高中数学选修11人教A版练习：第二章圆锥曲线与方程 章末评估验收二 Word版含解析

1、起章末评估验收(二)(时间：时间：120 分钟分钟满分：满分：150 分分)一一、选择题选择题(本大题共本大题共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 60 分分在每小题在每小题给出的四个选项中给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的)1双曲线双曲线 3x2y29 的实轴长是的实轴长是()a2 3b2 2c4 3d4 2解析：解析：因为因为 3x2y29，所以所以x23y291，所以所以 a 3，所以所以 2a2 3.答案：答案：a2抛物线抛物线 y18x2的准线方程是的准线方程是()ax132by2cy132dy2解析：解析：将将 y18x2化为标准形式为化

2、为标准形式为 x28y，故准线方程为故准线方程为 y2.答案：答案：b3已知椭圆的中心在原点已知椭圆的中心在原点，离心率离心率 e12，且它的一个焦点与抛物且它的一个焦点与抛物线线 y24x 的焦点重合的焦点重合，则此椭圆方程为则此椭圆方程为()a.x24y231b.x28y261c.x22y21d.x24y21解析：解析：因为抛物线焦点为因为抛物线焦点为(1，0)，所以所以 c1，又椭圆的离心率又椭圆的离心率 e12，所以所以 a2，b2a2c23，所以所以 椭圆的方程为椭圆的方程为x24y231.答案：答案：a4已知曲线已知曲线x2ay2b1 和直线和直线 axby10(a，b 为非零实数

3、为非零实数)，在同一坐标系中在同一坐标系中，它们的大致图象可能为它们的大致图象可能为(如图所示如图所示)()解析：解析：若若 a0 且且 b0，则曲线表示椭圆则曲线表示椭圆，直线直线 axby10 在在x，y 轴上的截距分别为轴上的截距分别为1a，1b，均为小于零的数均为小于零的数，故故 a，b 选项都选项都不满足；若不满足；若 a0 且且 b0，则曲线表示双曲线则曲线表示双曲线，直线直线 axby10 在在x，y 轴上的截距分别为轴上的截距分别为1a，1b，所以在所以在 x 轴上的截距小于轴上的截距小于 0，在在 y轴上的截距大于轴上的截距大于 0.答案：答案：c5 若实数若实数 k 满足满

4、足 0k5， 则曲线则曲线x216y25k1 与曲线与曲线x216ky251 的的()a实半轴长相等实半轴长相等b虚半轴长相等虚半轴长相等c离心率相等离心率相等d焦距相等焦距相等解析：解析：因为因为 0k5，所以两曲线都表示双曲线所以两曲线都表示双曲线在在x216y25k1 中中，a216，b25k；在在x216ky251 中中，a216k，b25.由由 c2a2b2，知两双曲线的焦距相等知两双曲线的焦距相等答案：答案：d6已知抛物线已知抛物线 c：y2x 的焦点为的焦点为 f，a(x0，y0)是是 c 上一点上一点，|af|54x0，则则 x0等于等于()a4b2c1d8解析解析： 如图所示

5、如图所示， 易易知知 f14，0， 过过 a 作作 aa准准线线 l， 则则|af|aa|，所以所以54x0 x0p2x014，所以所以 x01.答案：答案：c7若一个椭圆长轴的长度若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等比数列短轴的长度和焦距成等比数列，则该则该椭圆的离心率是椭圆的离心率是()a.1 52b.512c.1 52d.512解析：解析：依题意有依题意有(2b)22a2c，即即 4b24ac，所以所以 b2ac.又又 b2a2c2，所以所以 a2c2ac.两边同除以两边同除以 a2，得得 1ca2ca0.即有即有 e2e10，解得解得 e512或或 e 512(舍去舍去)答案：答

6、案：b8已知圆已知圆 m：x2y22mx30(m0)的半径为的半径为 2，椭圆椭圆 c：x2a2y231 的左焦点为的左焦点为 f(c，0)，若垂直于若垂直于 x 轴且经过轴且经过 f 点的直线点的直线 l 与与圆圆 m 相切相切，则则 a 的值为的值为()a.34b1c2d4解析：解析：圆圆 m 的方程可化为的方程可化为(xm)2y23m2，则由题意得则由题意得 m234，即即 m21(m0)，所以所以 m1，则圆心则圆心 m 的坐标为的坐标为(1，0)由题意知直线由题意知直线 l 的方程为的方程为 xc，又因为直线又因为直线 l 与圆与圆 m 相切相切，所以所以 c1，所以所以 a231，

