工程力学 第二章平面力系的合成与平衡

1、课 时 授 课 计 划授课日期2011.10.22班 别1044-3题 目第二章 平面力系的合成与平衡目的要求Ø 会用平行四边形法则将力进行分解，并计算力的投影Ø 能解释力矩、力偶的概念及性质Ø 能叙述平面一般力系的平衡条件Ø 能用平衡方程计算简单的平衡问题重点计算力的投影、平面一般力系的平衡条件、平衡方程难点平衡方程教 具课本教 学 方 法课堂教学报书设计第二章 平面力系的合成与平衡第一节 平面汇交力系的合成与平衡第二节 平面力偶系的合成与平衡第三节 平面任意力系的简化第四节 平面任意力系的平衡条件及其应用教学过程：复习：1、复习约束与约束反力概念。2

2、、复习物体受力图的绘制。新 课：第二章 平面力系的合成与平衡第一节 平面汇交力系的合成与平衡一、力系的分类力系分为：平面力系、空间力系。平面力系：凡各力作用线都在同一平面内的力系。空间力系：凡各力作用线不在同一平面内的力系。平面汇交力系：若作用在刚体上各力的作用线都在同一平面内，且汇交于同一点。平面一般力系：若作用在刚体上各力的作用线都在同一平面内，且任意分布。二、平面汇交力系合成与平衡的几何法1、平面会交力系的几何法1）两个共点力的合成 由力的平行四边形法则作，也可用力的三角形来作。由余弦定理：合力方向可应用正弦定理确定：2）任意个共点力的合成若刚体受一平面汇交力系、和作用，如图a所示，求该

3、力系的合力，可连续使用力的三角形法则，即先求与的合力，再求与的合力，最后求出与的合力，便是此平面汇交力系的合力，即由图可见，在作图过程中，中间力，不必画出，只需将各力的矢量，依次首尾相接得到一条矢量折线ABCDE，然后将其始端A与终端E相连得到一个封闭的矢量多边形，则由A点指向E点的封闭边AE即为该力系的合力的大小和方向，如图c所示。该多边形ABCDE称为已知力系的力多边形。这种求合力的方法称为力多边形法则。(a) (b) (c)图44 注意：封闭边仅表示合力的大小和方向，合力作用线通过原汇交点，合成结果与各力的绘制顺序无关。将上述方法推广到由n个力组成的平面汇交力系可得结论：平面汇交力系合成

4、的结果为一合力，合力的大小和方向由该力系力多边形的封闭边表示，其合力作用线通过原力系汇交点。用矢量式可表示为平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和。 =Fn 2、平面汇交力系平衡的几何条件平面汇交力系平衡的充分和必要条件是：该力系的合力等于零。用矢量式表示，即FR=Fn按多边形法则，在合力等于零的情况下，力多边形中最后一个力矢的终点与第一个力矢的起点重合，此时的力多边形称为封闭的力多边形。平面汇交力系平衡的几何条件：平面汇交力系平衡的充分和必要条件是该力系的多边形自行封闭。三、平面汇交力系的平衡条件及应用合力投影定理：平平面汇交力系的合力在任意坐标轴上的投影，等于它的各分力在同一坐标轴上投影的代

5、数和。即FRx=F1x+F2x+Fnx=FxFRy=F1y+F2y+Fny=Fy当平面汇交力系为已知时，我们可以选定直角坐标系求出系中各力在x轴和y轴上的投影，再根据合力投影定理求出合力FR在x轴和y轴上的投影FRx和FRy，即tan=FRy/ FRx=Fy /Fx平面汇交力系平衡的充分和必要条件是：该力系的合力等于零，及FR=0。平面汇交力系的平衡方程Fx=0Fy=0即平面汇交力系平衡的必要和充分条件是力系中在坐标上投影的代数和为零。第二节 平面力偶系的合成与平衡一、力偶的概念力偶：把大小相等、方向相反的平行力组成的力系称为力偶，并记作 （F，F'）。力偶对物体只产生转动效应，而不产

6、生移动效应。力偶中两力所在的平面叫做力偶作用面，两力作用线之间的垂直距离d称为力偶臂。二、力偶矩的计算力偶对物体的转动效应取决于力偶中力和力臂的大小及力偶的转向。因此，在力学中以乘积Fd加上+、-号作为度量力偶对物体转动效应的物理量，称为力偶矩，以符号m（F，F'）或m表示，即或 上式表示力偶矩是一个代数量，其绝对值等于李的大小与力臂的乘积，正负号表示力偶的转向。通常规定力偶逆时针旋转时，力偶矩为正；反之为负。力欧可以用力和力偶臂表示，也可以用一个带箭头的弧线表示力偶，箭头表示力偶的转向，m表示力偶矩的大小。力偶矩的单位与例句相同，为N×m或kN×m。实践证明，力偶

