第9章 正弦稳态电路的分析

1、第9章 正弦稳态电路的分析本章主要内容：1.阻抗与导纳；3.正弦电路的稳态分析；4.正弦电路的功率及计算；5.最大功率传；6.正弦电路中的串联谐振与并联谐振问题。本章学习要求：本章内容以直流电路的分析和第八章阐述的相量法为基础，正弦稳态电路的分析方法在第10、11、12章节中都要用到。1. 理解正弦电路中复阻抗的概念，掌握复阻抗的计算方法；2. 了解正弦电路相量模型的建立方法，熟练掌握正弦电路的各种稳态分析方法；3. 理解正弦电路中各种功率的含义并能正确计算，理解并掌握提高正弦电路功率因数的方法与措施；4. 理解正弦电路谐振概念，掌握谐振的产生条件、谐振的特点，能正确进行有关谐振的分析计算。本

2、章重点：1. 复阻抗、复导纳的概念以及它们之间的等效变换；2. 正弦稳态电路的分析；3. 正弦稳态电路中的平均功率、无功功率、视在功率、复功率、功率因数的概念及计算；4. 最大功率传输；5. 串、并联谐振的概念。本章难点：1. 复阻抗和复导纳的概念以及它们之间的等效变换；2. 直流电路的分析方法及定理在正弦稳态电路分析中的应用；3. 正弦稳态电路中的功率与能量关系，如平均功率、无功功率、视在功率、复功率、功率因数的概念及计算；4. 应用相量图分析电路的方法；5. 谐振的概念；计划课时：9.1 阻抗与导纳一、阻抗1. 定义：对于一个单口无源网络，其阻抗定义为稳定状态下端口电压相量与端子电流相量之

3、比，即，单位：其中，称为阻抗模，称为阻抗角，称为阻抗的电阻，称为阻抗的电抗。2. 单个电阻、电容、电感的阻抗：1) 电阻：；2) 电容：；3) 电感：。结论：阻抗可以是实数，也可以是虚数。R+-+-+-+-jw LLCRuuLuCi+-+-+-+-uR3. RLC串联电路的阻抗：|Z|RXjz阻抗三角形：jzUX结论：分析 R、L、C 串联电路得出：1) 为复数，称复阻抗；2) ，电路为感性，电压超前电流；3) ，电路为容性，电流超前电压；4) ，电路为阻性，电流与电压同相。R+-+-+-+-jw LLCRuuLuCi+-+-+-+-uR例：已知：R=15W, L=0.3mH, C=0.2mF

4、,j-3.4°。求i, uR, uL, uC.解：画出相量模型如右图。，。所以，。相量图如上。二、导纳Y+-1.定义：|Y|GBj y导纳三角形无源线性网络 +-对于一个单口无源网络，其导纳定义为稳定状态下端子电流相量与端口电压相量之比，即，单位：西门子(S)其中，称为导纳模，称为导纳角，称为导纳的电导，称为导纳的电纳。转换关系：，或者，。注意：对同一二端网络，。2.单个电阻、电容、电感的导纳：1) 电阻：；2) 电容：；3) 电感：iLCRuiLiC+-iR3.RLC并联电路的导纳：R+- jwL由KCL：。结论：分析 R、L、C 并联电路得出：1) 为复数，称复导纳；2) ，时，

5、电流超前电压，电路为容性；注意：画相量图时，一般选电压为参考向量，即令。并且RLC并联电路中可能会出现分电流大于总电流的现象。3) ，时，电流滞后电压，电路为感性；4) ，时，电流与电压同相，电路为阻性。三、复阻抗与复导纳的等效互换及其串联与并联1. 复阻抗与复导纳的等效互换：1) 复阻抗变换为复导纳：GjBYZRjX ，所以，注意：一般情况G¹1/R，B¹1/X。若Z为感性，X>0，则 B<0，即仍为感性。2)复导纳变换为复阻抗：，0.06mH50W所以，例：RL串联电路如图，求在w106rad/s时的等效并联电路。注意： 一端口N0的阻抗或导纳是由其内部的参

