第16章 期权定价

1、第l6章期权定价随着资本市场的发展，金融衍生工具越来越被广泛应用于套期保值、投机和套利。尤其是l973年期权定价公式首次在政治经济杂志(Journal ofPolitical Economy)发表之后，芝加哥期权交易所的交易商们很快将其程序化输入计算机，应用于刚刚营业的芝加哥期权交易所。如今该模型以及它的一些变形已被期权交易商、投资银行、金融管理者、保险人等广泛使用。161节股票期权平价公式，介绍股票期权价格的影响因素，并基于无套利原理推导了股票期权的重要性质平价公式。162节期权组合交易策略，介绍三种可供投资者选择的期权组合交易策略，并给出了不同策略相应的交易盈亏图。分析如何运用期权进行套期

2、保值和套利。163节二项式定价模型，基于风险中性理论，给出二项式期权定价模型。二项式期权定价模型把股票价格在存续期内看成是离散的，分成许多节点，模拟股票所有可能的发展路径，然后每一路径上每一节点用贴现法计算期权价格。164节布莱克一斯科尔斯公式，布莱克一斯科尔斯期权定价模型把股票价格看做连续变量、连续时间的随机过程，运用偏微分方程计算出期权价格。自从2005年下半年以来，中国证券市场中出现了权证(股票期权)，令人瞠目结舌的市场数据接连出现，宝钢认购权证(看涨期权)上市第一天即涨停，涨幅达8358，而在其交易截止日的前一天又下跌了8578；武钢认沽权证(看跌期权)在交易截止日前涨幅最高接近了45

3、0；各种权证每日的换手率基本上都在100以上。并且相关的统计数据显示，在权证交易过程中多数普通投资者大幅亏损，券商、QFII(境外合格机构投资者)、基金和其他机构投资者成为主要赢家。从初衷来看，设立权证主要是为股改服务，为无法以股份或现金支付对价的上市公司实施股权分置改革提供创新工具。但人们多数“只猜对了开头，却猜不到结局”。权证固然促进了股改，但同时也带来了市场的爆炒和空前的投资氛围。权证等衍生工具的出现是市场发展的必然趋势，是对市场收益和风险的再衡量，巨大的杠杆效应为部分风险承受能力较高的投资者提供交易机会，同时也为风险承受能力较低的投资者，提供对冲风险和套期保值的手段。161股票期权平价

4、公式在第12章已经就期权的概念、分类以及期权价值给出了较为详细的介绍。这里仅以股票期权为例讨论影响股票期权价格的因素，以及看涨一看跌平价公式。1611股票期权价格的影响因素股票期权(stock option)是指买方在交付了期权费后，即取得在合约规定的到期日或到期日以前按协议价买入或卖出一定数量相关股票的权利。股票期权价格受到如下6个基本因素的影响，即股票现行价格S0、执行价格K、期权期限、股票价格的波动率、无风险利率和期权期限内预期发放的股息(dividend payouts)。1股票现行价格S0随着股票现行价格S0上升，看涨期权处于实值状态的可能性越来越大，因此，看涨期权价格也将随之上升，

5、即股票现行价格S0与看涨期权价格呈正相关关系。对于看跌期权造成的影响正好相反，股票现行价格s0与看跌期权价格呈负相关关系，股票现行价格上升时，看跌期权价格下降。如图l6-1所示。2。执行价格K如果看涨期权在将来某一时刻行权，期权收益等于股票价格与执行价格的差额，即ST一K0执行价格越高，期权收益越小，看涨期权的价格越小，也就是说，看涨期权价格将随着执行价格上升而下降。对于看跌期权而言，产生的作用是正好相反的。看跌期权的价格将随着执行价格的上升而上升。如图l6-2所示。3期权期限T一般而言，看涨和看跌期权都会从期权期限的增加中获益。因为在更长的时间周期内股价将会有更强的波动。但这一结论并非总是成

6、立。随着期权期限的增加，执行价格现值下降。这将增加看涨期权的价值，减少看跌期权的价值。此外，随着到期时间的增加，有更多的时间出现股票价格因发放现金股利而下降的情况。这减少了看涨期权的价值，但增加了看跌期权的价值，如图16-3所示。4股票价格波动率随着标的资产波动率增加，看涨期权和看跌期权的价格都将增加，因为这表示标的资产的价格区间将扩大，使得期权可执行程度增高。期权买方将得到有利结果的全部收益，并且可以避免不利结果(期权虚值较小)，如图16-4所示。5无风险利率r无风险利率不会单方面影响期权价格。当整个经济环境利率增加时，投资者所要求的股票预期收益也会增加。同时，期权持有者将来所收到现金流的贴

