矩阵练习(带答案)

1、For personal use only in study and research; not for commercialuse一、填空题:1.若A , B为同阶方阵，则(A B)(A-B) =A2 -B2的充分必要条件是AB =BA100 ”6.设 A =020，则Ae03>1 00 -20 000132.若n阶方阵A，B，C满足ABC =1,1为n阶单位矩阵，则 C J = AB0 B'10 A 八3.设A , B都是n阶可逆矩阵，若C =，则C =A<A0>e 0丿广2-rrt r11 1 A4.设 A =，则A =<-1 1 d 21-11、广 12

2、3广 331、5.设 A =,B =.则 A + 2B =J1一1丿厂1 一241 -3 71 -1 3)20 ”TmT''22、7.设矩阵A =,B =,A为A的转置，则A B =20<2 0 1 丿<01丿I 61丿Z1 2 0'8. A = 312 , B为秩等于2的三阶方阵，则 AB的秩等于<0 1 b、判断题(每小题 2分，共12 分)1.设A、B均为n阶方阵，则 (AB)k =AkBk (k为正整数)2. 设A,B,C为n阶方阵，若ABC =1，则C二B%。 (x )3. 设A、B为n阶方阵，若 AB不可逆，贝U A, B都不可逆。 (x)

3、4. 设A、B为n阶方阵，且AB =0，其中A = 0，则B = 0。 ( x)5. 设 A、B、C 都是 n 阶矩阵，且 AB = I ,CA = I，则 B = C。 ( V )6. 若A是n阶对角矩阵，B为n阶矩阵，且AB = AC，贝y B也是n阶对角矩阵。(x)7. 两个矩阵A与B，如果秩(A )等于秩(B )，那么A与B等价。 (x )8. 矩阵A的秩与它的转置矩阵 AT的秩相等。 (V 三、选择题(每小题3分，共12分)1. 设A为3x4矩阵，若矩阵 A的秩为2,则矩阵3AT的秩等于(B )(A) 1(B) 2(C) 3(D) 42. 假定A、B、C为n阶方阵，关于矩阵乘法，下述

4、哪一个是错误的(C )(A)ABC =A(BC)(B)kAB = A( kB)(C)AB =BA(D)C(A B)二CA CB3.已知A、B为n阶方阵，则下列性质不正确的是(A)(A)AB =BA(B)(AB)C = A(BC)(C)(A B)C 二 AC BC(D)C(A B) =CA CB4.设PAQ = I，其中P、Q、A都是n阶方阵，则(D)(B)(C) A二 PQ(D) A' =QP5.设n阶方阵A，如果与所有的(B )n阶方阵B都可以交换，即AB = BA，那么A必定是(A)可逆矩阵(C)单位矩阵6.两个n阶初等矩阵的乘积为(A)初等矩阵(C)可逆矩阵(B)数量矩阵(D)反

5、对称矩阵(B)单位矩阵(D)不可逆矩阵(A) AC(B) BC7.有矩阵A 2，B2 3 , C33，下列哪一个运算不可行(A )(C) ABC(D) AB _ C8设A与B为矩阵且AC=CB ,C为m n的矩阵，则 A与B分别是什么矩阵(D )(A) n m m n(B)m n n m(C) n n mm(D)m m n n9. 设A为n阶可逆矩阵，则下列不正确的是(B )(A) AJ可逆(B) I * A可逆(B) -2A可逆(D) A2可逆10. A,B均n阶为方阵，下面等式成立的是(B )(A)AB=BA(B)(A B)T = ATBT(C)(AB)J= AJBJ( D) (AB)，二

6、11. 设A, B都是n阶矩阵，且 AB =0，则下列一定成立的是(C )(B)代B都不可逆(D) A B = 0(A) A =0或 B =0(C)代B中至少有一个不可逆12. 设A, B是两个n阶可逆方阵，则 'abt 尸 等于(A(A) AT J BT 4(B)BTAT 4(C)(B，T (A)T( D) (b叮(AT t13. 若A, B都是n阶方阵，且A,B都可逆，则下述错误的是(A) A B也可逆(C) B 4也可逆(B) AB也可逆_14(D) A B也可逆16.设A, B都是n阶方阵，则下列结论正确的是(D )(A) AB(C) BA14. A,B为可逆矩阵，则下述不一定

