必修四平面向量数量积的物理背景及其含义

1、平面对量数量积的物理背景及其含义 学习目标 1.明白平面对量数量积的物理背景，即物体在力f 的作用下产生位移s 所做的功.2. 把握平面对量数量积的定义和运算律，懂得其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个 向量的夹角以及判定两个向量是否垂直学问点一平面对量数量积的定义1 定义：已知两个非零向量a 与 b，我们把数量|a|b|cos 叫做 a 与 b 的数量积 或内积 ，记作 a·b，即 a·b|a|b|cos ，其中 是 a 与 b 的夹角2 规定：零向量与任一向量的数量积为0.学问点二向量数量积的几何意义1投影的概念oa如下列图： a， b，过 b 作 bb1 垂直于

2、直线oa，垂足为b1，就 ob1 |b|cos .ob|b |cos 叫做向量b 在 a 方向上的投影，|a|cos 叫做向量a 在 b 方向上的投影2数量积的几何意义：a·b 的几何意义是数量积a·b 等于 a 的长度 |a|与 b 在 a 方向上的投影|b|cos 的乘积摸索|a| 1， |b| 2， a 与 b 的夹角120°，就 a 在 b 方向上的投影为 ， b 在 a方向上的投影为 答案 1 12解析a 在 b 方向上的投影|a|cos 1× cos 120° 1；2b 在 a 方向上的投影|b|cos 2× cos 12

3、0学问点三平面对量数量积的性质° 1.依据向量数量积的定义，补充完整数量积的性质设 a 与 b 都是非零向量，为 a 与 b 的夹角1 当 a， b 0 时， a·b |a|b|；当 a， b 时， a·b |a|b|；当 a， b 2时， a·b0；2 a·a|a |2 或|a|a·aa2；3cos a·b；|a|b|4|a·|b |a|b|.5 a b2 a2 2a·b b2 ； 6 a b2 a2 2a·b b2 ； 7 a b ·a b a2 b2.学问点四向量数量积的运算律1

4、 a·bb·a交换律 ；2 a ·b a·b a·b结合律 ； 3 a b ·c a·cb·c安排律 摸索某同学由实数乘法的三条性质：ab 0. a 0 或 b 0；ab bc，b 0. ac； abcabc；类比得到向量数量积的三条结论：a·b 0. a 0 或 b 0；a·b b·c， b 0. a c； a·bc ab·c，这三条结论成立吗？请简要说明答案 不成立，由于任意垂直的两向量a 与 b 都有 a·b 0.不成立，如下列图.虽然 a·

5、;b b·c，但 a c.不成立， 由于 a·bc 表示一个与c 共线的向量， 而 ab·c表示一个与a 共线的向量， c 与 a 不肯定共线， 所以 a·bc ab·c，一般情形下不会成立题型一求两向量的数量积例 1已知 |a| 4， |b| 5，当 1a b； 2 a b； 3 a 与 b 的夹角为30°时，分别求a 与 b 的数量积解1 a b，如 a 与 b 同向，就 0°， a·b|a| ·b|·cos 0 °4× 520；如 a 与 b 反向，就 180°

6、;，a·b |a| ·b|cos 180 °4× 5× 1 20.2 当 ab 时， 90°， a·b|a| ·b|cos 90 °0.3 当 a 与 b 的夹角为30°时， a·b|a| ·b|cos 30°4× 5×3103.2跟踪训练1已知 |a|4， |b| 7，且向量a 与 b 的夹角为120°，求 2a3b ·a3 2b解2a 3b ·a3 2b6a2 4a·b 9b·a6b26|a|

7、2 5a·b 6|b|26× 42 5× 4× 7·cos 120° 6× 72 268.题型二求向量的模，求例 2已知 |a| |b| 5，向量 a 与 b 的夹角为 |a b|， |a b|.3解a·b|a|b|cos 5× 5× 1 25.22|a b|a b 2|a|2 2a·b|b|225 2× 25 25 53.2|a b|a b 2|a|2 2a·b|b|22525 2× 2 25 5.跟踪训练2已知向量a 与 b 的夹角为120°

