i sin5（ 3）12 cos3i sin36 cos6i sin6例 13：给定复数z ，在 z ，z, zz, z , z ,222z, z, z这八个值中，不同值的个数至多是 ；例 14：已知以下命题（ 1） zzzr ；（ 2） zzz 为纯虚数；（ 3） z1z20z1z2 ；2（ 4）zz0z

10、0z0z2z20zz0z 2z2zz121或 2；（ 5） 1212；（ 6）.z2其中正确的命题是 ；例 15：是否存在复数z 同时满意条件：1在，求出复数z ，如不存在，说明理由；z10 z6 ； z 的实部、虚部为整数；如存优秀教案欢迎下载例 16：设z1 是已知复数，z 为任意复数且z1, zzz1 ，就复数对应的点的轨迹是a、以z1 的对应点为圆心、1 为半径的圆；b、以z1 的对应点为圆心，1 为半径的圆；c、以d、以1z1 的对应点为圆心、211 z 的对应点为圆心，21 为半径的圆；21 为半径的圆；2例 17：满意方程zre z1的复数 z 对应的点的轨迹是；a、圆b、椭圆c

11、、双曲线d 、抛物线例 18：复平面内，满意z1iz1i 2 的复数 z 所对应的点的轨迹是a、椭圆b、双曲线c、一条线段d 、不存在2例 19：满意方程z15 z160 的复数 z 对应的点的轨迹是a、四个点b、四条直线c 、一个圆d、两个圆例 20：设复数z2 xa 2 xai , x、ar ，当 x 在,内变化时，求z 的最小 值 g a ；例 21：如复数z1 和z2 满意： z2az1i a0 ，且 z2z1z1z2842 ； z1 和z2 在复平面中对应的点为并指出此时a 的值；z1 和z2 ，坐标原点为o ，且 oz1oz2 ，求oz1z 2 面积的最大值，优秀教案欢迎下载例 2

12、2：已知复数z01mim0 , zxyi ,abix , y ,a ,br，i 为虚数单位，且对于任意复数 z ，有z0z,2 z ；（ 1）试求 m 的值，并分别写出a 和 b 用 x、y 表示的关系式；（ 2）将x, y作为点 p 的坐标，a ,b 作为点 q 的坐标， 上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换： 它将平面上的点p 变到这一平面上的点q，当点 p 在直线 yx时，试求点p 经该变换后得到的点q 的轨迹方程；1上移动（ 3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？如存在，试求出全部这些直线；如不存在，就说明理由；例23 ： 已 知 复 数 z1mn

13、i , z222i 和 zxyi， 其 中m,n, x, y均 为 实 数 ， 且zz1iz2 ；12（ 1）如复数z1 所对应的点m m, n 在曲线 y x321 上运动，求复数z 所对应的点p x, y 的轨迹方程；（ 2）将（ 1）中点 p 的轨迹上每一点沿向量方程；a 3 ,1 方向平移，得到新的轨迹c ，求 c 的2（ 3）轨迹c 上任意一点a（异于顶点）作其切线l , l交 y 轴于点b；问：以ab 为直径的圆是否恒过x 轴上肯定点？如存在，求出此定点坐标；如不存在，就说明理由；优秀教案欢迎下载例题答案：1、7 ；2、1； 3、（ 1）12re z1；（ 2）略；5、a1,7；6

14、、（ 1） z5 ；（ 2）m5 ；（ 3）z103210 i或z2103210 i2；7、（ 1） p5 或p22 ；（ 2）当 0p14时，方程无解； 当 p0 时， p2 ；当 p1 时， p49 ；8、u42,6；9、当 b0时， a4 或a4 ；当 ba1a10 时，,；53b3b3axa40a2 xa 20a 1a19a 2110、（ 1）i，定值；（ 2） a1 时，； 0a1时，；2221a1a11、 95； 12、略； 13、4； 14、（ 1）（ 4）； 15、存在、 z16、 d； 17、d； 18、c； 19、c ；13i 或 z3i ；20、a22,2a24aa22, a2；21、 8，此时a1 ，提 示：由条件得z84211a1a2, sa1a2zz1z21222284221a2a1a 28422 2a11a1a a842，2 212822当且仅当 a1