数字信号处理基础-Z变换

1、光机电一体化技术研究所nZ变换nDFT 离散傅里叶变换nFFT 快速傅里叶变换n数字滤波器光机电一体化技术研究所 Z变换n序列序列 对离散信号的分析和处理时，按一定的先对离散信号的分析和处理时，按一定的先后次序排列，在时间上不连续的一组数的后次序排列，在时间上不连续的一组数的集合。集合。 表示为：表示为： ,nx(n)x光机电一体化技术研究所Z变换n定义定义序列序列x(n)的的Z变换定义为变换定义为0)()()()()()(nnnnznxnxFZXznxnxFZX光机电一体化技术研究所0nTs)nTt ()nT(x) t ().t (x) t (x抽样信号的拉氏变换：dte)nTt ()nT(

2、xdte ) t (x) t (xst00nst0ss 对上式取拉氏变换：交换积分与求和次序：sT0nnsT0nsnTsezz )n(x) z (xzlnT1sez;e )nT(x) s (x或令借助抽样信号的拉氏变换引出Z变换光机电一体化技术研究所z)n(x)n(x,Z),(ZZ)n(xn1的生成函数相应的值数值。数为每一项的系一般为复变数洛朗级数的特例级数的一个幂变换为的列定义：一个离散时间序szesTnnezznxzx 0)()(1T 令0TT2T3T4t) t (xs0234)n(x1n光机电一体化技术研究所典型序列的典型序列的Z Z变换变换 单位样值序列单位样值序列 单位阶跃序列单位

3、阶跃序列 斜变序列斜变序列 指数序列指数序列 正弦余弦序列正弦余弦序列0)()(:nnznxzX单单nnznxzX)()(:双双Z变换定义，典型序列的变换定义，典型序列的Z变换变换光机电一体化技术研究所)0(1)()() 1 (0zznnZTnn0()(2)()()( )(63 :(00,)(0,0)nnrmmrmZTnmnm zr zzpmzmz位 移 性 ）)0 (0) 1() 1()1() 3 (101zzzznznnZTnnnn z0m0z0m典型序列的典型序列的Z变换变换光机电一体化技术研究所1001 ( )( )(1)11nnnnzZT u nu n zzzzz2021) 1()1

4、 (1)()(zzzznnunnuZTnn)(11)(10azazzazzanuaZTnnnn由此可以看出z变换的基本形式：azz)46p(z,z11得两边各乘求导后将上式两边分别对光机电一体化技术研究所000000000020sin() / 2 () / 2sin2 cos1jnjjnjjnjnjjzZT ezezZT ezeZTnZTeejzzjzezezzz正弦序列的正弦序列的 Z 变换变换光机电一体化技术研究所1cos2)cos(2/)(2/)(cos020000000000zzzzezzezzeeZTnZTezzeZTezzeZTjjnjnjjnjjnj余弦序列的余弦序列的 Z 变换

5、变换光机电一体化技术研究所)(cos2)cos(2/)(2/)(cos2020000000000zzzzzezzezzeeZTnZTezzeZTezzeZTjjnjnjnnjnjnjnjn光机电一体化技术研究所0)(nnznx1.根据级数理论2.借助于S平面与Z平面的映射3.几类序列Z变换的收敛域双边序列左边序列右边序列有限长序列4.例子：.z,z.,)z(X)n(x,z:变换同样的可有条件下不同序列在不同的收敛变换而对于双边可能的收敛域这时只有一种一一对应与变换式序列变换对于单边说明Z变换的收敛域光机电一体化技术研究所nnnaa1lim*比项法：设不能肯定。级数发散。级数收敛。, 1, 1,

6、 1nnnalim)(*设：柯西准则捡根法不能肯定。级数发散。级数收敛。, 1, 1, 11.根据级数理论光机电一体化技术研究所是收敛半径。之范围，这里于变换存在时是指数阶的，则它的且当有限的在每个有限的间隔内是如果序列RRzZnnx)(，列之间存在着对应关系指数阶函数和指数阶序为指数阶函数。称时都有使所有的和时存在正数当定义：如有一序列)()(,)(nxAanxNnNaAnnxn光机电一体化技术研究所（1）有限序列：在有限区间内，有非零的有限值的序列）有限序列：在有限区间内，有非零的有限值的序列2121)()(nnnznxzXnnnn收敛域为除了收敛域为除了0和和 的整个的整个 平面平面zR