8、，且 |a| 4， |b|2，求： 1|a b|；2|a b ·a 2b|.解由已知 a·b |a|b|cos 4× 2× cos 120 ° 4， a2 |a|2 16， b2 |b|2 4.1 |ab|2 ab2 a22a·b b216 2× 44 12，|a b| 23.2 a b ·a 2b a2 a·b 2b216 4 2×4 12，|a b ·a 2b|12.题型三求向量的夹角例 3设 n 和 m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a 2m n 与 b 2n

9、3m 的夹角解 |n | |m| 1 且 m 与 n 夹角是 60°，.m·n |m|n |cos 60 °1× 1×1122|a | |2m n|2m n 24× 1 14m·n4× 11 4× 17，2|b | |2n 3m|2n 3m 24× 19× 1 12m·n4× 19× 1 12×17， 2a·b2m n ·n2 3m m·n 6m2 2n21 6× 1 2× 1 7.22设 a 与

10、 b 的夹角为，就 7cos a·b|a|b 21.7×72，故又 0 ， ， 23a 与 b 的夹角为 2.3跟踪训练3已知 |a|5，|b| 4，且 a 与 b 的夹角为60°，就当 k 为何值时，向量kab 与 a2b 垂直？解要想 ka b a 2b，就需 ka b ·a2b 0，即 k|a|2 2k 1a·b2|b|2 0，52k2 k 1× 5× 4× cos 60 °2× 42 0，解得 k 14，即当 k14时，向量ka b 与 a2b 垂直1515平面对量数量积安排律的证明例

11、4下面是证明安排律a b ·c a·c b·c 的过程，请你补充完整证明：当a b 与向量 c 夹角为直角时，如图1所示，向量 a b 在向量 c 方向上的投影|a b|cosa b， c 0； 向量 a 在向量 c 方向上的投影为|a |cosa， c oa1，向量 b 在 c 方向上的投影为|b|cosb，c ob1，易知 oa1 与 ob1 互为相反数，即oa1 ob1 0.所以 |a|cosa， c |b|cos b， c |a b|cosa b， c两边乘以 |c|得：|a |c|cosa， c |b|c|cosb， c |a b|c|cosa b， c

12、，a·cb·c a b ·c，即 a b ·c a·c b·c.当 a b 与向量 c 夹角为锐角时， 如图 2 所示，向量 a b 在向量 c 方向上的投影为|a b|cosa b， c oc 1；向量 a 在向量 c 方向上的投影为图 2|a |cosa， c oa1，向量 b 在 c 方向上的投影为|b|cosb，c ob1，oc 1 oa1 a1c1， a1c1 ob1，oc 1 oa1 ob1，|a b|cosa b， c |a|cosa， c |b|cosb，c 两边同乘以 |c|得：|a b|c|cosa b， c |a

13、|c |cosa， c |b|c|cosb， c，即 a b ·ca·cb·c.当 a b 与向量 c 夹角为钝角时，如图3所示，同理可证得a b ·ca·cb·c.图31已知向量a， b 和实数 ，以下选项中错误选项 a |a|a·ab |a·|b |a|b|c a·b a· bd |a·|b |a|b|2已知 |a|1， |b|2，且 a b与 a 垂直，就a 与 b 的夹角是 a 60°b 30°c 135 °d 45°3如向量a， b 满

14、意 |a| |b| 1， a 与 b 的夹角为120 °，就 a·aa·b .4给出以下结论：如 a 0，a·b0，就 b 0；如 a·bb·，c就 a c； a·bc ab·c； a· ba·c ca·b0.如 |a b| |a b|，就 a b.其中正确结论的序号是 一 、 选 择 题 1|a| 2，|b| 4，向量 a 与向量 b 的夹角为120 °，就向量 a 在向量 b 方向上的投影等于 a 3b 2c 2d 12已知 a b， |a| 2， |b |3，且 3a