7、所以，所以 a2.答案：答案：c9 抛物线抛物线 yx2上的点到直线上的点到直线 4x3y80 的距离的最小值是的距离的最小值是()a.43b.75c.85d3解析：解析：设与直线设与直线 4x3y80 平行的直线方程为平行的直线方程为 4x3yc0，与抛物线联立方程组得与抛物线联立方程组得4x3yc0，yx2，消去消去 y 得得 3x24xc0， (4)243(c)0，解得解得 c43，则抛物线与直线则抛物线与直线 4x3y80 平行的切线是平行的切线是 4x3y430，问题转化为平行线间的距离问题转化为平行线间的距离，利用两平行线间的距离公式利用两平行线间的距离公式得得 d|438|423

8、243.答案：答案：a10已知点已知点 m(3，0)，n(3，0)，b(1，0)，动圆动圆 c 与直线与直线 mn切于点切于点 b，过过 m，n 与圆与圆 c 相切的两直线相交于相切的两直线相交于 p 点点，则点则点 p 的轨迹的轨迹方程为方程为()ax2y281(x1)bx2y281(x1)cx2y281(x0)dx2y2101(x1)解析：解析：设圆与直线设圆与直线 pm，pn 分别相切于分别相切于 e，f，则则|pe|pf|，|me|mb|，|nb|nf|.所以所以 |pm|pn|(|pe|me|)(|pf|nf|)|mb|nb|422.所以点所以点 p 的轨迹是以的轨迹是以 m(3，0

9、)，n(3，0)为焦点的双曲线右支为焦点的双曲线右支(去去掉掉 b 点点)，且且 a1，所以所以 c3，b28，所以双曲线方程是所以双曲线方程是 x2y281(x1)答案：答案：a11若点若点 o 和点和点 f 分别为椭圆分别为椭圆x24y231 的中心和左焦点的中心和左焦点，点点 p为椭圆上的任意一点为椭圆上的任意一点，则则opfp的最大值为的最大值为()a2b3c6d8解析：解析：由椭圆方程得由椭圆方程得 f(1，0)，设设 p(x0，y0)，则则opfp(x0，y0)(x01，y0)x20 x0y20.因为因为 p 为椭圆上一点为椭圆上一点，所以所以x204y2031.所以所以 opfp

10、x20 x031x204 x204x0314( (x02)22.因为因为2x02，所以所以 opfp的最大值在的最大值在 x02 时取得时取得，且最大值等于且最大值等于 6.答案：答案：c12从双曲线从双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左焦点的左焦点 f1引圆引圆 x2y2a2的切线的切线，切点为切点为 t.延长延长 f1t 交双交双曲线右支于曲线右支于 p 点点，若若 m 为线段为线段 f1p的中点的中点，o 为坐标原点为坐标原点，则则|mo|mt|与与 ba 的大小关系为的大小关系为()a|mo|mt|bab|mo|mt|bac|mo|mt|bad不确定不确定解析：解析：如图如图，设

11、双曲线的右焦点为设双曲线的右焦点为 f2，连接连接 pf2.因为因为 o、m 分别为分别为 f1f2、f1p 的中点的中点，所以所以 om 是是pf1f2的中位线的中位线，所以所以 |om|12|pf2|，由双曲线的定义由双曲线的定义，知知|pf1|pf2|2a，所以所以 |pf2|pf1|2a，所以所以 |mo|mt|12(|pf1|2a)|mt|12|pf1|mt|a|mf1|mt|a|tf1|a |of21|ot|2ac2a2aba.答案：答案：b二、填空题二、填空题(本大题共本大题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分把答案填分把答案填在题中横线上在题中横线上)13双

