矩阵n次方的几种求法的归纳

1、矩阵n次方的几种求法1. 利用定义法Aaij,Bbkj, 则 Ccij,其 cijai1b1jai 2b2j.ain bnjsnn msmnaikbkj 称为 A 与 B 的乘积，记为 C=AB ，则由定义可以看出矩阵 A k1与B的乘积C的第i行第j列的元素等于第一个矩阵 A的第i行与第个矩阵 B 的第 j 列的对应元素乘积之和，且由定义知：第一个矩阵的51306210，求 AB3451020044，B1,2,3,4例 1:已知矩阵 A1020 1 334列数与第二个矩阵的行数要相 同解：设 C AB= cij 3 4 ，其中 i 1,2,3 ；34c310516334015c3201123

2、4422216c34001031由矩阵乘积的定义知：c111 5 2 6 5 3 3 032c121122543231c131 3 2 1 5 5 3 030211 5 0 6 2 3 1 01c22110224129c231 3 0 1 2 5 1 07c241000211026将这些值代入矩阵 C 中得：343231305C AB= 197215 22 163则矩阵A的n次方也可利用定义的方法来求解。2. 利用矩阵的分块来求解这类方法主要是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成，就如矩阵 由数组成的一样在运算中将这些小矩阵当做数一样来处理，再由矩阵 乘法 的 定义 来

3、求 解 这些小 矩阵 的 乘积所构成的 矩 阵。 即设Aaijsn,Bbkj,把A，nmB 分解成一些小矩阵：A11KA1iB11KB1rAMOM， BMOM ，其中Aj是Si nj小矩阵且At1LAtiBi1LBiri1,2.t，j1,2.l，且 s1s2.StS ， n1 n2. ni n ; Bij 是njmk小矩阵且 j 1,2.丨,k 1,2.r ;且 口n2.nin ,C11KC1rm1 m2.mr m ;令 CAB=MOM ，其中 Cij 是 Si mj 小Ct1LCtr矩阵且 i1,2.t ， j1,2,., r，且 S1S2StS， m1m2. mr m;其中CjAj A2B

4、2j. AilBij。这里我们应注意：矩阵A列的分法必须与矩阵B行的分法一致1。1 2 1 24545B11 ，其中En100B 1010写成010B2142420010606251242A1213 ，A220 6 ，EB1145 ，B210628101002例2 :已知矩阵A0101001200001002501013解：将A00128000064 5125345，求ABB 108426 45065 2100 25010 113写成巳1A12001 28A21A22000 0h1645由矩阵乘积法则知:AB=BiiA2B21A21 B11A22 B21 4 2由矩阵加法和乘积法则知1 :9

5、368 25AB9 520 36 42则矩阵A的n次方的求解也可利用以上方法来求解。3利用数学归纳法求解这种方法与矩阵定 义 1 和数学归纳 法 3 相结合，从而找出规律再求解，但是这种方法比较适合低阶且有规律的方阵 n次方的运算2 o例 3 ：已知 A= cossinsin cos求 An解：当 n 2时cossin2cossincossinsincossincossincos22cos sin2cos sincos2sin22cos sin2cos2sinsin2cos2当 n 3时cossin3cossin2cossinsincossincossincoscos2 cossin2sinc

6、os2 sinsin2coscos2 sinsin2coscos2 cossin2sincos3 sin3 sin3 cos3所以假设 An = cosnsinnsinncosn当 k 1 时成立，假设当n cos Ansinsincosknn1cossin1时成立；则当sincoscos n 1 sin n 1sin n 1 cos n 1cos sin sincos由矩阵乘法定及三角函数知： An=cosnsinnsinn则假设成立。cosnn cosn sinn 所以 An =sinn cosn4利用分拆法求解 这类方法主要是将一个矩阵分解成一个单位矩阵和另外一个矩阵 之和再求 解 1

7、，且另外这个矩阵的 n 次方计算起来比较简 单 2 。110例 4 ：已知 A= 011，求 An001010解： A EB，其中B001 ，矩阵 E 为单位阵且 E2 E000n n 1 2 2 n nEB BE B ； 故 An= E BE+C1nB Cn2B2 L CnnBn010010001由B200100100000000000001202010001010B3 001001000001000000000000000000000则 n 3 时，Bn=0。故AnECn1BCn2B2由矩阵加法运算法则知1:21 n 1CnAn = 01 n 10 0 15. 利用相似矩阵求解（利用对角矩

