量子力学试题(卷)(2套)

1、这里，h? = h?（。）+H?，C是一个常数,C << 1,用微扰公式求能量至二级修2002级量子力学期末考试试题和答案、简答与证明：（共25分）1、什么是德布罗意波？并写出德布罗意波的表达式。（4分）2、什么样的状态是定态，其性质是什么？ （6分）3、全同费米子的波函数有什么特点？并写出两个费米子组成的全同粒子体系的波函数。（4分）22、4、证明i（?xX-x?x）是厄密算符（5分）5、简述测不准关系的主要内容，并写出坐标 x和动量？*之间的测不准关 二、（15分）已知厄密算符A，吼满足尺2 =/=1,且AB?+BA = 0,求1、在A表象中算符A、g的矩阵表示；2、在B表象中

2、算符A的本征值和本征函数；3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵S三、（15分）设氢原子在t=0时处于状态1.1. .1 （r,0） =:721（）丫10（二）R31（r）Y°（巳 尸 R21（r）Y1,S,）2V2J2,求1、t=0时氢原子的E、？2和？z的取值几率和平均值；2、t>0时体系的波函数，并给出此时体系的E、？2和？z的取值几率和平均值。四、（15分）考虑一个三维状态空间的问题，在取定的一组正交基下哈密顿算符1 00 W0 C0、H?=030+C00由下面的矩阵给出9 0-2； 、0 0C正值，并与精确解相比较 五、（10分）令S+ = Sx+iSy, S =Sx-i

3、Sy,分别求s+和s作用于&的本征态+1M0J 和么？2/ 、1,的结果，并根据所得的结果说明 S+和S-的重要性是什答案. i.(pr-Et)一、1、描写自由粒子的平面波称为德布罗意波；其表达式：W =Ae2、定态：定态是能量取确定值的状态。性质：定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变。3、全同费米子的波函数是反对称波函数。两个费米子组成的全同粒子体系的波以=3 Si(qi)%(q2)-*(q2)*2(qi)函数为：V204、i(?2xx?2)=i?2,x = i?x?x,x十 ipx,x?x=2 的x,因为？x 是厄密算符，所以22i(?xX-X?x)是厄密算符。

4、5、设？和G的对易关系Fd-G? = i?, k是一个算符或普通的数。以F、G和k依次表示p、6和k在态中的平均值，令Ap = g-F, a(? = G_G, 1-2(I? )2 ( (? )2 一 一则有4 ,这个关系式称为测不准关系。h一 一？、 ， 、，一， x :?x 一坐标x和动量？*之间的测不准关系为：2、解1、由于A2 =1,所以算符A的本征值是±1,因为在A表象中，算符AA(A)=0T的矩阵是对角矩阵，所以，在 A表象中算符A的矩阵是：设在A表象中算符8的矩阵是B(A)=b11b12利用A?+BA = 0得:b12b1 1 = b2 2 = 0 -由于E?2=1 ,b

5、120Jb12b2100b21b2,b121b21b12由于B?是厄密算符，B?+=B?.1b12,*<b12.*b120 )b12.* b12令bl2- ei Je其中6为任意实常数自在A表象中的矩阵表示式为:e&0,2、A(B)=类似地，可求出在B表象中算符A的矩阵表示为：0 ei6Y«B表象中算符A的本征方程为:-1 -ei、： = 00eiCe'，e邙'、e%0 口和O不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零，即e"=0二九2 -1 = 0 二八=±1对九=1有:<2 <1,对儿=T有:1- - - _1A-.2

6、AC eL1所以，在B表象中算符A的本征值是±1本征函数为3、类似地，在A表象中算符g的本征值是-1本征函数为-1从A表象到B表象的幺正变换矩阵就是将算符B?在A表象中的本征函数按列排成的矩阵，即ei$ e-322. v. 1 1Ene2 1、解：已知氢原子的本征解为:2a° n(n = 1,2,3 )九m（r,e,9） = Rni（r）Ym（0,<p）,将中（r,0）向氢原子的本征态展开,、Cnlm（0）lm（r,：）1、"（r，0）=nlm,不为零的展开系数只有三个，即_111C210(0)c310 (0) -c21j(0)-2 ,<2 ,<