7、现值会有所降低。在以上两种效应的共同作用下，看涨期权价格会增加，看跌期权价格会降低(见图l6-5)。6期权期限内预期发放的股息股息将使股票在除息13的价格降低。对于看涨期权，这是一个坏消息；但对于看跌期权，这却是一个好消息。因此，看涨期权价值与预期股息的大小呈反向关系；看跌期权的价值与预期股息的大小呈正向关系。归纳起来，这6种因素对股票期权价格的影响可用表l6-1表示。1612看涨一看跌平价公式1假设及记号看涨一看跌平价公式的基本假设：a市场不存在套利机会；b市场无摩擦，即证券交易不支付交易费用；c无风险利率r是常数；d贷款和存款利率相等，并且均为无风险利率；e市场中允许卖空；f.标的股票不支

8、付红利行文中将采用以下记号：s0股票的当前价格；c买入一只股票的美式看涨期权的价格；STT时刻股票的价格；p买入一只股票的美式看跌期权的价格；K一期权的执行价格；c买入一只股票的欧式看涨期权的价格；T期权的期限；P买入一只股票的欧式看跌期权的价格；r在T时刻到期的无风险投资的收益V期权的价值；率，即无风险利率(连续利率)；投资组合2无套利原理如果在进行交易的时间段内，投资人在决定投资组合以后，没有加入新资金，也没有资金被消耗或抽走，那么称整个交易过程为自融资，或者该投资组合是自融资。如果在交易过程中，有资金抽走或消耗出现，那么该市场存在摩擦，如交易要交纳交易费或佣金。如果在时间(0，T内存在一

9、个时问点T*，使得当V0()=0时，有VT*()0，且ProbVT*()>0>0，称自融资组合在0，T内存在套利机会。无套利原理I如果金融市场在0，T期限内，对任意两个投资组合1，2，如果VT(1)VT(2)且ProbVT(1)>VT(2)>0，那么，对0，T)中的任意时间t，都有VT(1)>VT(2)则称无套利。无套利原理如果金融市场在0，T期限内，对任意两个投资组合1，2，如果VT(1)=VT(2)那么，对0，T中的任意时间t，都有VT(1)=VT(2)则市场是无套利的。3期权价格的上限与下限(1)期权价格的上限。看涨期权给予其持有者以某指定价格买入标的资产的

10、权利，如果期权的价格超过本身标的资产的价格，那么将不会有人购买期权。因此期权价格的上限只能是标的资产的价格，即cS0与CS0如果看涨期权以上的不等式不成立，那么一个套利者可以通过购买股票并同时出售期权来获取无风险盈利。看跌期权的持有者有权以价格K卖出一只股票。无论股票价格下降多少，期权的价格都不会高于执行价格，即pK与PK在T时刻，欧式期权的价格不会超过K。因此，当前期权的价格不会超过K的贴现值，即PKe-rT如果看跌期权以上不等式不成立，那么一个套利者可以卖出一个期权，同时将卖出期权所得费用以无风险利率进行投资，将获得无风险收益。(2)无股息股票的看涨期权的下限。考虑以下两个交易组合：组合A

11、：一个欧式看涨期权加上数量为Ke-rT的现金；组合8：一只股票。在组合A中，如果将现金按无风险利率进行投资，在T时刻将变为K。在时间T，如果ST> K，投资者行使看涨期权，组合A价值为ST，。如果ST<K，期权到期时价值为0，这时组合A的价值为K。因此在T时刻，组合A的价值为max(ST，K)组合B在T时刻的价格为sT。因此在T时刻组合A的价值不会低于组合B的价值。因此，在无套利的条件下，有c+Ke-rTS0对于一个看涨期权而言，最差的情况是期权到期时价值为0。因此，期权价值不能为负值，即C0。因此Cmax(S0-Ke-rT，0)(3)无股息股票的欧式看跌期权下限。考虑以下两个交易