6、数、结构和正弦电源的频率决定的，在一般情况下，其每一部分都是频率的函数，随频率而变； 一端口N0中如不含受控源，则有或者；但有受控源时，可能会出现或者，其实部将为负值，其等效电路要设定受控源来表示实部；一端口N0的两种参数Z和Y具有同等效用，彼此可以等效互换，其极坐标形式表示的互换条件为，。2. 复阻抗与复导纳的串联与并联阻抗及导纳的串联、并联形式上完全与电阻电路一样，可以用一个等效阻抗或等效导纳来代替，其中，阻抗与电阻对应，导纳与电导对应。由个阻抗串联而成的电路，其等效阻抗为：(分压公式为)由个电导并联而成的电路，其等效电导为：(分流公式为)1mH30W100W0.1mFR1R2例：求图示电

7、路的等效阻抗， w105rad/s 。解：，3W3Wj6Wj4W5W例：图示电路对外呈现感性还是容性？解1：所以电路对外呈现容性。解2：用相量图求解，取电感电流为参考相量并画出相量图如下。由相量图知，电路呈容性。jXCRRuou1jXC例：图为RC选频网络，求u1和u0同相位的条件及解：设：Z1=R+jXC, Z2=R/jXC ，则，从而。当为实数时，u1和u0同相。故同相条件为：并且此时。9.2 正弦电路的稳态分析一、分析方法1.电阻电路与正弦电流电路的分析比较：电阻电路正弦电路相量分析KCLKVL元件约束关系或或结论：1.引入相量法，电阻电路和正弦电流电路依据的电路定律是相似的。2.引入电

8、路的相量模型，把列写时域微分方程转为直接列写相量形式的代数方程。3.引入阻抗以后，可将电阻电路中讨论的所有网络定理和分析方法都推广应用于正弦稳态的相量分析中。直流(f =0)是一个特例。使用相量法之后，分析计算电阻电路的各种方法和电路定理都可用于正弦电路的稳态分析，其差别仅在于所得电路方程为相量形式的代数方程(复数方程)以及用相量描述的电路定理，而计算为复数运算。2. 电路的相量图在正弦电路分析中，经常需要作出一种相量图来反映和电压、电流的关系，这种图就是电路的相量图。相量图是分析正弦交流电路一种重要手段与方法。相量图除了按比例画出各相量的模外，最重要的是根据元件(支路)的阻抗(导纳)角特性来

9、相对确定好各相量之间的相位关系。相量图的画法：1.选择某一相量作为参考相量：作串联电路相量图时，一般取电流为参考相量；作并联电路相量图时，一般取电压为参考相量。并且一般取参考相量的初相为零(当然也可取其它的值，视具体情况而定)。2.根据所选参考相量，确定各元件(支路)的电压(电流)相量。3.将表达的各电压相量及表达的各电流相量按向量求和的形式作出，从而得到电路的相量图。例：作出串联电路和并联电路的电路相量图。对于串联电路，其关系为：对于并联电路其关系为：二、正弦电路的稳态分析例：图示电路中，。求各支路电流，并画出电路相量图。例：图示电路中，电压表的读数分别为， 。试求阻抗。例：试用网孔电流法求

10、解图示电路中各支路电流和各电压源发出的复功率。已知：，。例：试图示电路中，已知 ，的电流受的电流控制。如果要求和的相位差为，试求。+_LR1R2R3R4C例：列写电路的回路电流方程和结点电压方程。R1R2L2+_+_+_例：已知：U=115V, U1=55.4V , U2=80V, R1=32, f=50Hz。求线圈的电阻R2和电感L2。q2q解1：画相量图分析。 ， ， ，所以，。由于，从而所以，。解2：，解得：，其余同方法1。例：移相桥电路。当R2由0®¥时，如何变化？abbabR2R1R1+_+-+-+-+解：画相量图分析。，当R2=0，=180°；当R2

11、®¥，=0°。由相量图可知，当R2改变时不变，相位角改变。为移相角，移相范围为180°0°。L+_+_R例：求RL串联电路在正弦输入下的零状态响应。已知。解：应用三要素法：，用相量法求解正弦稳态解：，。tio(b)tio(a)注意：过渡过程与接入时刻有关。例如，当时，此时直接进入到稳定状态，如图(a)；当时，此时出现瞬时电流大于稳态电流现象，如图(b)。9.3 正弦稳态电路的功率一、单口网络的瞬时功率若 ， ，则其瞬时功率为1.从看：左图瞬时功率由恒定分量和正弦分量两部分组成，并且有时为正有时为负。关联参考方向下，若则网络吸收功率，若则网络发出