12、曲线双曲线x216y291 的两条渐近线的方程为的两条渐近线的方程为_解析：解析：双曲线双曲线x216y291 的渐近线方程为的渐近线方程为x216y290，即即 y34x.答案：答案：y34x14已知过抛物线已知过抛物线 y24x 的焦点的焦点 f 的直线交该抛物线于的直线交该抛物线于 a、b 两两点点，|af|2，则则|bf|_解析：解析：设设 a 点点(x1，y1)，b 点点(x2，y2)，抛物线抛物线 y24x，焦点为焦点为(1，0)，准线为准线为 x1，|af|x1(1)2，所以所以 x11.则则 af 与与 x 轴垂轴垂直直，|bf|af|2.答案：答案：215如图如图，椭圆的中心

13、在坐标原点椭圆的中心在坐标原点，当当fbab时时，此类椭圆称为此类椭圆称为“黄金椭圆黄金椭圆 ”，可推算出可推算出“黄金椭圆黄金椭圆”的离心率的离心率 e_解析：解析：设椭圆方程为设椭圆方程为x2a2y2b21(ab0)由题意得由题意得|ab|2a2b2，|bf| b2c2a，|af|ac.因为因为bfba，所以所以 |ab|2|bf|2|af|2，所以所以 (ac)2a2b2a2，所以所以 c2aca20.所以所以 e2e10，又又 0e1，所以所以 e512.答案：答案：51216抛物线抛物线 y2x 上存在两点关于直线上存在两点关于直线 ym(x3)对称对称，则则 m 的的范围是范围是_

14、解析：解析：设抛物线上两点设抛物线上两点 a(x1，y1)，b(x2，y2)关于直线关于直线 ym(x3)对称对称，a，b 中点中点 m(x，y)，则当则当 m0 时时，有直线有直线 y0，显然存在点显然存在点关于它对称关于它对称当当 m0 时时，y21x1，y22x2，y1y2x1x21y1y212y1m，所以所以 ym2，所以所以 m 的坐标为的坐标为(52，m2)，因为因为 m 在抛物线内在抛物线内，则有则有52(m2)2，得得 10m 10且且 m0，综上所述综上所述，m( 10， 10)答案：答案：( 10， 10)三、解答题三、解答题(本大题共本大题共 6 小题小题，共共 70 分

15、解答应写出文字说明、分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤)17(本小题满分本小题满分 10 分分)已知双曲线已知双曲线与椭圆有共同的焦点与椭圆有共同的焦点 f1(0，5)，f2(0，5)，点点 p(3，4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求双求双曲线与椭圆的方程曲线与椭圆的方程解解： 由共同的焦点由共同的焦点 f1(0， 5)， f2(0， 5)， 可设椭圆方程为可设椭圆方程为y2a2x2a2251，双曲线方程为双曲线方程为y2b2x225b21(b0)点点 p(3，4)在椭圆上在椭圆上，则则16a29a2251，得得 a240，双曲线过

16、点双曲线过点 p(3，4)的渐近线方程为的渐近线方程为 yb25b2x，即即 4b25b23，得得 b216.所以椭圆方程为所以椭圆方程为y240 x2151，双曲线方程为双曲线方程为y216x291.18(本小题满分本小题满分 12 分分)如图如图，直线直线 l：yxb 与抛物线与抛物线 c：x24y 相切于点相切于点 a.(1)求实数求实数 b 的值；的值；(2)求以点求以点 a 为圆心为圆心，且与抛物线且与抛物线 c 的准线相切的圆的方程的准线相切的圆的方程解：解：(1)由由yxb，x24y得得 x24x4b0，(*)因为直线因为直线 l 与抛物线与抛物线 c 相切相切，所以所以(4)2

17、4(4b)0，解得解得 b1.(2)由由(1)可知可知 b1，故方程故方程(*)即为即为 x24x40，解得解得 x2，代入代入 x24y，得得 y1.故点故点 a(2，1)，因为圆因为圆 a 与抛物线与抛物线 c 的准线相切的准线相切，所以圆所以圆 a 的半径的半径 r 等于圆心等于圆心 a 与抛物线的准线与抛物线的准线 y1 的距离的距离， 即即r|1(1)|2，所以圆所以圆 a 的方程为的方程为(x2)2(y1)24.19(本小题满分本小题满分 12 分分)已知双曲线方程为已知双曲线方程为 x2y221，问问：是否存是否存在过点在过点 m(1，1)的直线的直线 l，使得直线与双曲线交于使