7、可逆的是(B )(B) A B(D) BAB15设A, B均为n阶方阵，下列情况下能推出 A是单位矩阵的是(D )(A) AB =B(C) AA = I(B) AB = BA(D)= I(A) 若A和B都是对称矩阵，则 AB也是对称矩阵(B) 若 A = 0 且 B = 0，则 AB = 0(C) 若AB是奇异矩阵，则 A和B都是奇异矩阵(D) 若AB是可逆矩阵，则 A和B都是可逆矩阵17.若A与B均为n阶非零矩阵，且AB 二 0，则(A)(A) R(A) : n(B) R(A)二 n(C) R( A) = 0(D) R( B)二 0四、解答题:2-1-3B 二2 2 1,一344-3 4 3

8、-121.给定矩阵A二1T1，求B A及A解:_123|_ 1 -1 -11-4952242-1-3=-6 12 8'3 0 2 03 3 一344 一i-486 一BTA 二012121121210q13X2.求解矩阵方程110X =432<011丿25丿2_2X = 210-4一1A1-11110=一 -111211>J-111 13.求解矩阵方程 XA = B，其中A=021 -1-120-111011解：因为 A 一6 所以A可逆.2分）_12 T31313（4分）<-1故1-1141333211X =BA =一333254363 一010、卩00、卩-43、

9、4.求解下面矩阵方程中的矩阵X :100X00十20-11°01丿10丿-20丿解:010、*1 0 0 '5-43令A =1 0 0,B =0 0 1C =2 0-1，则代B均可逆，且<0 0 b卫1 0J 一2 °010"100"A=100,b'=001e0b1。10>z2 1 1 '所以 X = ACB，= 134：45.设矩阵A=1J 0 22 3"1 0，求矩阵B，使其满足矩阵方程AB = A + 2B.2 3解：AB =A 2B 即（A2I）B =A广3一8-6、29-6<-2129广223

10、'广1而(A -2I)-=1 -10=1-1 2b一1-4所以B =(A 2I)-1A =1-5L16-4-3-5-33分64丿-3、1广423、-3|1104丿I-123丿五、证明题1.若A是反对称阵，证明 A是对称阵。证明：因为 A是反对称阵，所以 A =.-A (3分)(A2)t =(AA)t =AtAt = (- A)( - A) = A ,所以 A 为对称阵。(5 分)2.设矩阵AB及A B都可逆，证明 Aa B也可逆。证明：因为A,B , A + B可逆，故A，B,(A+B)存在， 3分所以有11-41-1(A B )B A B A =(A B I) B A A= (AB

11、+A，A)(B +A f A4-AJ(B A) B A A二 AA = I1故A B可逆，其逆为BAB A3.已知代 B 为 n 阶方阵，且 A2 = A, B2 = B , (A - B)2 = A B , 证明：AB BA = 0证明：(A _ B)2 = A2 B2 _ AB _ BA = A B 4分4. 设A,B为两个n阶方阵，试证明：（A_ B）（A B） = A? _ B2的充要条件是 AB二BA。证明：充分性：因为AB=BA所以（A - B）（A B）二 A2 AB - BA - B2 二 A2 - B2 4 分必要性：因为（A _ B）（A B）二 A2 _ B2，即 A2

12、AB _ BA _ B2 二 A2 _ B2所以AB二BA 8分5. A是反对称矩阵，B是对称矩阵，证明：AB是反对称矩阵的充要条件是AB = BA。证明：充分性：因为 A -A, B B , AB二BA所以（AB）t = Bt At = -BA = -AB,即AB是反对称矩阵4分必要性：因为 AB是反对称矩阵，即（AB）T二-AB又（AB）T 二 BTAT =BA所以AB = BA 8分仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pe

13、rs?nlichen f u r Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l ' e tude et la recherche uniquementa des fins personnelles; pasa des fins commerciales.to员bko gA.nrogeHKO TOpMenob3ymrnflCH6yHeHuac egoB u HHuefigoHMUCnO 员 B30BaTbCEb KOMMepqeckuxue 贝 ex.仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwend