相交线与平行线知识点总结及例题解析

1、相交线与平行线知识点总结例题解析知识点1【相交线】在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有两种：平行和相交1、相交线相交线的定义：两条直线交于一点，我们称这两条直线相交.相对的，我们称这两条宜 线为相交线.知识点2【对顶角和邻补角】两条相交线在形成的角中有对顶角和邻补角两类，它们具有特殊的数量关系和位置关系。1、邻补角（1）邻补角的概念：两个角有一条公共边，它们的列一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角叫做互为邻补角.如图，Z1与Z2有一条公共边0D,它们的另一条边0A、0B互为反向延长线，则Z1与Z2互为邻补角（2）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°。例如：若Z1与Z2互

2、为邻补角，则Z1+Z2 二 180°注意：互为邻补角的两个角一泄互补，但互补的两个角不一泄互为邻补角；相交的两条直线会产生4对邻补角。2、对顶角（1）对顶角的概念：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角.如图，Z3与Z4有一个公共顶点0,并且Z3的两边OB、0C分别是Z4的两边0A、0D的反向延长线，则Z1与Z2互为对顶角.（2）对顶角的性质：对顶角相等.注意：两条相交的直线，会产生2对对顶角。3. 邻补角.对顶角成对出现，在相交直线中.一个角对顶角只有一个，但邻补角有两个.邻 补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两

3、个角的一种位置关系.它们都是在两直线相 交的前提下形成的.注意：如果多条直线相交于同一点，那么产生的邻补角的数量是对顶角的2倍。【例题1如图所示，Z1的邻补角是（）A、ZBOCB、ZBOE 和 ZAOFC、ZAOFD、ZBOC 和 ZAOF【解析】据相邻且互补的两个角互为邻补角进行判断，Z1是直线AB. EF相交于点0形成的角，所以它的邻补角与直线CD无关，即它的邻补角是ZBOE和ZAOF,故选B【答案】B【例题2】下面四个图形中，Z1与Z2是邻补角的是（）【答案】D【例题3】如图所示，Z1和Z2是对顶角的图形有（A、1个B、2个C、3个D、4个【解析】考察对顶角的概念【答案】A【例题4】下列

4、说法中:因为Z1与Z2是对顶角，所以Z1=Z2;因为Z1与Z2是邻补角.所以Z1=Z2;因为Z1与Z2不是对顶角，所以Z1HZ2;因为Z1与Z2不是邻补角，所以Z1+Z2H180,其中正确的有 （填序号）【解析】对顶角、邻补角【答案】【例题5】如图1,直线AB、CD、EF都经过点0,图中有几对对顶角？ 几对邻补角？【解析】考察对顶角的概念。AB和CD可以形成2对对顶角，CD和EF可以形成2对对顶角，AB和EF可以形成2对对顶角，共6对对顶角，邻补角的个数是对顶角的2倍，邻补角为12 对【答案】6对：12对【例题6】(1)已知Z1与Z2是对顶角，Z1与Z3是邻补角，则Z2+Z3二(2) 若Z a

5、与ZB是对顶角，Z a的补角是35°，则ZB的度数为(3) 若Z1的对顶角是Z2, Z2的邻补角是Z3, Z3=45° ,则Z1的度数为.【解析】根据对顶角相等、邻补角互补的性质求解。【答案】(1) 180(2) 135°(3) 135°【例题7】如图，直线AB、CD相交于点0, ZB0D分成两部分直接写岀图中ZA0C的对顶角为, ZB0E的邻补角为(2)若 ZA0C二70° ,且ZBOE: ZE0D=2:3,求ZA0E 的度数。【答案】(l)ZB0D;ZA0E (2)152°【例题8】如图1-2,若ZA0B与ZB0C是一对邻补角，0

6、D平分ZAOB, 0E在ZB0C内部，并 且ZBOEZCOE, ZD0E=72°。求ZC0E 的度数.dr【解析】设ZE0B二x度，ZE0C二2x度，把角用未知数表示出来，建立x的方程，用代数方法 解几何问题是一种常用的方法。设ZE0B=x,则ZEOC二2x,根据ZA0B+ZB0C=180o (等量关 系)，ZAOB二2ZB0D二2 (72-x) , ZBOC二ZBOE+ZEOC二3x,解得 x=36° ,故ZE0C=2x=72° 【答案】72°【例题9】回答下列问题:C(1)三条直线AB, C§, EF相交于一点0(如图1)卫图形中井有几对对