12、组合：组合c：一个欧式看跌期权加上一只股票；组合D：金额为Ke-rT的现金。如果Sr<K，投资者在到期时执行组合C中的欧式看跌期权，组合C的价值变为K；如果 ST>K，在到期时，期权价值为0，组合C的价值为ST，因此在T时刻组合C的价值为max(ST，K)将现金以无风险利率投资，在T时刻组合D的价值为K。因此在T时刻组合C的价值总是不低于组合D的价值。在无套利条件下，组合C的价值不会低于组合D在今天的价值，即P+S0Ke-rT对于一个看跌期权而言，最差的情况是期权到期时价值为0，期权价值不能为负值，因此，Pmax(Ke-rT-S0，0)4看涨一看跌平价公式考虑以下两个组合。组合A：

13、一个欧式看涨期权加上数量为Ke-rT的现金；组合C：一个欧式看跌期权加上一只股票。这两个组合期权在到期时价值均为max(ST，K)由于组合A和C中的期权均为欧式期权，在到期日之前不能提前执行，因此它们在当前必须有相同的价值，这意味着c+Ke-rT=P+S0(16-1)这一关系式就是看涨一看跌平价公式(put-call parity)。此公式表明具有欧式看涨期权的价值可由一个具有相同执行价格和到期日的看跌期权价值推导出来，这一结论反之亦然。5看涨看跌平价公式扩展虽然看涨一看跌平价公式只对欧式期权成立，但也可以从中类推美式期权服从的关系式。当没有股息时，S0KC-PS0-Ke-rT(16-2)看涨

14、一看跌平价公式：c+Ke-rT=p+S0，只有在无股利发放、到期执行的前提下才成立。现在放松这两条假设，可以有以下结论。无股息的美式看涨期权不会被提前行使。因为，拥有期权而不是股票时，持有者拥有价格保险，也就是说，拥有期权能保证持有者最低损失仅为期权费。一旦期权被行使后，执行价格同股票互换，保险会因此消失，再者，对期权持有者而言，支付执行价格越迟越好，这与货币的时间价值有关。在期权期限内任意给定的时刻，如果期权的实值程度足够大，那么就应该提前行使期权。与看涨期权类似，一个看跌期权也可以看做是一种保险，当同时持有股票和看跌期权时，看跌期权可以为期权持有者在股票价格下跌到一定水平时提供保险。但与看

15、涨期权不同的是，放弃这一保险，而提前行使期权从而立即实现执行价格可能为最优的策略。因此，无股息的美式看跌期权可能会被提前行使。接下来，放松没有红利支付的假设，考虑一下股息对期权价格的影响。在美国，交易所交易的大部分期权期限小于l年，因此可以比较准确地预测在期权期限内股息的支付时间及数量。用 D来表示期权期限内股息的贴现值。在计算D时，假定股息在除息日付出。当存在股息时，公式(16-1)所表达的看跌一看涨平价公式变为c+D+Ke-rT=P+S0 (16-3)股息会使公式(16-2)变为S0-D-KC-PS0-Ke-rT(16-4)例如，一个美式看涨期权的执行价格为20美元，期限为5个月，期权价格

16、为l5美元。假定当前股票价格为19美元，无风险利率为年率10，由公式(16-2)得出，19-20C-P19-20e-0.1x5/12即1P-C018上式显示P-C介于0181美元之间。由于C为15美元，P必须介于l68250美元。也就是说，与美式看涨期权具有相同执行价格及期限的美式看跌期权价格的上下限分别为250美元及168美元。162期权组合交易策略在第12章中，讨论了由单个期权所带来的盈利形式。本节将以股票期权为例，讨论期权组合的交易策略。对于其他标的资产，如股指期货、期货等，可以得到类似的结果。为了简化，讨论中所采用的期权为欧式期权，并在所列举的交易策略收益图表中都忽略货币的时间价值，图

17、中所表示的盈利为最终收益减去初始费用(理论上讲，盈利应等于最终受益的贴现值减去初始费用)。1621单一期权和股票的策略包括单一期权和股票的策略有多种形式。这些策略的盈亏状况如图16-6所示。在图16-6中，虚线代表组合中单个证券的盈利与股票价格的关系，实线代表整个组合的盈利和股票价格之间的关系。图16-6a中，交易组合是由一个股票多头与一个看涨期权空头组成。这种交易策略被称为“出售受保护的看涨期权”(writing covered call)，这里的股票多头可以保护投资者，使其免遭股票价格急剧上涨带来的损失。图l6-6b中，交易组合是由一个股票空头加上一个看涨期权多头组合而成，其盈利状态与出售

