全微分方程的解法

1、恰当方程（全微分方程） 一、概念 二、全微分方程的解法 一、概念一、概念若有全微分形式若有全微分形式( , )( , )( , )dx yP x y dx Q x y dy则则( , )( , )0P x y dxQ x y dy称为全微分方程。称为全微分方程。定义定义: :例例1 1：0 xdxydy221( , )(),2u x yxy令( , ),du x yxdxydy所以是全微分方程所以是全微分方程. .方程方程 是否为全微分方程？是否为全微分方程？解：解：通解则为通解则为 （C C为任意常数）。为任意常数）。( , )x yC问题问题: : （1）如何判断全微分方程？如何判断全微分

2、方程？（2）如何求解全微分方程？如何求解全微分方程？（3）如何转化为全微分方程？如何转化为全微分方程？定理定理1 1 设函数设函数 ( , )P x y和 ( , )Q x y在一个矩形区域在一个矩形区域( , )( , )P x yQ x yyx是全微分方程是全微分方程( , )( , )0P x y dx Q x y dy中连续且有连续的一阶偏导数，则中连续且有连续的一阶偏导数，则 R（1）证明必要性证明必要性证明证明： 因为因为 是全微分方程，是全微分方程，( , )( , )0P x y dx Q x y dy则存在原函数则存在原函数 ，使得使得( , )x y( , )( , )(

3、, )dx yP x y dx Q x y dy 所以所以 ( , ),( , )P x yQ x yxy将以上二式分别对将以上二式分别对 求偏导数，得到求偏导数，得到, x y22,PQx yyy xx 又因为又因为 偏导数连续，偏导数连续，( , ), ( , )P x y Q x y22x yy x ，即即 所以所以 PQyx（2）证明充分性证明充分性PQyx设设，求一个二元函数求一个二元函数 使它满足使它满足( , )x y( , )( , )( , )dx yP x y dx Q x y dy即即( , ),( , )P x yQ x yxy由第一个等式，应有由第一个等式，应有0(

4、, )( , )( )xxx yP x y dxy代入第二个等式，应有代入第二个等式，应有0( , )( )xxP x ydxyyy0( , )( )xxQ x ydxyx这里00( ,)x yR0( , )( )xxQ x ydxyx0( , )( , )( )Q x yQ x yy因此因此0( )( , )yQ x y00( )( , )yyyQ x y dy C，则则因此可以取因此可以取000( , )( , )( , )xyxyx yP x y dxQ x y dy此时此时( , )( , )( , )dx yP x y dx Q x y dy 这里由于这里由于 ，故曲线积分与路径无关

5、。因此，故曲线积分与路径无关。因此PQyx00( , )(,)( , )( , )( , )x yx yx yP x y dx Q x y dy 二、全微分方程的解法二、全微分方程的解法(1) 线积分法线积分法: :或或000( , )( , )( , )xyxyx yP x y dxQ x y dy00( , )(,)( , )( , )( , )x yx yx yP x y dx Q x y dy(2) 偏积分法偏积分法( , ),( , )P x yQ x yxy( , )( , )( )x yP x y dxy第一个等式对第一个等式对 积分积分x代入第二个等式求代入第二个等式求( )

6、y，即可得即可得( , )x y(3)(3)凑微分法凑微分法直接凑微分得直接凑微分得( , )x y例例2 2：验证方程：验证方程2( cos2)(sin2)0yyyxxedxxx edy是全微分方程，并求它的通解。是全微分方程，并求它的通解。由于由于 ( , )cos2yP x yyxxe2( , )sin2yQ x yxx e解解：( , )( , )P x yQ x yyx所以方程为全微分方程。所以方程为全微分方程。( ,)cos2,yP x yxxey( ,)cos2yQ x yxxex(1) (1) 线积分法线积分法: :2sin2yyxx ey2002sin2xyyxdxxx ed

7、y( , )(0,0)( , )( , )( , )x yx yP x y dxQ x y dy故通解为故通解为2sin2yyxx eyC(2) (2) 偏积分法偏积分法: :假设所求全微分函数为假设所求全微分函数为 ( ,)x y,则有则有 ( , )cos2,yx yyxxex2( , )sin2yx yxx ey2( , )( cos2)( )sin( )yyx yyxxe dxyyxx ey代入可得代入可得 因此因此22sin( )sin2yyxx eyxx e从而从而( )2y( )2yy即即2( , )sin2yx yyxx eyC(3) 凑微分法凑微分法: :由于由于 cossi