18、得直线与双曲线交于 p，q 两点两点，且且 m 是是线段线段 pq 的中点？如果存在的中点？如果存在，求出直线的方程求出直线的方程，如果不存在如果不存在，请说明请说明理由理由解：解：显然显然 x1 不满足条件不满足条件，设设 l：y1k(x1)联立联立 y1k(x1)和和 x2y221，消去消去 y 得得(2k2)x2(2k22k)xk22k30，设设 p(x1，y1)，q(x2，y2)，由由0，得得 k32，x1x22（kk2）2k2，由由 m(1，1)为为 pq 的中点的中点，得得x1x22kk22k21，解得解得 k2，这与这与 k32矛盾矛盾，所以不存在满足条件的直线所以不存在满足条件

19、的直线 l.20(本小题满分本小题满分 12 分分)已知椭圆已知椭圆 g：x2a2y2b21(ab0)的离心率的离心率为为63， 右焦点为右焦点为(2 2， 0)， 斜率为斜率为 1 的直线的直线 l 与椭圆与椭圆 g 交于交于 a、 b 两点两点，以以 ab 为底边作等腰三角形为底边作等腰三角形，顶点为顶点为 p(3，2)(1)求椭圆求椭圆 g 的方程；的方程；(2)求求pab 的面积的面积解：解：(1)由已知得由已知得 c2 2，ca63.解得解得 a2 3，又又 b2a2c24.所以椭圆所以椭圆 g 的方程为的方程为x212y241.( (2)设直线设直线 l 的方程为的方程为 yxm.

20、由由yxm，x212y241得得 4x26mx3m2120.设设 a、b 的坐标分别为的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x1x2)，ab 中点为中点为 e(x0，y0)，则则 x0 x1x223m4，y0 x0mm4；因为因为 ab 是等腰是等腰pab 的底边的底边，所以所以 peab.所以所以 pe 的斜率的斜率 k2m433m41，解得解得 m2.此时方程此时方程为为 4x212x0.解得解得 x13，x20.所以所以 y11，y22.所以所以|ab|3 2.此时此时，点点 p(3，2)到直线到直线 ab：xy20 的距离的距离 d|322|23 22，所以所以pab 的面积的

21、面积 s12|ab|d92.21(本小题满分本小题满分 12 分分)点点 a，b 分别是椭圆分别是椭圆x236y2201 长轴的左长轴的左、右端点右端点，点点 f 是椭圆的右焦点是椭圆的右焦点，点点 p 在椭圆上在椭圆上，且位于且位于 x 轴上方轴上方，papf.(1)求点求点 p 的坐标；的坐标；(2)设设 m 是椭圆长轴是椭圆长轴 ab 上的点上的点，m 到直线到直线 ap 的距离等于的距离等于 mb 的的长长，求椭圆上的点到点求椭圆上的点到点 m 的距离的距离 d 的最小值的最小值解：解：(1)由已知可得点由已知可得点 a(6，0)，b(6，0)，f(4，0)设点设点 p 的坐标为的坐标

22、为(x，y)，因为因为 papf，所以所以 kapkpf1.故有方程组故有方程组x236y2201，yx6yx41，则则 2x29x180，解得解得 x32或或 x6(舍去舍去)，所以所以 x32，由于由于 y0，故故 y5 32.所以所以 点点 p 的坐标是的坐标是32，5 32.(2)易知直线易知直线 ap 的方程是的方程是 x 3y60.设点设点 m 的坐标为的坐标为(m，0)，则则 m 到直线到直线 ap 的距离是的距离是|m6|2.于是于是|m6|2|m6|，又又6m6，故故 m2.所以所以 m 的坐标为的坐标为(2，0)椭圆上的点椭圆上的点(x，y)到点到点 m 的距离的距离 d 的平方为：的平方为：d2(x2)2y2x24x42059x249x92215.由于由于6x6，所以当所以当 x92时时，d 取得最小值取得最小值，最小值为最小值为 15.22(本小题满分本小题满分 12 分分)已知平面内一动点已