7、2 ,显然，题中所给的状态并未归4化，容易求出归一化常数为：、5 ,于是归一化的展开系数为:C210 ( 0)c310 (0)142小、 1,422 15 =一5 C21(0)= 2 ；5、51232W(E2,0) =- - = - W(E3,0)=(1)能量的取值几率5 5 5,5,-32E = -E2 E3平均值为： 55(2)?2取值几率只有：W(2环,0)=1,平均值e=2炉123-2K 2（3） ?2的取值几率为:W(0 ,0) = - = 一W(",0) =-?z =-5 5 5,5 ,平均值 5cnlm (0) nlm (r , 71 , ) exp( -二 Ent)2

8、、t > 0时体系的波函数为：丫(r，t)= nmE3t)= C210（0） 210（r, 1, ：） , C21（0） 21a（r, ：）exp（ ，E2t） , C310（0） 310（r户，：）exp（ ,=、1|屯10（几仇平）+祗心1（几仇平）沱不（Ezt）J*10（r,eW）exp（"Est）由于E、？2和？z皆为守恒量，所以它们的取值几率和平均值均不随时间改变， 与t=0时的结果是一样的。四、解：（1） H?的本征值是方程det（H?-月）=0的根1 -九C00= C3九0=（C2九）（片一4九十3 C2）00C2九结果：，3 = C-2,九= 2±d1

9、+C2 ,这是H?的精确解。(0)(1)(2)根据题意，体系能级的二级修正可写为：En = En +&*En由题设可知：能量的一级修正为:Hu =0 H22 =0 H33 " C对于二级修正，有:e22)e32)H 21H12E20) _ EH31H13 70)P?o) E3一 E1Ei(2)H13H31H12H21- E(0) _ e(0)E(0) _ e(0) 一H 23 H 32C2C2+=3-1 3-(-2)2C20+c21 -3 1-(-2)2H 32 H 23' 770)P70)E3 一 E2=0所以,C2E1 = 1 一- 2E2 =3C2TE3 - -

10、2 c12=2 _(1 C )2五、解:hS2iSy2 二 Sx1 i-2七)121 :- i-i(一22所以S甘口 S f别作用于Sz的本征态1结果表明：称S 为自旋升算符是合理的，因为它将)+如02/的结果是z方向的自旋从一92增加到2-'=2 Z ,1 C2将九=2±m1+C展开：3 1C21 -C22=%=2，九2=2 , (C «1) (3)对比可知，根据微扰公式求得的能量二级修正值，与精确求解的结果是吻合的%2。同样，称S 为自旋降算符，因为它将z方向的自旋从年2降到-82。S +和S希许我们从Sz的一个本征态跳跃到另一个本征态，它们在自旋的计算中是非常

11、有用的B卷一、（共25分）1、厄密算符的本征值和本征矢有什么特点？ （4分）2、什么样的状态是束缚态、简并态和偶字称态？ （6分）3、全同玻色子的波函数有什么特点？并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数。（4分）4、在一维情况下，求宇称算符P?和坐标x的共同本征函数。（6分）5、简述测不准关系的主要内容，并写出时间t和能量E的测不准关系。（5分）二、（15分）已知厄密算符尺白，满足A2 =声=1 ,且AB?+BA=0,求1、在A表象中算符A、g的矩阵表示；2、在A表象中算符B的本征值和本征函数；3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵So三、（15分）线性谐振子在t=。时处于状态%x。）= J|

12、j1 -2axexp（ -2x2）0f =印、阮'3如- 2 ，其中仆，求1、在t =0时体系能量的取值几率和平均值。2、t>0时体系波函数和体系能量 的取值几率及平均值四、（15分）当九为一小量时，利用微扰论求矩阵12 九 0、2九2 十九 3九<03九3+2九的本征值至九的二次项，本征矢至人的一次项。五、（10分）一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用.玻色子 只有两个可能的单粒子态.问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单 粒子波函数构成？答案一、1、厄密算符的本征值是实数，本征矢是正交、归一和完备的。2、在无穷远处为零的状态为束缚态；简并态是指一个本