8、阵来求）定义：设矩阵A , B为数域P上两个n级矩阵，如果可以找到数域P 上的n级可逆阵X，使得矩阵B X 1AX，就说A与B相似1。如果矩 阵A或B有一个可以化成对角矩阵则计算比较简便。而判断矩阵 A可 对角化的条件有1 :1）矩阵A可对角化的必要条件是矩阵 A有n个不同的特征值2）矩阵A可对角化的充要条件是矩阵A有个n线性无关的特征向量3）在复数域上矩阵A没有重根而求矩阵A的特征值和特征向量的方法 有1 :1）求矩阵A特征多项式| E A在数域P中的全部根，这些根是矩阵A的全部特征值。把这些所求的特征值逐个的代入方程组E A X 0中，对于每一个特征值，解方程组E A X 0,求出一组基础

9、解系，那么这个基础解系就是属于这个特征值的特征向量。再利用判别法判断矩阵A是否可对角化。122例5:已知矩阵A 212，求 An221 .3 31 2 2解：易知矩阵的A特征多项式E A =2 1 22 2 16由行列式计算方法知：E A= 2 13113所以矩阵A的特征值为1, 1,3。当特征值为1时，解方程E A X 0 ,由齐次线性方程组的计算 方法知：E A X 0的基础解系为a1= 11 1 ；所以矩阵A属于特征值1的全部特征向量为k1 11 1，其中k10。当特征值为1时，解方程 E A X 0，由齐次线性方程组的计 算方法知：E A X 0的基础解系为a2= 1 1 0 ;所以矩

10、阵A属于特征值1的全部特征向量为k2 11 0 ，其中 k20。当特征值为3时，解方程3EAX0,由齐次线性方程组的计算方法知：3E A X 0的基础解系为a?：=0 11 ，所以矩阵A属于特征值3的全部特征向量为k3 011，其中k30。则由矩阵A可对角化的条件知:矩阵A可对角化且对角阵为100B0100031 10令 C a1a2a3 =1'11，由求逆矩阵的方法知：1 01 33111C101111019因为线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的知： C 1AC B所以 C 1ACC 1AnCBn，则10nBn 0 100n003 3 303n3311nn1 n3n13n2）对方

11、阵 A ，设 F1F1En 做初等变换，化成 D P 其中 D为上三角阵，则矩阵D 主对角线上由 An CBnC 1,由矩阵的乘法运算法则知：1An 3n 11 3n33元素乘积的 的多项式的根即为A的特征根i。对矩阵A的任一特征 根 i ，代入 D P 中，若 D i 中非零向量构成一满秩矩阵，则D i行向量所对应的P i中的行向量i即为i的特征向量；否则，继续施行初等行变换，使得 D i 中非零向量构成一满秩矩阵，则D i中零向量所对应的 P i中的行向量i即为i的特征向量8。这类问题所涉及的定理是：对任意方阵 A的特征矩阵F经过行变 换，可化为上三角矩阵 G ，且 G 主对角线上元素乘积

12、 的多项211例 6 ：已知矩阵 A121，求 An11233211100解： FE3121010，112001作初等行变换12101021110011200112101002431020011011121010011011D0041113式的根即为矩阵 A 的特征值。由上述定理知：矩阵 A 的特征值为 1（二重），4当 1 时， D 1 P 1 别法知：矩阵的特征向量为：当 4 时， D 4 P 4别法知：矩阵 A 的特征向量为：000011，由 2）中判000112011，2112。121010033011，由 2）中判0001111 1 1 0 1 01 0 0则由相似矩阵的条件知：矩阵

13、与对角矩阵相似且对角矩阵为 0 100 040则存在可逆阵T11由求可逆阵的方法知：1110011使得T 1AT01021004由 AnT 0 1 0 TT 010 T 1 知:4n111An= 1 4n 11 4n 21 4n 13336. 利用若当形矩阵求解这类方法主要是运用任何一个 n级复矩阵都相似一个若当形矩阵 和利用相似矩阵的相关定理及化若当形矩阵的方法1。例 7 ：已知矩阵 A126103，求 An114 3 3126解： E A13 ，由求初等因子的方法知：114E A 的初等因子为 1，21 2；所以矩阵 A 的若当标准形为：100J 0 1 0011则存在可逆阵P，使得P 1

14、AP J，则AP PJ 设 P a1 a2 a3 ，其中 a1 ， a2 ， a3 为列向量将矩阵 P 代入 APPJ 得 Aa1 a1 ， Aa2a2a3 ， Aa3a3226 x10由齐次线性方程组：A E X 0 ，即113 x20，113 x30则 a1 3 0 1 ， a3 2 1 1 是齐次线性方程组的解且 a1 ， a3 是线性无关的，则 a1 ， a3 是由齐次线性方程组： A E X 0的基 础解系。由： A E X a3 有解 a210 0 且a1 ，a2 ， a3 线性无关。100由数学归纳法知：Jn0100n10 1 1由求可逆阵的方法知：P 11130 1 0由 P

15、1AP J 知：A PJP6n3n1 2n 2n则 An PJnP 1= n 1 n7利用多项式求解3n 1 33主要运用带余除法即：对于数域P x中任意两个多项式g x，其中 g x 0,定有P中的多项式q x成立，其中f x和存在使得=0,并且这样的q x和r x是唯一的17.1特征多项式无重根1 2例8:已知矩阵A 022 1001 33，求An解：设f 为矩阵A的特征多项式，则由计算行列式的方法知:由带余除法及辗转相除法则:设x ;由所以设，其中b c。将特征多项式f0的根代入nf qr中得:2n4a2b c1a bc1a bc1解得a - 2n 1，b0，1 c -n4 2；33所以

16、nfq1 .22 114 233由哈密顿一凯莱定 理1 : A是数域P上的一个n n级矩阵, fE A是矩阵A的特征多项式则f A 0 。将A代入n fq12n1 21 42n中得33An12n 12 1A2-4 2n E33160由矩阵乘法的定义知：A2040 ，0513 3所以由矩阵的加法运算法则知:12n 1 20An02n005 2n 11337.2特征多项式有重根1 1 0例9:已知矩阵A 4 3 0 ，求A10 233解：设f 为矩阵A的特征多项式，则f由行列式计算方法知:由带余除法及辗转相除法知:其中将特征多项式f;由x3，所以设0的根代入n中得:4a 2b1c 2n因为1是f0

17、的2重根。由定理：如果不可约多项式P x的k重因式（k1），则它的微商f x是k-1重因式.则1是f的根3。则由导数定义及性质：对r等号两边同时求导得：n则将1代入n中得：2a b n ；则由a b c4a 2b c2a b12n解得：a 2nn 1， b 3nnc 2 2n。由哈密顿一凯莱定理知:则将矩阵 A 代入 n f qr中得：An 2n n 1 A23n22n 1 A2n 2n E由矩阵乘法运算法则知：320A2850114 3 3由矩阵的加法运算法则知：12nn0An4n2n 102n12nn2n n 12nJo o8.总结上述七种方法求解矩阵 n 次方的乘积适用于求低阶矩阵的 n

18、 次方 的乘积适用于求低阶矩阵 n 次方的计算，而对于高阶矩阵的求解则比较 困难。利用方块、拆项、数学归纳法和相似矩阵的方法求解适用于比 较特殊的一些矩阵的求解；利用定义、若尔当形矩阵和多项式的方法 对于普通的矩阵都适用， 但利用定义的方法对于求矩阵 n 次方的计算比 较复杂；而利用多项式和若尔当形矩阵的方法有利于对所学知识的及 时巩固、能加深对所知识的理解，而这两种方法提供了解这类问题行 之有效的方法且容易掌握。参考文献1 同济大学应用数学系，高等代学，高等教育出版社， 2008.2 钱吉林 . 高等代数解题精粹 . 北京 : 中央民族大学出版社 ,2002.3 华东师范大学数学系 . 数学分析(第二版) . 高等教育出版社 .4 刘嘉 . 矩阵相似及其应用 . 中国西部科技 ,2010,(26)5 袁进 . 特征值与特征向量 . 高等数学研究 ,2004,(02)6 张 斌 斌 . 矩 阵 的 特 征 值 与 特 征 向 量 的 研 究 . 才 智 ,2010,(08)7 施劲 松 , 刘 剑平 . 矩 阵 特 征值、 特 征向量的确定 . 大学数 学 ,2003,(06). 第 19 卷第