12、功率。2.从看：右图部分为不可逆分量，而为可逆分量，是在电源和一端口之间来回交换的那部分能量。w toUIcosj (1+cos2w t)为不可逆分量UIsinj sin2w t为可逆分量。w t ioupUIcos (2w t j)为正弦分量UIcosj 恒定分量二、平均功率与功率因素平均功率：又称有功功率，用表示，是瞬时功率在一个周期内的平均值，即：，单位为瓦()其中称为功率因素，为功率因素角(对无源网络，为等效阻抗的阻抗角)。的大小取决于电路结构、元件参数和工作频率。对于纯电阻，对于纯电抗，一般有。结论：平均功率实际上是电阻消耗的功率，亦称为有功功率。表示电路实际消耗的功率，它不仅与电压

13、电流有效值有关，而且与 cosj 有关，这是交流和直流的很大区别, 主要由于电压、电流存在相位差。三、无功功率无功功率用表示，其定义为：，单位为乏()。：表示网络吸收无功功率；：表示网络发出无功功率；的大小反映了单口网络内部与外部之间功率交换的速率。四、视在功率视在功率用表示，定义为端口上电压有效值与电流有效值之积，即：，单位为伏安()。电机和变压器等设备的容量由其额定电压与额定电流决定，因而常用视在功率表示。五、间关系有功功率、无功功率和视在功率从不同角度说明了正弦电路的功率：jSPQ，、间关系可用功率三角形描述，并有：， 六、R、L、C元件的有功功率和无功功率uiR+-PR =UIcosj

14、 =UIcos0° =UI=I2R=U2/R，QR =UIsinj =UIsin0° =0iuL+-PL=UIcosj =UIcos90° =0，QL =UIsinj =UIsin90° =UI=I2XLiuC+-PC=UIcosj =UIcos(-90°)=0，QC =UIsinj =UIsin (-90°)= -UI= I2XCuiZ+-七、任意阻抗的功率计算jSPQjZRX相似三角形PZ =UIcosj =I2|Z|cosj =I2R，QZ =UIsinj =I2|Z|sinj =I2X I2(XLXC)=QLQC：吸收无功为正

15、；：吸收无功为负(发出无功)注意：1.电感、电容的无功补偿作用：L发出功率时，C刚好吸收功率，与外电路交换功率为 pL+pC。L、C的无功具有互相补偿的作用。2.电压、电流的有功分量和无功分量：若，则由，知：的有功分量和无功分量分别为和；若，则由，知：的有功分量和无功分量分别为和。3.，4.无功的意义：以感性负载为例，所以无功反映了电源和负载之间交换能量的速率。例：用图示电路测量一个线圈的参数和，测量数据为：电压表读数为50，电流表读数为1，功率表读数即线圈吸收的有功功率为30。若电源频率为50，试求和。解1：，从而解2：；，解3：， ，+_DC例：已知电动机PD=1000W，U=220，f

16、=50Hz，C =30mF， cosjD=0.8，求负载电路的功率因数。解：。设，则，。八、功率因数的提高1.功率因数低的危害：1) 因P=UIcosj=Scosj，所以如果功率因数低将造成设备不能充分利用(电流到了额定值，但功率容量还有)；注意：设备容量S (额定)向负载送多少有功要由负载的阻抗角决定。2) 因I=P/(Ucosj)，所以当要求输出相同的有功功率时，线路电流必然大，造成线路压降损耗大。LRC+_j1j2注意：解决办法有(1) 高压传输；(2) 改进自身设备；(3) 并联电容，提高功率因数。2.并联电容提高功率因数的原理：1) 分析：由图可见，并联电容后，原负载的电压和电流不变

17、，吸收的有功功率和无功功率不变，即：负载的工作状态不变。但从功率角度看，并联电容后，电源向负载输送的有功UIL cosj1=UIcosj2不变，但是电源向负载输送的无功UIsinj2<UILsinj1减少了，减少的这部分无功由电容“产生”来补偿，使感性负载吸收的无功不变，而功率因数得到改善。这就是电路的功率因数得以提高的原因。j1j22) 并联电容的确定：将，代入得：，从而。j1j2PQCQLQ或者：，从而注意：功率因数的补偿存在欠补偿、全补偿、过补偿问题。过补偿时，功率因数将再次经历由高变低的过程，但性质与原先不同；而一般而言，不要求全补偿，因为这样会造成较大电容设备投入情况下的不明显