7、ezImzj)(nx12000nznz 时，和时外，所有z值都收敛几类序列的收敛域光机电一体化技术研究所（2）右边序列：只在）右边序列：只在 区间内，有非零的有限值的序列区间内，有非零的有限值的序列1nn )(nxnnznxzXnnn11)()(11)(lim1)(limxxnnnnnRzzRnxznx收敛半径收敛半径圆外为圆外为收敛域收敛域1xRRezImzj光机电一体化技术研究所（3）左边序列：只在）左边序列：只在 区间内，有非零的有限值的序列区间内，有非零的有限值的序列2nn )(nx22)()(nnznxzXnnn22)()()(nnnmnnmmnmznxzmxzX2)(lim1)(l

8、im1)(lim1xnnnnnnnRnxzznxznx收敛半径收敛半径圆内为收敛域，圆内为收敛域，若若 则不包括则不包括z=0点点02n2xRImzjRez光机电一体化技术研究所（4）双边序列：只在）双边序列：只在 区间内，区间内， 有非零的有限值的序列有非零的有限值的序列n)(nxnznxzXnn)()(01)()()(nnnnznxznxzX圆圆内收敛收敛圆圆外外收敛收敛12xxRR12xxRR有环状收敛域有环状收敛域没有收敛域没有收敛域12xxRRImzjRez光机电一体化技术研究所)8()()31()(. 3)1()31()(. 2)()31()(. 1, nununxnunxnunx

9、Znnn极图。并标标明收敛域，画出变换求下列序列的onnnn20)31( )(. 4nx光机电一体化技术研究所)(31)()1 (nunxn右边序列右边序列31311131)(101zzzzzXnn311xR31 z311xR31ImzjRez圆外为收敛域，圆外为收敛域，若若 n0 则不包括则不包括z=0点点 光机电一体化技术研究所) 1(31)()2(nunxn左边序列左边序列313111)3(13131)(101111zzzzzzzXmmmmnmnn001311)3(lim2znRzzxnnn收敛半径收敛半径圆内为收敛域，圆内为收敛域，若若 则不包括则不包括z=0点点0n2xR31Imzj

10、Rez 光机电一体化技术研究所)8()(31)()3(nununxn有限长序列有限长序列)()(11)(31)(31783181318131701zzzzzzzXnn收敛域为除了收敛域为除了 0 和和 的整个的整个 平面平面zRezImzj3131283180)(82zzezezKjkj8个零点个零点7阶极点阶极点一阶极点一阶极点 光机电一体化技术研究所)(kf0)31(kk02kk.)z31()z31(z311 .)z2()z2(.z)k(f)z(F312112131kk解：双双边边序序列列：. 4光机电一体化技术研究所22lim212, 1)2(lim1kkkkkkzzzzZ或条件是的正幂

11、无穷级数第一项仅含有3131lim1)31(limkkkkkkkzzZ或的负幂的无穷级数第二项仅含有312)(zzF的绝对收敛域为光机电一体化技术研究所RezImz的圆环。的绝对收敛域为312)( zzF312光机电一体化技术研究所Z变换与拉普拉斯的关系1.从 S 平面到 Z 平面的映射zlnT1s jsjrez jTjTjTT)j(sTreezeeezes2T2Teers 光机电一体化技术研究所j平面s00r单位圆平面zzReziimj12zjImzRe12平面的映射平面与zs光机电一体化技术研究所域特性时域与拉氏变换四种典型信号s. 2j0)e1 (s10stj011s1j011s10ja

12、bbs1as1全平面s11ba0t)tt (u) t (u01ttt0001) t (uet11) t(uet) t( ue) t ( uebtat时限信号右边信号左边信号双边信号光机电一体化技术研究所0n)n(n0)n(uann0) 1n(uann0)1n(ub)n(uann时限序列右边序列左边序列双边序列zRezImj0zRezImj0zRezImj0zRezImj01)n(azzazzbzzazz全平面zaz az bza域特性时域与离散序列四种典型信号z. 3光机电一体化技术研究所:zs律遵从如下关系式关系，其基本规和时域波形特征子对应平面极点的位置平面极点的位置、Tjjere)(sTezTerT光机电一体化技术研究所单位园光机电一体化技术研究所注意图中对应关系。为简化表达式取之后有当选定.2, 1,2TSsTT2402480sss是多值对应。映射并非单值而将是周期重复，此后的情况已增至时，当s-z光机电一体化技术研究所平面的位置s波形特征平面极点的位置z度幅率频0虚轴等幅单位圆1r 0右半平面0左半平面0实轴减幅圆外1r 圆内1r 无振荡增幅)(0 正实轴)( 共轭上下移水平振荡频率呈扇形展开T2s当此后将重复达到最高频率负实轴光机电一体化技术研究所:z. 4变换收敛域小结拉氏变换和.,zz,S. 1长序列这对应着时域中是有限平面为有限变换收敛域平面限拉氏变换的