7、顶角(平角除外)？ 几对邻补角参(2)四条直线AB, CFOE几对邻补角？ c卸(3) m 条直线 al, a2> a3.交土点o(如I絶57图形中壮看对对顶角(平角除外)？D图2-am-1, am相交于点0,则图中一共有几对对顶角(平角除外)？几对邻补角？【解析】本题考查了对顶角、邻补角的立义。（1）根据对顶角、邻补角的泄义得到3X2=6对对项角，12对邻补角；（2）根据对顶角、邻补角的泄义得到4X3二12对对项角，24对邻补角；（3）根据前面的规律得到：有n条不同直线相交于一点，可以得到n （n-1）对对顶角， 2n （n-1）对邻补角.【答案】（1）有6对对顶角，12对邻补角；（2

8、）有12对对顶角，24对邻补角；（3）由m条直线时，有m （m-l）对对顶角，2n （n-1）对邻补角；知识点3【垂线】1、垂线的定义当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中 一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。如图：AB丄CD,垂足为0。CA OBD垂直的符号记作：“丄”，读作：“垂直于”，如：AB丄CD,读作“AB垂直于CD” .注: 垂直是特殊的相交.2、垂线的画法（工具:三角板或量角器）步骤：（1）一靠:用三角尺一条直角边靠在已知直线上（2）二移:移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上（3）三画:沿着这条直角边画线，不要画成给人的印象是

9、线段的线2、垂线的性质在同一平而内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.注意：'过一点”的点在 直线上或直线外都可以.3.垂线段（I）垂线段：从直线1外一点P向直线1作垂线，垂足记为0,则线段P0叫做点P到直线1 的垂线段。"P（2）垂线段的性质：垂线段最短.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。注意：实际问题中涉及线路最短问题时，苴理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂 线段最短”这两个中去选择.现实生活中开沟引水，牵牛喝水都是“垂线段最短” 性质的应用。4. 点到直线的距离（1）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。（2

10、）点到宜线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段它只能量出或求出，而不能说画出，画岀的是垂线段这个图形.【例题10】两点之间，直线最短：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短;连接两点的线段，叫做两点的距离;从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做 点到直线的距离;若AC二BC,则点C必泄是线段AB的中点。其中正确的序号是【解析】两点之间，直线最短，说法错误，应是线段最短;连接两点的线段,叫做两点的距 离，说法错误,应是连接两点的线段的长度，叫做两点的距离。【答案】【例题11】下列判断正确的是（）A、从直线外一点到已知直线的垂线段叫做这点到已知直线的距离

11、：B、过直线外一点画已知直线的垂线，垂线的长度就是这点到已知直线的距离：C、画出已知直线外一点到已知直线的距离；D、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中垂线段最短.【解析】A垂线段的长度；B垂线无限长；C距离只能测量或求岀，不能说画出，画出的是 图形，比如线段、直线。【答案】D【例题12如图所示,在这些图形中，分别过点C画直线AB的垂线，垂足为0AC(1)(2)【答案】解如图所示【例题13如图,BC丄AC, CB=8cm, AC=6cm, AB二10cm,那么点A到BC的距离是，点B到AC的距离是d点A、B两点的距禽是，点C到AB的距离是【解析】点C到AB的距离可以利用等面积法求解【答案】6

12、cm； 8cm； 10cm： 4cm【例题14】如图，已知AB、CD、EF相交于点0,AB丄CD,0G平分ZAOE, ZF0D=28°，求ZCOE、ZAOE. ZAOG 的度数。【答案】ZCOE二28° , ZA0E=118° , ZA0G=59°【例题15如图,0A是北偏东30方向的一条射线,若射线0B与射线0A垂直，则0B的方向是【答案】北偏西50。【例题16如图，ZA0C与ZB0C是邻补角,0D、0E分别是ZA0C与ZB0C的平分线,试判断0D与0E的位置关系,并说明理由。【答案】射线0D与0E互相垂直.理由如下：TOD是ZA0C的平分线，0E是Z