18、经济效益。例：在50、380的电路中，一感性负载吸收的功率，功率因数为0.6。现欲将其功率因提高至0.9，试求需要在该负载两端并联一个电容量为多大的电容器。解：按题意：，故，。所以并联补偿电容为：9.4 复功率为便于使用相量和计算功率和方便记忆，引入复功率。复功率用表示，定义为：，单位：据此定义，可得到复功率的其它计算方法：1) 2) 3) 其中是电流相量的共轭相量。结论：1) 是复数，而不是相量，它不对应任意正弦量；2) 把P、Q、S联系在一起，它的实部是平均功率，虚部是无功功率，模是视在功率；3) 复功率满足守恒定理：在正弦稳态下，任一电路的所有支路吸收的复功率之和为零。即：和 +_100

19、o A10Wj25W5W-j15W注意：复功率守恒，但视在功率并不守恒。例：求电路各支路的复功率。解1：，可见，。解2：，9.5 最大功率传输Zi+-ZL负载有源网络等效电路Zi= Ri + jXi， ZL= RL + jXL，有功功率下面讨论不同情况下正弦电路的负载最大功率条件：1) ZL= RL + jXL可任意改变时：先设RL不变，XL改变：显然，当Xi + XL=0，即XL = -Xi时，P 获得最大值。再讨论 RL的改变：当RL= Ri时，P获得最大值。因此如果ZL= RL + jXL可任意改变，则正弦电路中负载获得最大功率Pmax的条件为：RL= Ri且XL = -Xi，即ZL=

20、Zi* (最大功率匹配条件)，并且负载最大功率。2) 只允许改变ZL= RL + jXL 中的XL：获得最大功率的条件是：Xi + XL=0，即XL = -Xi ，并且3) ZL= RL为纯电阻时：电路中电流为：负载获得的功率为：令，得到负载获得最大功率的条件为：(模匹配)。思考：若ZL= RL + jXL=|ZL|Ðj，RL、XL均可改变，但XL/ RL不变，即|ZL|可变而j不变，该情况下负载获取最大功率的条件是什么？ 答案：此时获得最大功率的条件|ZL| = |Zi|，最大功率为。+_100o V50mHRL5Ww =105rad/s例：电路如图，求：1.RL=5W时其消耗的功

21、率；2. RL =?能获得最大功率，并求最大功率；3.在RL两端并联一电容，问RL和C为多大时能与内阻抗最佳匹配，并求最大功率。解：1.2.当时，RL获得最大功率，并且最大功率为：3.，当并且时，即并且时获得最大功率，。9.6 串联电路的谐振谐振是正弦电路在特定条件下所产生的一种特殊物理现象，谐振现象在电子、通信、电力、控制等领域得到了广泛应用，对电路中谐振现象的研究有重要的实际意义。一、电路谐振的定义及谐振的作用谐振：对于一个包含元件的正弦单口网络，当其对外等效阻抗为纯电阻或其端口电压与端子电流同相时，即时，称该电路发生了谐振。可见，谐振电路的端口电压、电流满足：。二、串联谐振的条件：以图示

22、串联电路来讨论电路的串联谐振。电路阻抗 欲使电路谐振，根据谐振的定义易得到电路谐振的条件为：谐振角频率，谐振频率 (与电阻无关)上式说明R、L、C串联电路的谐振频率仅由电路的参数决定，因此谐振频率又称固有频率。使电路产生谐振的方法：电路参数不可变情况下，施加频率与电路谐振频率一致的激励，可使电路谐振；电源频率不可变情况下，调节电路中电容或电感元件参数，亦可使电路发生谐振。三、串联谐振的特点：1. 谐振时电路端口电压和端口电流同相位；2. 谐振时入端阻抗为纯电阻，右图为复平面上表示的|Z|随变化的图形，可以看出谐振时抗值|Z|最小，因此电路中的电流达到最大，并且最大电流I0=U/R (U一定)。

23、注意：根据这个特征可以判断电路是否发生了串联谐振。3. 谐振时电路中的电压分别为：，式中称为谐振电路的品质因数，一般。可见，谐振时电源电压全部加在电阻上，而电容电压与电感电压大小相等方向相反，且都远大于电阻电压(串联谐振又称为电压谐振，谐振时将产生过压现象)。4. 谐振时电路的功率：有功功率为：P = UIcosUI，即电源向电路输送电阻消耗的功率，电阻功率达最大。无功功率为：，其中，即电源不向电路输送无功，电感中的无功与电容中的无功大小相等，互相补偿，彼此进行能量交换。5. 谐振时的能量关系：设电源电压，谐振电流故电容电压电容储能为：电感储能为：电容电感的储能总量为：(是常量，等于电容或电感