7、对物体的作用效果由力偶矩的大小、力偶的转向和力偶作用面的方位等三个因素决定。三、力偶的基本性质1、基本性质（1）力偶无合力，即力偶不能用一个力来代替。（2）力偶对其作用面内任一点的力矩恒等于力偶矩，而与矩心位置无关，即欲求力偶对其所在平面内任一点的力矩时，计算出力偶中的两个力分别对该点的力矩的代数和就等于力偶矩、（3）在同一平面内的两个力偶，如果它们的力偶矩大小相等，且力偶的转向相同，则这两个力偶是等效的。这称为力偶的等效性。2、推论力偶可以在其作用面内任意移动，而不影响它对刚体的作用效应。只要保持力偶矩大小和转向不变，可以任意改变力偶中力的大小和相应力偶臂的长短，而不改变它对刚体的作用效应。

8、第三节 平面任意力系的简化在工程实际中遇到的大量力学问题，常常都是平面力系的问题，例如：图411a所示的旋转式起重机，作用在横梁船上的力有重力W、轮压P、钢丝绳的拉力T，以及铰链支座A的约束反力、，这些力构成了一个平面一般力系，如图411b所示。又如图412a所示的楼梯板，沿斜面长度作用的均布荷载g，两端的约束反力、和，即可简化为在楼板的中心对称平面内的平面一般力系，如图412b所示。 (a) (b) (a) (b) 图411 图412 一、力的平移定理设力F作用于刚体上的A点，如图413a所示，欲将此力平移到刚体上的任一点O，可在O点加上一对平衡力、，并使（图413b）。显然，根据加减平衡力

9、系公理可知，力系（、）与原力F等效。而力系中的力F与又组成一个力偶，其力偶矩为。另一力则可看作是力平移至O点的结果。这表明，作用于刚体上的力可平移至该刚体上的任一点，但平移后必须附加一力偶，该力偶的矩等于原来的力对平移点O之矩。由此可得力的平移定理：作用于刚体上的力可平移至该刚体上的任一点，但平移后必须附加一个力偶，此附加力偶的力偶矩等于原来的力对平移点之矩。(a) (b) (c)图413 应用力的平移定理时必须注意： （1）力平移后所附加力偶矩的大小、转向与平移点的位置有关。 （2）力的平移定理的逆定理亦成立，即作用于刚体上的一力及一力偶，也可以合成为一个合力，该合力与的大小相等、方向相同，

10、但二力作用线相距为。 力的平移定理及其逆定理不仅是力系简化的基本依据，也是分析力对物体作用效应的一个重要手段。如拧螺钉时，要求双手用力均匀，这时丝锥只受一个力偶作用。若两手用力不均或单手用力（图414a），则将力平移至丝锥中心后，将得到一个力和一个力偶（图414b），该力偶固然能起到拧紧螺钉的作用，但该力将使丝锥发生弯曲，极易使其折断，故应当避免。(a) (b)图414 又如图415所示偏心受压柱比中心受压柱相当于多受到一个力偶的作用，此力偶矩为（e为偏心距）。正是由于此力偶的存在，才使得在压力相等的情况下，偏心受压柱比中心受压柱更易发生倾斜或出现裂缝。图415 二、平面力系向作用面内任一点简

11、化1. 简化方法和结果 设刚体受一平面任意力系，作用，各力的作用点分别为，如图416a所示。在力系的作用面内任选一点O，称为简化中心。应用力的平移定理，将各力平移至O点，同时附加相应的力偶，则原平面任意力系就分解成两个简单力系：作用于O点的平面汇交力系，和力偶分别为，的附加力偶系，如图416b所示。其中平面汇交力系，又可合成为作用于O点一个力。 （47） (a) (b) (c)图416因各力平移时其大小、方向均保持不变，即, ， 故 （48）式中：原力系的主矢，等于原力系各力的矢量和。 显然，主矢并不能代替原力系对物体的作用，因而它不是原力系的合力，其大小和方向角用解析法计算为 （49）式中：

12、与轴所夹锐角，的指向由、的正负号确定。 平面力系向一点简化而附加的力偶系，则可按平面力偶系合成的方法，将其合成为一个合力偶，其力偶矩为因各力平移时所附加的力偶矩分别为原力对简化中心之矩，即，故 （410）式中：原力系对简化中心O点的主矩，等于原力系中各力对简化中心之矩的代数和。 同样，主矩也不能代替原力系对物体的作用，即不是原力系的合力偶矩。 综上所述，平面任意力系向平面内任一点简化，一般可得一个力和一个力偶（图416c）。该力称为原力系的主矢，它等于力系中各力的矢量和，其大小和方向与简化中心无关，但作用线通过简化中心；该力偶的力偶矩称为原力系对简化中心的主矩，它等于原力系中各力对简化中心之矩