18、受保护的看涨期权的盈利状态相反。图16-6c中，交易组合包括一个看跌期权多头及股票多头，这一交易策略被称为“购买受保护的看跌期权”(protective put)。图166d中，交易组合是由一个看跌期权空头和一个股票空头组成，这一交易策略的盈利状态与受保护的看跌期权的盈利状态相反。图16-6中的盈亏状态与第l2章中讨论的看跌期权空头、看跌期权多头、看涨期权多头及看涨期权空头的盈利状态相似。由看涨一看跌平价公式，以理解为何如此。由公式(16-1)可知c=P+S0-Ke-rT (16-5)公式(16-5)表明，一个看涨期权多头的盈利状况与用Ke-rT的现金购买看跌期权和股票的盈利状况是一样的，所以

19、图l6-6c的盈利状况图与看涨期权多头的盈亏图相似。对公式(16-1)进行变换，-P=S0-c-Ke-rT表示用Ke-rT购买一只股票并卖出一个看涨期权的盈利状况与出售看跌期权的盈利状况相类似，这就是为什么图16-6a与看跌期权空头盈亏图类似的原因。也就是说，任何基本的期权交易策略都可以通过单一股票期权和股票的组合进行替代。1622价差期权交易策略1牛市价差期权价差期权交易策略是持有相同类型的两个或多个期权头寸，通过不同的执行价格买进卖出，从而进行套利的策略。价差期权在不同的证券市场状态下，会有不同的策略，由此分为牛市价差期权、熊市价差期权、盒式价差期权、蝶式价差期权、日历价差期权和对角价差期

20、权等。下面就主要的价差期权一一展开说明。牛市价差期权(bull spread)既可以利用看涨期权组合构成，也可以通过看跌期权组合构成。如图l6-7所示，此牛市价差期权是，买入一个具有某一确定执行价格(K1)的股票看涨期权的同时，卖出一个标的相同但具有较高执行价格(K2)的股票看涨期权，两个看涨期权的期限相同。从图l6-7中可以看到，牛市价差期权在不同情况下可以实现的总收益。如果股票价格表现良好，即价格上涨高于K2时，此时收益为两个执行价格的差(K2-K1)；如果在到期日股票价格介于K1与K2之间，牛市价差的收益为ST- K1；如果在到期日，股票价格低于K1，牛市价差的收益为0。归纳如表16-2

21、所示：牛市价差限制了投资者收益的同时也控制了损失的风险。这一策略可以表达为：投资者拥有一个执行价格为K1的期权，同时卖出执行价格为K2(K2>K1)的期权而放弃了股票上升的潜在收益。作为对放弃潜在收益的补偿，投资者获得了执行价格为K2的期权费用。牛市价差期权还可以通过看跌期权组合构成，其构成原理与看涨期权构成的牛市价差类似，即买入具有较低执行价格看跌期权的同时，卖出具有较高执行价格的看跌期权，如图168所示。与采用看涨期权构造牛市价差不同的是，用看跌期权构造的牛市价差会给投资者在最初带来一个正的现金流(忽略保证金的要求)。2熊市价差期权与牛市价差期权相似，熊市价差期权(bear spre

22、ad)可以由看涨期权组合构成也可以通过看跌期权组合构成。但熊市价差期权投资者希望股票价格下跌，因为只有股票价格下跌时，才有利可获。首先，看看利用看跌期权构造的熊市价差期权。由看跌期权构成的熊市价差期权是，在买入某一具有较高执行价格(K2)的看跌期权的同时，卖出具有较低执行价格(K1)的看跌期权，两个看跌期权的标的资产和期限相同。图l6-9中，盈利由实线表示。从图l6-9中可以看出，当股票价格低于K1时，此时价差收益为两个执行价格的差(K2-K1)；如果在到期日股票价格介于K1与K2之间，熊市价差期权的收益为K2-ST；如果在到期日，股票价格高于K2，熊市价差的收益为0。归纳如表16-3所示。与

23、牛市价差类似，熊市价差限定了盈利的上限，同时也控制了损失。由看跌期权构造的熊市价差期权在最初会有一个正的现金流出，这是因为支付的期权费小于收到期权费(卖出期权的执行价格小于买入期权的执行价格)。熊市价差不仅能用看跌期权组合而成，也可以用看涨期权组合而成，交易策略如图l6-10所示。投资者可以通过买入具有较高执行价格的看涨期权，卖出具有较低执行价格的看涨期权的策略构造熊市价差期权。3盒式期权盒式期权(box spread)是牛市价差和熊市价差的组合，两个价差都是由执行价格为K1和 K2的看涨期权构成。如表l6-4所示，一个盒式价差的收益为K2K1，因此盒式价差的贴现值为(K2-K1)e-rT。如

