高一数学正、余弦定理知识点梳理和分层训练

1、学习必备精品学问点高一数学正、余弦定理学问点梳理和分层训练班级姓名座号1正弦定理 :a bc2r或变形：a : b : csin a :sinb :sin c .sin asin bsin ccos ab2c2a 2a 2b 2c22bc cos a2bc2余弦定理：222b acc2b 2a22ac cos b或2ba cos ccos bcosca2c2b 2.2acb2a 2c22ab3（ 1）两类正弦定懂得三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（ 2）两类余弦定懂得三角形的问题：1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角，

2、求第三边和其他两角. 4判定三角形外形时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式. 5解题中利用abc 中 abc，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：sin absin c ,cos abcos c ,tan ab tan c ,表一：sinabcosc ,cos absin c .2222已知条件定理应用一般解法一边和两角（如 a、 b、 c）正弦由 a+b+c=180定理有解时有一解；，求角 a ，由正弦定理求出b 与 c，在两边和一边的对角如正弦a、b、a定理详细情形见表二两边和夹角 如 a、b、 c余弦由余弦定理求第三边c，由正弦定理求出小边所对的定理

3、角，再由 a+b+c=18 0求出另一角，在有解时有一解；学习必备精品学问点三边如 a、b、c余弦由余弦定理求出角a 、b ，再利用a+b+c=180定理角 c 在有解时只有一解；，求出表二： 已知三角形两边及其中一边的对角求解三角形的有可能有两种情形，详细方法可以借助于下了表格：a 为钝角a 为直角a 为锐角a>b一解一解一解a=b无解无解一解a<b无解无解a>bsinaa=bsina两解一解a<bsina无解基础达标：1. 在 abc中， a=18， b=24， a=45°，此三角形解的情形为a. 一个解b.二个解c.无解d.无法确定2在 abc中，如 a

4、2, b22, c62 ，就 a 的度数是22a. 30 °b. 45°c. 60°d. 75°23 abc中，如 a=b +c+bc，就 a=a. 60b. 45c. 120d. 304边长为5、7、8 的三角形的最大角与最小角之和为a. 90 °b. 120°c. 135°d. 150°5. 在 abc中，已知 a3 ， b2 ，b=45 . 求 a、c 及 c.学习必备精品学问点6在abc 中，如 b450 ， c22 ， b43 ，求 a .37在abc 中，如 a2b2c2bc ，求 a .才能提升：8锐

5、角 abc中，如 c=2b，就ab 的取值范畴是aca.0 ， 2b.2 ,2c.2 ,3 d.3,29. 已知在 abc中， sina:sinb:sinc=3:2:4，那么 cosc 的值为a. 14b. 14c. 2 3d. 2310. 等腰三角形底边长为6，一条腰长12，就它的外接圆半径为a.16155b.43c.8155d.6311在abc 中，已知三边a 、 b 、 c 满意abcabc3ab ，就 c a 15b 30c 45d 6012钝角abc 的三边长为连续自然数，就这三边长为（）；a、1、2、3b、2、3、4c、3、 4、5d、4、 5、613在 abc中， bc=3， a

6、b=2， sin csin b2 651 ，就 a= .学习必备精品学问点14.在 abc中， a=60°， b=1， c=4，就sin aabc sin b .sin c15.在 abc中， b=120°， sina:sinc=3:5， b=14，就 a， c 长为 .综合探究：16已知钝角abc 的三边为：ak , bk2 , ck4 , 求实数 k 的取值范畴 .17. 在abc 中，角 a、 b、c的对边分别为a、b、c，证明 :a2b 2c2sin ab.sin c、13 周周练参考答案：基础达标：1.b2.a3.c4.b学习必备精品学问点5. 解析：解法1：由正

7、弦定理得： a=60 或 120sin aasin b b3 sin 45322b sin c sin b2 sin 75sin 45622b sin c sin b2 sin 15sin 45622当 a=60 时， c=75， c；当 a=120 时， c=15 ， c.6. bc，sin bsin c sin ccsin b22sin 453，b4323 0c180 ， c60 或 c120当 c60 时 ， a75 ；当 c120时， a15 ，；所以 a75 或 a15 7. bcb2c2a2 ，b2c2a21由余弦定理的推论得：cosa2bc2 0a180 ， a60 .才能提升：

8、8.c9.a10.c11.d 由abcabc3ab ，得 a2b22abc23ab由余弦定理的推论得：cos ca 2b22 abc21，2 0c180， c60 .12.b ；只需要判定最大角的余弦值的符号即可；选项 a 不能构成三角形；学习必备精品学问点选项 b 中最大角的余弦值为22324210 ，故该三角形为钝角三角形；2234选项 c 中最大角的余弦值为：3242520 ，故该三角形为直角三角形；243选项 d 中最大角的余弦值为42526 210 ，故该三角形为锐角三角形.13.12014.2393245815.6,10综合探究：16. abc 中边 ak , bk2 , ck4

9、， ak0 ，且边 c 最长，abc 为钝角三角形当 c 为钝角时 cos ca 2b 2c20 ，2ab2 a 2b2c20 ,即 a2b2c222 k k2k4 ,解得2k6,又由三角形两边之和大于第三边：kk2k4 , 得到 k2 ，故实数 k 的取值范畴：2k6 .17. 证法一 : 由正弦定理得：a 2b 2sin 2 asin 2 bcos2 bcos2 ac2sin 2 c2sin 2 c2sin basin ba=2sin 2 csinc sinab=sin 2 csin ab.sin c222证法二 : 由余弦定理得a =b +c -2bccosa ，a 2b2就c2c22bc cos a c212b ccos a ，又由正弦定理得bcsin