13、的代数和，其值一般与简化中心有关。 由以上讨论可知，力系的主矢与简化中心的位置无关，而力系的主矩在一般情况下与简化中心的位置有关。这是因为改变简化中心时，每一个附加力偶的矩将随之改变的缘故。所以表示主矩时，必须指明简化中心，通常在主矩符号的右下角注明简化中心的代号。2. 简化结果的讨论 平面力系向任一点简化，一般可得到一个主矢和一个主矩，根据主矢和主矩是否为零，可分为四种情况： （1），原力系简化为一个合力偶：平面任意力系简化为一个力偶，该力偶对平面内任意点的矩都相同，在这种情况下，力系的主矩与简化中心的位置无关。 （2），原力系简化为一个合力：原力系等效于作用在简化中心的主矢。 （3），原力

14、系仍可简化为一个合力：根据力偶等效变换的性质，将主矩用两个等值、反向的平行力和来表示。且使它们满足，如图417a、b所示。于是，与为一对平衡力，可以撤去，从而使原力系简化的最后结果为一个作用线过O点的合力（图417c），其大小、方向与主矢量相同，即。但合力的作用线并不通过简化中心，其偏离简化中心的垂直距离，偏离的位置应使合力对简化中心的力矩转向与主矩的转向相同。(a) (b) (c)图417此外，由图417c可以看出，平面任意力系的合力对点之矩为而 故 （411） 由于简化中心O是任意选取的，故上式具有普遍意义。于是可得到平面力系的合力矩定理：平面力系的合力对其作用面内任一点之矩等于力系中各分

15、力对同一点之矩的代数和。利用该定理，可以简化某些情况下的力矩计算，还可以确定平面力系合力作用线的位置。 （4），原力系平衡：这表明原力系处于平衡状态。综上所述，平面力系的简化结果，不外乎三种情况，或为一个合力，或为一个合力偶，或处于平衡状态。第四节 平面任意力系的平衡条件及其应用一、平面一般力系的平衡条件和平衡方程平面一般力系平衡条件是：力系中所有各力在两个直角坐标轴上的投影的代数和分别等于零，且各力对力系所在平面内任一点力矩的代数和也等于零。平面一般力系的平衡条件可用下式表示： 上式称为平面一般力系的平衡方程的基本形式。其中前两个方程称为投影方程，后一个方程称为力矩方程。这三个方程是相互独立

16、的，故能求出三个未知量。平面一般力系平衡问题的解题步骤：（1）选取研究对象，取隔离体，画受力图。 （2）据受力图中力系的特点，灵活地选取投影轴和矩心。投影轴和矩心的选取原则是：使尽可能多的未知力与投影轴垂直，使尽可能多的未知力作用线通过矩心，以求做到列出一个平衡方程，就能求解一个未知量，避免解联立方程组。（3）列平衡方程解出所需的未知量。若所得结果为负，则说明负号的含义，而不要改变受力图中原来假设的方向。通过讲解书P52-55 例2-7、例2-8、例2-9、例2-10进行详细讲解。例 梁AB的A端为固定铰支座，B端为活动铰支座（图a），梁上受集中力F与力偶M的作用。已知，求支座A、B处的反力。

17、(a) (b) 解 （1）选取研究对象，画受力图。由于已知力和待求力都作用于梁AB上，故选取梁AB为研究对象。梁AB的受力图如图b所示。作用于梁上的主动力有荷载F、M，支座反力有、和，指向假定。这些力组成一个平面任意力系。 （2）列平衡方程，求约束力。本题有一个力偶，由于力偶在任一轴上投影都为零，故力偶在投影方程中不出现；由于力偶对平面内任一点之矩都等于力偶矩，而与矩心的位置无关，故在力矩方程中可直接将力偶列入。取直角坐标系，如图b所示。 由，即：可得：由，即：可得：由，即：可得： 、均为正值，表示力实际的指向与假定的指向相同（若为负值，则表示力实际的指向与假定的指向相反）。 （3）讨论。 由于平衡方程彼此独立，故可先列能解出一个未知量的方程，并视此未知量为已知量，再列其他方程。 本例中的数值有误差或出错，则必定影响到。因此，每个平衡方程最好能单独求解一个未知量。如本例可改用三力矩形式的平