24、果其贴现值与这一数值有所不同，就会产生套利机会。如果盒式价差的市场价格过低，套利者可以通过买入盒式来盈利。这时套利策略为：买人一个具有执行价格K1的看涨期权，买人一个执行价格为K2的看跌期权，卖出一个执行价格为K2的看涨期权及卖出一个执行价格为K1的看跌期权。如果盒式价差的市场价格过高，套利者可以利用卖出盒式价差来盈烈。套利策略为买人执行价格为K2的看涨期权，买入一个执行价格为K1的看跌期权，卖出一个执行价格为K的看涨期权并卖出一个执行价格为K2的看跌期权。4蝶式期权蝶式期权(butterfly spread)策略由3种具有不同执行价格的期权构成。其构造方式为：买人一个具有较低执行价格K1的看

25、涨期权，买入一个具有较高执行价格K3的看跌期权，以及卖出两个具有执行价格为K2的看涨期权，其中K2为K1与K3中间的某个值。一般来讲，K2接近于当前股票价格。这一交易策略的盈利如图l6-11所示。如果股票价格保持在K2附近，蝶式价差会产生盈利，但如果股票价格远远偏离K2，蝶式价差会有小量的损失。因此蝶式价差对于那些认为股票价格不会有较大波动的投资者而言会非常合理。该策略需要少量的初始投资。表l6-5给出了蝶式价差的收益。蝶式期权也可以由看跌期权构成。投资者可以买人一个具有较低执行价格及一个具有较高执行价格的两个看跌期权，同时卖出两个具有中问执行价格的两个看跌期权，如图16-12所示。1623组

26、合期权交易策略组合期权是针对同一标的看涨期权与看跌期权的交易策略。下面将要考虑的组合期权包括条式期权(strip)和带式期权(strap)、宽跨式期权(straddle)。1条式期权和带式期权条式期权是具有相同执行价格和相同期限的一个看涨期权和两个看跌期权的组合。带式期权是由具有相同执行价格和相同期限的两个看涨期权和一个看跌期权的组合。图l6-13显示了条式期权和带式期权的盈利形式。条式期权中投资者认为，股票价格会有较大的变动，同时价格下降的可能性要大于价格上升的可能性。而在带式组合中，投资者也认为股票价格有较大的变动，但价格上升的可能性大于价格下降的可能性。2宽跨式期权宽跨式期权是投资者买入

27、具有相同期限但具有不同执行价格的看跌及看涨期权。图l6-14显示了其盈利状况。宽跨式期权所取得的盈利与执行价格之间的距离有关。距离越远，潜在损失越小，但为了获取盈利，价格也需要有一定的浮动。16.3二项式定价模型1973年，布莱克和斯科尔斯(Black and Scholes)提出了BlackScholes期权定价模型，对标的资产的价格服从正态分布的期权进行定价。随后，罗斯开始研究标的资产的价格服从非正态分布的期权定价理论。1976年，罗斯和约翰·考科斯(John Carrington Cox)在金融经济学杂志上发表论文“基于另类随机过程的期权定价”，提出了风险中性定价理论。1979

28、年，罗斯、考科斯和马克·鲁宾斯坦(Mark Rubinstein)在金融经济学杂志上发表论文“期权定价：一种简单的方法”，该文提出了一种简单的对离散时间的期权定价的方法，被称为CoxRossRubinstein二项式期权定价模型。二项式期权定价模型和布莱克一斯科尔斯期权定价模型，是两种相互补充的方法。二项式期权定价模型推导比较简单，更适合说明期权定价的基本概念。二项式期权定价模型建立在一个基本假设基础上，即在给定的时间间隔内，证券的价格运动有两个可能的方向：上涨或者下跌。虽然这一假设非常简单，但由于可以把一个给定的时间段细分为更小的时间单位，因而二项式期权定价模型适用于处理更为复杂的

29、期权。1631风险中性定价风险中性定价(risk neutral pricing theory)又称风险中性理论，是指在市场不存在任何套利可能性的条件下，如果衍生证券的价格仍然依赖于可交易的基础证券，那么这个衍生证券的价格与投资者的风险态度无关。这个结论在数学上表现为衍生证券定价的微分方程中并不包含有受投资者风险态度的变量，尤其是期望收益率。风险中性价原理是约翰·考科斯和斯蒂芬·罗斯(Stephen ARoss)于1976年推导期权定价公式时建立的。由于这种定价原理与投资者的风险制度无关，从而推广到对任何衍生证券都适用，所以在以后的衍生证券的定价推导中，都接受了这样的前提条

30、件，就是所有投资者都是风险中性的，或者是在一个风险中性的经济环境中决定价格，并且这个价格的决定，又是适用于任何一种风险态度的投资者。关于这个原理，有着一些不同的解释，从而更清晰了衍生证券定价的分析过程。首先，在风险中性的经济环境中，投资者并不要求任何的风险补偿或风险报酬，所以基础证券与衍生证券的期望收益率都恰好等于无风险利率；其次，正由于不存在任何的风险补偿或风险报酬，市场的贴现率也恰好等于无风险利率，所以基础证券或衍生证券的任何盈亏经无风险利率的贴现就是它们的现值；最后，利用无风险利率贴现的风险中性定价过程是鞅(martingale)。或者现值的风险中性定价方法是鞅定价方法(martinga

31、le Pricing Technique)。由于这种定价原理与投资者的风险偏好无关，从而对任何衍生证券都适用，所以一般的衍生证券定价推导中，都接受了这样的前提条件：风险中性的投资者不以自己的偏好进行资产选择，仅以风险和收益作为最优标准。风险中性方法打开了利用二叉树对期货资产价值建模的期权定价技术之门。1632二项式期权模型二项式期权模型(binomial model)也称为二叉树模型(binomial tree)或CRR模型，二叉树是模拟股票价格在期权期限内变动路径的图形。通常认为股票价格服从随机游走，这源于有效市场理论。无限期的二叉树模型将趋向随机游走，因此成为能够反映股票价格变动的有效模型

32、。二叉树模型仅假设股票价格向上和向下两个方向的变动，事实上也存在股票价格多方向变动，如三下面从一个简单的例子人手。假设一个股票的当前价格为l0元，并且已知在3个月后股票的价格将会变为l2元或8元。希望找出3个月后能够以ll元买人股票的期权价格。这个期权在3个月后将具有以下两个价格中的一个：如果股票价格变为12元，期权价格为1元；如果股票价格为8元，期权价格为0，如图16-15所示。这里可以采用一种比较简单的方式来对此例中的期权进行定价。定价过程中唯一需要的假设是市场不存在套利机会。构造一个股票和期权的组合，并使得这一组合在3个月后具有确定的收益。由于该组合具有确定收益率，因此没有任何风险，按照

33、风险中性定价原理，这一利率一定等于无风险利率。这样得出构造这一交易组合的成本，并获得期权的价格。因为这里有两种证券(股票与股票期权)，并且股票价格仅有向上和向下两个可能性，因此总是可以构造出无风险证券组合。考虑一个有只股票的多头头寸和一份看涨期权空头头寸构成的交易组合。下面将求出交易组合具有无风险收益的。当股票价格由l0元变为12元时，所持股票的价值变为l2元，期权价格变为l元，证券组合的整体价值为l2一1；当股票的的价格由10元变为8元时，所持股票的价值变为8元，期权的价值为0，证券组合的整体价值为8元。如果证券组合在以上两个时点价值相等时，则该组合不具有任何风险，这意味着12-1=8即=0

34、25因此，无风险交易组合为：多头头寸：025只股票；空头头寸：1份期权。如果股票价格上涨为l2元，组合价值为12 x 025-1=2元如果股票价格下跌到8元，组合价值为8 X 025=2元无论股票价格是上涨还是下跌，在期权到期时交易组合的价值总是2元。假设这时的无风险利率为每年12，那么该交易组合今天的价值应为2元的贴现值，即2e-0.l2x3/12=l941股票今天的价格为l0元，如果期权的价格记为，那么交易组合在今天的价值是：10×025-f=25-f因此25-f=1941解得f=0559元以上讨论说明，在无套利的前提下，期权的当前价格应为0559元。如果期权市场价格高于0559