8、n( sin )yxdxxdyd yx222()yyyxe dxx e dyd x e2(2 )dydy方程的通解为：方程的通解为： 根据二元函数微分的经验根据二元函数微分的经验, ,原方程可写为原方程可写为2( cossin)(2)20yyyxdxxdyxe dxx e dydy2sin2yyxx eyC例例3 3：验证方程：验证方程()(2sin )0 xey dxxy dy是全微分方程，并求它的通解。是全微分方程，并求它的通解。由于由于 解：解：( , )xP x yey( , )2sinQ x yxy( ,)( ,)1P x yQ x yyx所以方程为全微分方程。所以方程为全微分方程。

9、(1) (1) 线积分法线积分法: :12cos2xexyy 00(2sin )xyse dsxs ds( , )(0,0)( , )( , )( , )x yx yP x y dxQ x y dy故通解为故通解为2cosxexyyC(2) (2) 偏积分法偏积分法: :假设所求全微分函数为假设所求全微分函数为 ( ,)x y,则有则有 ( , )xx yeyx( , )2sinx yxyy( , )()( )xxx yey dxeyxy所以所以yxyxsin2)(从而从而yysin2)(yycos2)(即即CyxyeyxFxcos2),(3) (3) 凑微分法凑微分法: :方程的通解为：方程

10、的通解为： 根据二元函数微分的经验根据二元函数微分的经验, ,原方程可写为原方程可写为()2sin0 xe dxydxxdyydy2sin2yyxx eyC练习练习：验证方程：验证方程2(2)(2)0 xxxyeeydxexy dy是全微分方程，并求它的通解。是全微分方程，并求它的通解。方程的通解为：方程的通解为： 22xxeyexyC积分因子法 一、概念 二、积分因子的求法一一、定义定义: :0),( yxm m连续可微函数，使方程连续可微函数，使方程0),(),(),(),( m m m mdyyxQyxdxyxPyx成为全成为全. .微分方程微分方程 则称则称),(yxm m为方程的为方

11、程的积分因子积分因子. .例例1 1验证验证x是方程是方程2(24)0yxdxxdy的积分因子，并求方程的通解。的积分因子，并求方程的通解。 解：解：22(24)0 xyxdxx dy是全微分方程。是全微分方程。方程通解为方程通解为24x yxC1.1.公式法公式法: :()(),PQyxmmxQxQyPyP m mm mm mm m,m求解不容易求解不容易特殊地特殊地: :, 0 ym m,dxdxm mm m lnlnPQQPxyyxmm( (两边同除两边同除 ) )a. 当当 只与只与 有关时有关时，mx 二、积分因子的求法二、积分因子的求法PQQPxyyxmmm11PQQPxyyxmm

12、mm)(1lnxQyPQdxd m m)(xf .)()( dxxfexm m, 0 xm m,dydym mm m )(1lnyPxQPdyd m m)(yg .)()( dyygeym mb. b. 当当 只与只与 有关时，有关时，uy2.2.观察法观察法: : 凭观察凑微分得到凭观察凑微分得到),(yxm m常见的全微分表达式常见的全微分表达式)2(22yxdydyxdx )(xydxdyydx )(2xydxydxxdy )(2yxdyydxxdy )(lnxydxyydxxdy )(arctan22xydyxydxxdy )(ln2222yxdyxydyxdx 一般可选用的积分因子有一般可选用的积分因子有22222221111,xyxyxx yxyyx等。等。xdyydx可选用的积分因子有可选用的积分因子有22221111,xyxyxyxdxydy可选用的积分因子有可选用的积分因子有2211,xy例例2 2解解12(),PQQyxx2( )dxxxem则原方程成为则原方程成为21(3)(2)0,yxdxydyxx21.x.的通解的通解求微分方程求微分方程32(3)(2)0 xy dxx yx dy1.公式法公式法: :223()2ydxyx原方程的通解为原方程的通解为232ydxxdyxdxydyx2232yxyCx2.观察法观察法: :将方程左端重新组合将方程左端重