13、征值对应一个以上本征 函数的情况；将波函数中坐标变量改变符号，若得到的新函数与原来的波函数相 同，则称该波函数具有偶字称。3、全同玻色子的波函数是对称波函数。两个玻色子组成的全同粒子体系的波函%如&凡。)+Q(q2H2(qi)斯为- 24、宇称算符P?和坐标x的对易关系是：出，x = -2xP?,将其代入测不准关系知， 只有当xP? = 0时的状态才可能使P?和x同时具有确定值，由6(x)=6(-x)知，波函 数8(x)满足上述要求，所以 Wx)是算符P?和x的共同本征函数。5、设？和G的对易关系FG?-(?F? = i?, k是一个算符或普通的数。以F、G和k依次表示P、6和k在态中

14、中的平均值，令 !? = !?-F, A(? = G-G, 1-24 ,这个关系式称为测不准关系(甲)2 (洁)2 一 一ht-1 E - 一时间t和能量E之间的测不准关系为：2、1、由于A2=1,所以算符A的本征值是±1,因为在A表象中，算符及的矩阵是对角矩阵，所以，在 A表象中算符A的矩阵是:A(a)=1<00一1-1B(A)=由口设在a表象中算符8的矩阵是lb21 b22人 利用A?+BA = o得:'ob12 " o 丽 "b2b21o ' ,b11 = b2 2= 0;由于 82=1,所以出210 八b210 ) I 0b21bl2

15、 .)bi2,1b12 =；b21;由于目是厄密算符,E? + =E?, , <b12,i令昵=e。，( 6为任意实常数)得g在A表象中的矩阵表示式为:2、在A表象中算符E?的本征方程为:0e'eiei邸©%ot巴=ei列式为零，即e'B对九=1有：-：ei ： = 0e% 一九P =0 a和口不同时为零的条件是二0、2.二-1=0. - -1/ei6)e对比=T有:1- 1BFACe-11 ) * b120 JB(A) =bi2 =0e"*b12eiC上述方程的系数行所以，在A表象中算符目的本征值是±1 ,本征函数为 & J3、从A

16、表象到B表象的幺正变换矩阵就是将算符在在A表象中的本征函数按列S =排成的矩阵，即rid e e石11-1,三、解：1、t = 0的情况：已知线谐振子的能量本征解为:1En =(n 2)' (n =0,12 )：n(x)=. n ' exp(-： 2x2)Hn(： x)2nn!.二当 n=。，。：'°(x) =二 eXP(-1 2x2)1(x)=2 二-：2 2、(- x)exp( t- x )(x,0)=于是t =0时的波函数可写成：,；：0(x) -，2 ；i(x)'3,容易验证它是归一化的波函数，于是t = 0时的能量取值几率为：1 -13 -2

17、W(E0 =一 ,0) =一 W(E1 二一 ，0)二23 ,23 ,能量取其他值的几率皆为零-127 .E = - E。, 一 E七 一能量的平均值为：3362、t >0时体系波函数中(x,t) =3<p0(x) e)p(-pt) - A?1(x)exp(3it)故 t A 0时体四、解：将矩阵改写成:H?二 H?o田二1。0 3:02九<03-能量的零级近似为:(0)El=1e20) = 2e30) = 3能量的一级修正为:Ei（1）E21)E31)能量的二级修正为:EiHE(0) _ E© e(0) - E(0)24/"显然，哈密顿量为守恒量，它的取值几率和平均值不随时间改变, 系能量的取值几率和平均值与t=0的结果完全相同。H22(0)匚(0) 'E2 一 E1(0)(0)E2- E3H32H32E30)- E；+(0) 匚(0) _ 匚(0)1 E3 一匚29E3 ： 3 2'9'2:(0)2所以体系近似到二级的能量为：E1-4九2,巳=2 +九-5九2.：(0)1先求出Ho属于本征值1、2和3的本征函数分别为:：(0)30 70H ik -二(0)利用波函数的一级修正公式i-k(0)(0) iEk - Ei,可求出波函数的一级修正为:0、%=2九1%12、=九01-39、中3&qu