35、元，那么构造交易组合的费用就会低于1941元，而交易组合的收益率就会高于无风险利率；如果期权市场价格低于0559元，那么卖空这一交易组合，同时购买这一交易组合将产生高于无风险利率的收益。将以上的结论一般化。假设股票的价格为S0，股票上一个期权的价格为f0，期权到期期限为 T0。在期权有效期内，股票价格或者会由S0上涨到S0u，或者会由S0下跌到S0d，其中u>1，d<1。当股票价格上涨时，其增长的比率为u-1。当股票下跌时，其下跌的比率为1-d。与前面例子相同考虑一个由只股票的长头寸及一份期权的短头寸所组成的交易组合。投资者可以找到一个使得交易组合收益率等于无风险收益率，即在风险中

36、性条件下不具有风险。如果股票价格上涨，在期权到期时交易组合的价值为S0u-fu如果股票价格下跌，期权到期时组合的价值为S0d-fd因假设该组合在未来具有确定的收益，因此无论在何种情况下，组合的价值一定，以上两个值相等，即S0u=fu=S0d-fd得出在假定股票收益确定的前提下，该资产组合具有无风险收益率，由公式(16-6)看出，当股票仅有两种变动趋势时，为期权价格变化与股票价格变化的比率。如果将无风险利率记为r，那么交易组合的贴现值为(S0u-fu)e-rT而构造交易组合的起始成本为S0-f所以S0-f=(S0u-fu)e-rT即f=S0(1-ue-rT)+fue-rT将公式(16-6)中的代

37、人上式并简化，得出f=e-rTpfu+(1-p)fd(16-7)其中当股票价格由一步二叉树给出时，公式(16-7)及公式(16-8)可以用来给期权定价。这个公式需要的唯一假设是市场中不存在套利机会。值得注意的是，公式(16-7)中没有涉及股票价格上涨或下跌的概率。这里直接使用股票价格作为计算一步二叉树期权的价格，主要假定市场有效，未来股票价格上涨与下跌的概率已经包括在它的价格之中。因此，当根据股票价格对期权进行定价时，无须再次考虑股票上涨或下跌的概率。定义参数为衡量基础合约价格变动所造成期权价值变动的指标，它是由期权价格对基础合约的偏导数给出，它代表一个对冲比率，或者说，它是为了获得一个具有无

38、风险收益率组合，购买或出售期权时需要卖出或买人基础合约的份数。以上分析了一步二叉树的解析过程下面由简到难，把期权的期限区间平均分割成许多等长度为t的小区间，分析多步二叉树。如下图l6-16所示。图16-16表示了二叉树模型下四步股票价格变动图。在时点0，股票价格S0为已知条件。在经过长度为t的时间区间后有两个可能的股票价格，S0u和S0d；在经过长度为t的时间区间后有三种可能的股票价格，S0u2，S0ud和S0d2，依次类推，一般地，在经过长度为it的时间区间后有i+1种可能的股票价格，S0ui-jdj，j=0，i。在这里，股票价格上升的概率假定为P，下降的概率为1-P。在二叉树模型中，风险中

39、立假设下的定价原理可以被用来确定P、u和d的值。对应于时间间隔t内股票价格变化的均值和标准差，参数P、u和d都有对应的值。上图显示了股票价格在时间区间t段末，期末的期望股票价格是pS0u+(1-P)S0d另一方面，由于假定市场处在一个风险中立的世界里，股票的期望报酬率为无风险利率r。于是，在期末这个时点上的股票期望价格为S0ert。它遵循S0ert=pS0u+(1-P)S0d(16-9)解式(16-9)，得到这个结果与公式(16-8)一致。在二叉树模型中，股票回报率的方差为ES-E(S)=E(S2)-E(S)2=pu2+(1-p)d2-pu+(1-P)d2于是pu2+(1-P)d2-pu+(1

40、-P)d2=2t忽略了t或者假设t很小时，下面的等式成立一般地，使用二叉树模型估计的欧式期权价值为fi,j=e-rtpfi+1,j+(1-p)fi+1,j+1i=9，N-1 andj=0，i(16-11)164布莱克一斯科尔斯公式1997年10月10日，第29届诺贝尔经济学奖授予了两位美国学者，哈佛商学院教授罗伯特·默顿(Robert Merton)和斯坦福大学教授迈伦·斯科尔斯(Myron Scholes)。他们创立和发展的布莱克一斯科尔斯期权定价模型(Black Scholes option pricing model)为包括股票、债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场