24、中储能的最大值)结论：1) 电感和电容能量按正弦规律变化，且最大值相等，即 。L、C的电场能量和磁场能量作周期振荡性的能量交换，而不与电源进行能量交换。2) 总能量是常量，不随时间变化，正好等于最大值；3) 电感、电容储能的总值与品质因数的关系为：即品质因数Q是反映谐振回路中电磁振荡程度的量。品质因数越大，总的能量就越大，维持一定量的振荡所消耗的能量愈小，振荡程度就越剧烈。则振荡电路的“品质”愈好。一般应用于谐振状态的电路希望尽可能提高Q值。四、串联谐振电路的品质因数及谐振特性1. 谐振电路的特性阻抗与品质因数：特性阻抗：称谐振时电路中的感抗或容抗为特性阻抗，即谐振品质因数：特性阻抗与电阻之比

25、值称为谐振电路的品质因数。此外，还可改写为即：2. 串联谐振电路的谐振特性与选择性：1) 阻抗的频率特性阻抗幅频特性：阻抗幅频特性阻抗相频特性阻抗相频特性：2) 电流谐振曲线及其选择性谐振曲线：表明电压、电流大小与频率的关系。幅值关系： (注：与相似)电流谐振曲线电流谐振曲线：从电流谐振曲线看到，谐振时电流达到最大，当偏离时，电流从最大值U/R降下来。换句话说，串联谐振电路对不同频率的信号有不同的响应，对谐振信号最突出(表现为电流最大)，而对远离谐振频率的信号加以抑制(电流小)。这种对不同输入信号的选择能力称为“选择性”。结论：a)选择性的好坏与谐振曲线的形状有关，愈尖选择性愈好；b)若LC不

26、变，R大，曲线平坦，选择性差。c)Q对选择性的影响：R变化对选择性的影响就是Q对选择性的影响。通用谐振曲线为了方便与不同谐振回路之间进行比较，把电流谐振曲线的横、纵坐标分别除以和，并记，则得到通用电流谐振曲线，即曲线，并且。其中，称为相对角频率，表示偏离程度，称为相对抑制比，表示电路对非谐振电流的抑制能力。结论：a)Q是反映谐振电路性质的一个重要指标。Q越大，谐振曲线越尖。当稍微偏离谐振点时，曲线就急剧下降，电路对非谐振频率下的电流具有较强的抑制能力，所以选择性好。b)工程中常将对应的两个角频率、之间的宽度称为通带()，即。由于，因此称、为3dB频率。显然，通带越窄与越大对选择性具有相同作用，

27、即越窄或越大，曲线越尖锐，选频特性越好。3) 与的频率特性变化情况分析：当=0，=0； 0<<，增大；=，=；>，电流开始减小，但速度不快，继续增大，仍有增大的趋势，但在某个下达到最大值，然后减小。®¥，®¥，=U。变化情况分析：与的分析类似。根据数学分析，当=时，获最大值；当=时，获最大值。并且当条件满足时，。注意：a)；b)越高，和越靠近；c)由于电压最大值出现在谐振频率附近很小的范围内，因此同样可以用串联谐振电路来选择谐振频率及其附近的电压，即对电压也具有选择性。小结：上面得到的都是由改变频率而获得的，如改变电路参数，则变化规律就

28、不完全与上相似。上述分析原则一般来讲可以推广到其它形式的谐振电路中去，但不同形式的谐振电路有其不同的特征，要进行具体分析，不能简单搬用。9.7 并联电路的谐振一、简单并联谐振+_GCL当图示并联电路发生谐振时称并联谐振。1.并联谐振的条件及谐振频率：并联电路的入端导纳为：谐振条件：谐振角频率：2.并联谐振的特点：采取与串联谐振电路同样的分析方法得并联谐振电路的特点为：1)谐振时电路端口电压和端口电流同相位；2)谐振时入端导纳为纯电导，导纳最小，因而电路中的电压达到最大()；3)谐振时电感电流和电容电流分别为：，式中，称为并联电路的品质因数，。结论：a) L、C上的电流大小相等，相位相反，并联总电流，LC相当于开路，所以并联谐振也称电流谐振，此时电源电流全部通过电导，即。