13、B0C的平分线A ZC0D=iZA0C, ZC0E丄ZBOC2 2V ZA0C+ZB0C=180° , -ZA0c4zB0C=90o ,2 2ZCOD+ZCOE二90° , ZDOE二90° 0D 丄 0E【例题17如图所示，小刚准备在C处牵牛到河边AB饮水呻zB/iD cC（1）请用三角板作出小刚的最短路线（不考虑其他因素）（2）如图乙，若小刚在C处牵牛到河边AB饮水，并且必须到河边D处观察河水的水质情况，请 作出小刚行走的最短路线（不写作法，保留作图痕迹）【答案】（1）过C作AB的垂线，垂足与C点之间的线段为最短路线，垂线段最短.(2)连结CD得线段CD就是最

14、短线段，两点之间线段最短。【例题18如图，计划把河水引到水池A中，先作AB丄CD,垂足为B,然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是CD【答案】垂线段最短【例题191如下图所示，公路1边上有两个工厂B, C,公路外有工厂A,要在公路边上修建货 运站P,使P到三个工厂的路程和最短,货运站P应建在何处?请在图中画出来，并说明理由。【答案】由于货运站P修建在公路边上，根据“两点之间，线段最短”这一性质，可知点P应 在线段BC上，再根据“垂线段最短”的性质，可知需要过点A作1的垂线，垂足就是点P的 位置，如图所示。知识点4【同位角、内错角、同旁内角】1、同位角、内错角、同旁内角的定义两条直

15、线被第三条直线所截形成八个角（三线八角），它们构成了同位角、内错角与同旁内角。如下图，直线a, b被直线1所截。（1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同一方, 并且在第三条直线（截线）的同侧，则这样一对角叫做同位角.例如：Z1与Z5都在截线1的右侧，且在被截直线a, b的上方，叫做同位角（位巻相同）（2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间， 并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角.例如：Z5与Z3在截线1的两旁（交错），在被截直线a, b之间（内），叫做内错角（位置 在内且交错）（3）同旁内角：两条直线被第三条直

16、线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间， 并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角.例如：Z5与Z4在截线1的同侧（同旁），在被截直线a, b之间（内），叫做同旁内角。2、同位角、内错角、同旁内角的辨别判断两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，应从角的两边入手，同位角的边构成“F “形，内错角的边构成“Z “形，同旁内角的边构成“U”形.3、区分截线与被截线"三线八角”中没有公共顶点的两角，共线的一边是截线，两角的另一边即为被截的两条 直线。注：（1）同位角，内错角，同旁内角是指具有特殊位宜关系的两角，是成对出现的“三线八角"中共有4对同位角,2对内错角

17、,2对冋旁内角【例题20】如图，描述同位角、内错角、同旁内角关系正确的是（）AA、Z1与Z4内错角B、Z2与Z3是同位角C、Z3与Z4是同旁内角D、Z2与Z4是同旁内角【答案】C【例题21】下图中，Z1和Z2是同位角的是（）【答案】D）个。【例题22】如图所示，图中能*jZ1构成同位角的角的个数有（【答案】3【例题23】如图1,图2中，Z1和Z2, Z3和Z4各是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们各是什么位置关系的角？图1图2【解析】此题考査同位角、内错角、同旁内角以及截线的概念。找到2个角共线的线，此为 截线。找到角的两边，通过判断边组成的形状判断是什么角。【答案】图1中：Z1和Z2是直

18、线AB和CD被直线BD所截而成的，是内错角：Z3和Z4是直线AD和BC被宜线BD所截而成的，是内错角：图2中：Z1和Z2是直线AB和CD被直线BC所截而成的，是同旁内角；Z3和Z4是直线AD和BC被直线AB所截而成的，是同位角。【例题24】如图所示,有下列五种说法:Z1和Z4是冋位角;Z3和Z5是内错角;Z2和Z6是同旁内角；Z5和Z2是同位角;Z1和Z3是同旁内角；其中正确的序号有DC【答案】【例题25】如图所示，Z1与上2是（A、同位角 B、内错角 C、互为补角D、同旁内角【答案】D【例题26】如图，在Zl, Z2, Z3. Z4中，哪些角是同位角？哪些角是內错角？哪些角是同旁內角？它们分别是哪两条直线被哪条宜线所截形成的？【答案】解：Z1和Z3是DE和BC被