利用导数研究函数的极值94394

1、复习复习:aby=f(x)xoyy=f(x)xoyab如果在某个区间内恒有如果在某个区间内恒有 ,则则 为常数为常数.0)( xf)(xf单调性的判断方法有哪些？单调性的判断方法有哪些？单调性与导数有何关系单调性与导数有何关系? ?f (x)0f (x)0，则，则f(x)在此区间为增函数；在此区间为增函数；如果如果f (x)0，则，则f(x)在此区间为减函数；在此区间为减函数；如果如果f (x)=0，则，则f(x)在此区间为常数函数；在此区间为常数函数； 练习:判断函数f(x)=2x3-6x2+7的单的单调性调性。 函数函数 y=f (x)在点在点x1 、x2 、x3 、x4处的处的函数值函数

2、值f (x1)、 f (x2)、 f (x3)、 f (x4)，与它们左右，与它们左右近旁各点处的函数值，相比有什么特点近旁各点处的函数值，相比有什么特点?观察图像：观察图像： yxoaby f(x)x1 f (x1)x2 f(x2)x3 f(x3)x4 f(x4)一、函数的极值定义一、函数的极值定义如果对如果对x0附近附近的所有点的所有点x，都有，都有f(x)f(x0), 则称函数则称函数f(x)在点在点x0处取极小值，记作处取极小值，记作y极小值极小值= f(x0)；并把并把x0称称为函数为函数f(x)的一个极小植点。的一个极小植点。 函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极

3、值极值.极大值点与极小极大值点与极小值点统称为值点统称为极值点极值点已知已知 函数函数y=f(x)，设，设x0是定义域（是定义域（a,b)内任一点内任一点，yox0 xaboxy0 xbacd efoghijxy xfy aboxy xfy 103.1图图113.1图图探究探究 1、图中有哪些极值点和最值点？图中有哪些极值点和最值点？ 2、函数极值点可以有多个吗？极大值一定、函数极值点可以有多个吗？极大值一定比极小值大么？比极小值大么？ 3、最值和极值有什么联系和区别、最值和极值有什么联系和区别? 4、端点可能是极值点吗？、端点可能是极值点吗？练习：课本练习：课本30页页a、1(1）函数的极值

4、是就函数在某一点附近的小区间而）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在函数的整个定义区间内可能有多个极大言的，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值，而最值是对整体而言。值或极小值，而最值是对整体而言。（2）极大值不一定比极小值大。）极大值不一定比极小值大。 (3)极值点不一定是最值点。极值点不一定是最值点。观察与思考：观察与思考：极值与导数有何关系？极值与导数有何关系？在极值点处，曲线如果有切线，则切线是水平的。在极值点处，曲线如果有切线，则切线是水平的。 f (x1) 0 f (x2) 0 f (x3) 0 f (b)=0y f(x) yxoabx1x2x3c结论：设结论

5、：设x=x0是是y=f(x)的极值点，且的极值点，且f(x)在在x=x0是可导的，则必有是可导的，则必有f (x0)=0 f (x)0 yxox1aby f(x) f (x)0 f (x)0 1、如果在、如果在x0附近的左侧附近的左侧f (x)0，右侧，右侧f (x)0，则则f (x0)是极大值；是极大值； 2、如果在、如果在x0附近的左侧附近的左侧f (x)0， 则则f (x0)是极小值；是极小值；已知函数已知函数f(x)在点在点x0处是处是连续连续的，且的，且 f (x0)=0则则二、判断函数极值的方法二、判断函数极值的方法x2导数为导数为0的点不一定是极值点；的点不一定是极值点；若极值点

6、处的导数存在，则一定为若极值点处的导数存在，则一定为0点评：可导函数点评：可导函数)(xfy , 0)(oxf且在点且在点x0左侧和右侧，左侧和右侧， f (x)异号异号.在点在点x0取得极值的充分必要条取得极值的充分必要条件是件是注意注意：函数极值是在某一点附近的小区间内定义：函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，是的，是局部性质局部性质。因此一个函数在其整个定义区间。因此一个函数在其整个定义区间上可能有上可能有多个极大值或极小值多个极大值或极小值，并对同一个函数来，并对同一个函数来说，在某说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值一点的极大值也可能小于另一点的极小值。例例.判断下面判断

7、下面4个命题，其中是真命题序号为个命题，其中是真命题序号为 。可导函数必有极值；可导函数必有极值；函数的极值点必在定义域内；函数的极值点必在定义域内；函数的极小值一定小于极大值。函数的极小值一定小于极大值。（设极小值、极大值都存在）；（设极小值、极大值都存在）；函数的极小值（或极大值）不会多于一个。函数的极小值（或极大值）不会多于一个。xy2 如如例例1 求函数求函数 的极值。的极值。44xx31y3 x-22 y00y解解：定义域为：定义域为r，y=x2-4由由y=0可得可得x=-2或或 x=2当当x变化时，变化时，y, y的变化情况如下表：的变化情况如下表：因此，当因此，当x=-2时，时，