41、的各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定价奠定了基础。斯科尔斯与他的同事，已故数学家费雪·布莱克(Fischer Black)，在20世纪70年代初合作研究出了一个期权定价的复杂公式。与此同时，默顿也发现了同样的公式及许多其他有关期权的有用结论。结果，两篇论文几乎同时在不同刊物上发表。所以，布莱克一斯科尔斯定价模型亦可称为布莱克一斯科尔斯一默顿定价模型。默顿扩展了原模型的内涵，使之同样运用于许多其他形式的金融交易。瑞士皇家科学协会(The Royal Swedish Academy of Sciences)赞誉他们在期权定价方面的研究成果是今后25年经济科学中的最杰出贡献。16

42、41欧式期权定价公式Fischer Black和Myron Scholes(1973)发表了突破性论文，第一次成功提出了以不支付股利或者其他分配的股票为标的的欧式期权定价公式。布莱克一斯科尔斯模型的主要假设如下：a.股价遵循预期收益率和标准差为常数的马尔科夫随机过程；b允许使用全部所得卖空衍生证券；C没有交易费用或税金，且所有证券高度可分；d在衍生证券的有效期内没有支付红利；e不存在无风险的套利机会；f.证券交易是连续的，股票价格连续平滑变动；g无风险利率r为常数，能够用同一利率借入或贷出资金；h只能在交割日执行期权。假设a体现了有效市场理论对股票价格的论断，即股票价格应该服从随机游走过程，并

43、且无趋势可言；假设b构建了一个可以使得市场风险中性成立的条件，因为这里允许“卖空”行为的存在；假设c近似描绘了完美无摩擦市场，证券高度可分使得证券交易不受交易量的限制；假设 c、d、e、f、g、h则进一步限定了市场环境。设定ln代表自然对数，S0为股票的现行价格，k为执行价格，r代表无风险连续复利，T代表以年计量的期权期限，代表标的股票的波动率，N指的是累计标准正态分布函数。那么，看涨期权价格C和看跌期权价格P可以由下式得到c=S0N(d1)-ke-rTN(d2) (16-12) P=ke-rTN(-d2)-S0N(-d1) (16-13)式中，例如，一种还有六个月的有效期的期权，股票的现价为

44、42美元，期权的执行价格为40美元，无风险利率为每年l0，波动率为20，即S=42，k=40，r=01，=02，T=05得又查表，得N(07693)=07791，N(-07693)=02209N(06278)=07349，N(-06278)=02651将上述数据代入公式计算，得C=S·N(d1)-ke-rT·N(d2)=476P=ke-rT·N(-d2)一S·N(-d1)=081在布莱克一斯科尔斯定价公式中，股票价格的波动率并不能直接观察得到。通常在计算期权价格时，投资者使用股价历史数据估计得到的波动率。观察股价的时间间隔通常固定(例如每天、每周或每月)

45、。定义如下：n+1表示观察次数Si：第i个时间间隔末的股票价格：以年为单位的时间间隔的长度的长度因为Si=Si-1ei，i为第i个时间间隔后的连续复利收益(并不是以年为单位)； ui的标准差s的通常估计值为式中，是i的均值。而由方程可知i的标准差为因此变量s是拘估计值。从而可以作为的估计值。1642布莱克一斯科尔斯微分方程股价S遵循马尔科夫随机过程dS=SdT+Sdz其离散形式为S=ST+Sz(16-14)又假设厂是依赖于S的衍生证券的价格，则变量f一定是S和t的某一函数。由上式方程可得其离散形式为由于f是S与t的函数，所以方程(16-14)与方程(16-16)应遵循相同的维纳过程，即相同。为

46、了消除这一随机变量的影响，可以通过构造该股票和衍生证券的组合来消除。可以构造这样的投资组合：(1)卖出一份衍生证券(2)买入份股票则该证券组合的价值为t时间后，该证券组合的价值变化将方程(1614)和方程(1616)代入上式，得因为这个方程不含有z，经过t时间后证券组合收益都可以由确定的变量进行表示，因此不存在不确定性。该证券组合的瞬时收益率一定与其他短期无风险证券的收益率相同。否则，将存在无风险的套利机会。所以式中，r为无风险利率。将方程(16-17)和方程(16-18)代人上式可得化简得这就布莱克一斯科尔斯微分方程。对应于不同基础证券s定义的不同衍生证券，方程(16-21)有不同的解。解方程时得到的特定的衍生证券取决于使用的边界条件。对于欧式看涨期权，关键的边界条件为f=max(ST-X，0)对欧式看跌期权，边界条件为f=max(X-Sr，0)一个非常重要的现象是，期权微分方程推导过程中并不涉