15、2b 与 a b 垂直，就 等于 3332a. 2b 2c±d 13已知向量a， b 满意 a·b 0， |a|1， |b| 2，就 |2a b|等于 a 0b 22c 4d 84已知 |a| 2|b| 0，且关于x 的方程 x2 |a|x a·b0 有实根，就a 与 b 的夹角的取值范畴是a 0 ， 6b 3， c ，323 d 6， 5如非零向量a， b 满意 |a| |b|，2 ab ·b 0，就 a 与 b 的夹角为 a 30°b 60°c 120 °d 150 °6如向量a 与 b 的夹角为60°

16、;， |b| 4， a 2b ·a 3b 72，就向量a 的模为 a 2b 4c 6d 12二、填空题37已知向量a 在向量 b 方向上的投影是2， |b| 3，就 a·b的值为 8已知向量a 与 b 的夹角为120 °，且 |a| |b|4，那么 b· a2 b的值为 9设非零向量a、b、c 满意 |a| |b| |c |， a b c，就 a， b .10已知 a 是平面内的单位向量，如向量 b 满意 b·a b 0，就|b|的取值范畴是 三、解答题11已知 |a| 4， |b| 8， a 与 b 的夹角是60°，运算： 12 a

17、 b ·a2 b； 2|4 a 2b|.12已知非零向量a，b，且 a 3b 与 7a5b 垂直，a4b 与 7a2b 垂直， 求 a 与 b 的夹角13已知 |a|1， |b| 1， a，b 的夹角为120 °，运算向量2a b 在向量 a b 方向上的投影当堂检测答案1 答案b解析由于 |a·|b |a| ·b|cos |为向量 a 与 b 的夹角 |a| ·b|·|cos|，当且仅当 0 或 时，使 |a·b| |a| ·b|，|故 b 错2 答案c解析 a b ·aa2a·b 0，a&#

18、183;b a2 1，a·b 1 2cosa， b |a|b|1×2 2 .又 a， b 0 °， 180°， a， b 135°.3 答案12.解析a·a a·b12 1× 1×cos 120 ° 124 答案解析由于两个非零向量a、b 垂直时， a·b0，故 不正确；当 a 0，bc 时，a·bb·c0，但不能得出ac，故 不正确； 向量 a·bc 与 c 共线， a b·c与 a 共线，故 不正确；正确， a· b a·

19、c c a·b a·b a·c a·ca·b 0.正确， |ab| |a b|. a b2 a b2. a·b 0. a b.课时精练答案一、挑选题1.答案d解析a 在 b 方向上的投影是|a |cos 2× cos 1202 答案a° 1.解析 3a 2b ·ab3a2 2 3a·b2b2.3a2 2b2 12 18 0. 323 答案b解析|2a b|2 2 ab24|a|2 4a·b |b|2 4× 1 4× 0 48， |2ab| 22.4 答案b解析由于

20、a2 4|a| ·b |cos 为向量 a 与 b 的夹角 如方程有实根，就有0 即 a2 4|a| ·b|cos 0，又|a| 2|b|，4|b|2 8|b|2cos 0，cos 1，又 20 ， .35 答案c解析由2a b ·b0，得 2a·bb20，设 a 与 b 的夹角为，2|a|b|cos |b|2 0.cos |b|2|b|221， 120°.2|a|b |2|b|26 答案c解析 a·b|a| ·|b·cos 60 °2|a|， a 2b ·a 3b |a|2 6|b|2 a&#

21、183;b|a|2 2|a| 96 72.|a| 6.二、填空题7 答案2解析a·b|a| ·b|cosa， b |b|a|cosa，b3×2 2.38 答案0解析b·a2 b 2a·b|b|22× 4× 4× cos 120 ° 42 0.9 答案120 °解析 a b c， |c |2 |a b|2 a2 2a·b b2.又|a| |b| |c|， 2a·b b2，即 2|a|b|cosa， b |b|2.，cosa， b 12 a， b 120°. 10 答案0,1解析b·a