8、 y极大值极大值=28/3 当当x=2时，时， y极小值极小值=4/3(-，-2）(-2，2）(2，+）+极大值极大值28/3极小值极小值 -4/31、求可导函数、求可导函数f(x)极值的极值的 步骤：步骤：(2)求导数求导数f (x)；(3)求方程求方程f (x）=0的根；的根； (4)把定义域划分为把定义域划分为部分区间，并列成表格部分区间，并列成表格检查检查f (x)在方程根左右的符号在方程根左右的符号如果如果左正右负左正右负（+ -），）， 那么那么f(x)在这个根处取得极在这个根处取得极大大值值如果如果左负右正左负右正（- +），）， 那么那么f(x)在这个根处取得极在这个根处取得极

9、小小值；值；(1) 确定函数的确定函数的定义域定义域；2、思考与讨论：在区间、思考与讨论：在区间-3，5上，上，44xx31y3 22oxy 4x4x31xf3123.1图图最小值分别是多少？最小值分别是多少？-3，3上呢？上呢？ ?,. 3大值、最小值吗上的最在区间你能找出函数探究baxfy a1x2x3xo4x5x6xbxy xfy 4、求可导函数、求可导函数y=f(x)在在a,b上的最值步骤如何？上的最值步骤如何？的最大值，的最大值，1、求、求y=f(x)在开区间（在开区间（a,b)内所有使内所有使f (x）=0的点；的点；2、计算函数、计算函数y=f(x)在区间内使在区间内使f (x）

10、=0的所有点和端点的函数值的所有点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。练习练习1求下列函数的极值求下列函数的极值:;27)( )2( ; 26)( ) 1 (32xxxfxxxf解解: , 112)( ) 1 (xxf令令 解得解得 列表列表:, 0)( xf.121xxf (x)0f (x)+单调递增单调递增单调递减单调递减 )121,(),121(1212449所以所以, 当当 时时, f (x)有极小值有极小值121x.2449)121(f求下列函数的极值求下列函数的极值:;27)( )2( ; 26)( ) 1 (3

11、2xxxfxxxf解解: , 0273)( )2(2xxf令解得解得 列表列表:. 3, 321xxx(, 3)3(3, 3)3( 3, +)f (x)00f (x) +单调递增单调递增单调递减单调递减单调递增单调递增5454所以所以, 当当 x = 3 时时, f (x)有极大值有极大值 54 ;当当 x = 3 时时, f (x)有极小值有极小值 54 .练习练习1练习练习2：下图是导函数：下图是导函数 的图象的图象, 在标记的点中在标记的点中, 在在哪一点处哪一点处(1)导函数导函数 有极大值有极大值?(2)导函数导函数 有极小值有极小值?(3)函数函数 有极大值有极大值?(4)函数函数

12、 有极小值有极小值?)(xfy)(xfy)(xfy)(xfy )(xfy 2xx 1xx 4 xx 或或3xx 5xx 例例2 求函数求函数 y=(x2-1)3+1 的极值。的极值。x(-,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,+)y00+0+y无极值无极值极小值极小值0无极无极值值解解：定义域为：定义域为r， y=6x(x2-1)2。由由y=0可得可得x1=-1, x2=0 ，x3=1当当x变化时，变化时，y , y的变化情况如下表：的变化情况如下表：因此，当因此，当x=0时，时， y极小值极小值=0点评：可导函数点评：可导函数)(xfy 在点在点x0取得极值的充分必要条取得极值的充分必

13、要条件是件是, 0)(oxf且在点且在点x0左侧和右侧，左侧和右侧， f (x)异号。异号。练习：课本练习：课本30页页a 2（2）例例3 已知函数已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，当，当x=-1时时取极大值取极大值7；当；当x=3时取得极小值，时取得极小值，求这个极小值及求这个极小值及a、b、c的值。的值。练习：练习：1、求函数、求函数f(x)=x+2sinx在区间在区间0,2内的极值内的极值练习练习2:已知函数已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在在x=1处有极值为处有极值为 10,求求a、b的值的值.解解: =3x2+2ax+b=0有一个根有一个根x=1,故故3+2a+b=0.)(xf 又又f(1)=10,故故1+a+b+a2=10.由由、解得解得 或或.33114 baba当当a=-3,b=3时时, ,此时此时f(x)在在x=1处无处无极值极值,不合题意不合题意.0) 1( 3)(2 xxf当当a=4,b=-11时时,).1)(113(1183)(2 xxxxxf-3/11x1时时, ,此时此时x=1是极是极值点值点.0)(0)( xfxf从而所求的解为从而所求的解为a=4,b=-11.1、可导函数的极值点概念及与导数的关系。、可导函数的极值点概念及与导数的