幂函数知识点练习

1、学习必备欢迎下载幂函数练习例、函数 fxm2m 1xm2m3 是幂函数，且当x 0， 时， fx是增函数，求 fx的解析式分析解答此题可严格依据幂函数的定义形式列方程求出m，再由单调性确定m.解依据幂函数定义得m2m11，解得 m2 或 m 1，当 m2 时， fxx3 在0，上是增函数；当 m 1 时， fxx3 在0，上是减函数，不符合要求故fxx3.点评幂函数 yx r，其中为常数，其本质特点是以幂的底x 为自变量，指数 为常数 也可以为 0这是判定一个函数是否为幂函数的重要依据和唯独标准对本例来说，仍要依据单调性验根，以免增根学习必备欢迎下载例 3、如图是幂函数 yxm 与 yxn 在

2、第一象限内的图象，就a -1<n<0<m<1bn<1,0<m<1c 1<n<0，m>1dn< 1， m>1解析在0,1内取同一值 x0，作直线 x x0，与各图象有交点，就 “点低指数大 ”如图， 0<m<1，n<1.学习必备欢迎下载1例 4、已知 x2>x3，求 x 的取值范畴2121错解由于 x 0， x3r，就由 x >x3，可得 xr.错因分析上述错解缘由是没有把握幂函数的图象特点，特别是 yx在>1 和 0<<1 两种情形下图象的分布正解1作出函数 y=x2 和 y

3、= x 3 的图象 如右图所示 ，易得 x<0 或 x>1.s.20i2zsïs aaz.1 zeí4axÌx bxa,b cï r,ny0.a. ø<0 líÍ.x, + x2<0.y, + 32 >0d. Ò a>0 iii.x¡+x2>0.y+ +2=.ÖÖ % ì ext + òr' 1 = ex x,r'x 2,' '12'ÁÕ>0Íl$0

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7、9 4 0.25 4- 1.9 z& +jàasi,= 0.rjÊ r a«&úÉ.pra o,2"° <o.z".a& ty&= <°“ Á 0.+ aa s.«o.2"° < 0.4“.;rt0.2'" <í 0.4".学习必备欢迎下载分析：底数分别不同而指数相同，可以看作是和；两个幂函数，利用幂函数的单调性质去懂得；解： 10,+ 是递增的又 1.1<1.4利用

8、幂函数的性质比较数的大小；例 3比较的大小；分析：三个量比较大小，先考虑取值的符号；启示：当直接比较大小难以进行时，可以考虑借助一些中间量特别值，如0， 1或其他数来解决；例 6、比较以下各组中两个数的大小：学习必备欢迎下载3（1） 1.5 53， 1.7 5；（2）0.731.5，0.61.5；（3） 1.2 2 23 ， 1.253 解析：（1）考查幂函数 y x 5 的单调性，在第一象限内函数单调递增，31.5 1.7 ， 1.5 53 1.7 5 ，3（2）考查幂函数 y x 2的单调性，同理0.7 0.61.51.5（3）先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数， 1.223 1.2

9、23 ， 1.2523 1.25 2 23 ，又1 .231 .25 2 23 ， 1.23 21.253 将以下各组数用小于号从小到大排列：222（ 1） 2.5 3 ,1.4 3 ,3 3333（ 2） 0.164 ,0.52 ,6.25 811112（ 3）23225333 3,3, 3532222解：（ 1） 1.4 32.5 33 3333（ 2） 6.25 80.5 20.16 4 ,11121（ 3）2 253233 333 5332【例 1】1已知f xa x a1, g xb x b1 ,当f x1 g x2 2 时,有 x1x2 ,就 a, b 的大小关系是a. abb.

10、abc. abd. ab【捕获题情】 1在同一坐标系中画出两个递增的指数函图象；2由f x1 g x2 2 添画一条直线 y2 ,显现两个交点；3由 x1x2 确认x1 与x2 的位置 ,并确认f x 与g x 的图象 ,判定 a ,b 的大小 .y=2ygxfxox2 x1 x学习必备欢迎下载1解:在同一坐标系中画出两个递增的指数函图象,画上直线 y2 ,由f x1 g x2 2 与 x1x2 知在右边的图象为f x 的图象 ,于是由g x 的图象在 y 轴右边的增加速度较快 ,得 ba ,选 c.2函数f xa x b 的图象如图 ,其中a, b 为常数 ,就以下结论正确选项a. 0a1,

11、b0b. a1,b0c.0a1,b0d. a1,b02解:f x 的图象由ya的图象向左平移 b 个单位得到 ,可知 0a1,xf x 的图象与 y 轴的交点 0, ab 在 0,1 的下方 ,有 a b1 ,即 a b1a 0 ,当 0a1时,函数yax 递减,于是 b0 ,选 a.例 1已知函数f x2x 2 mm 3 mz为偶函数，且f 3f 5 ，求 m 的值，学习必备欢迎下载并确定 f x 的解析式分析：函数f x x 2m2m 3 mz 为偶函数，已限定了2m2m3 必为偶数，且 mz ，f 3f 5，只要依据条件分类争论便可求得m 的值，从而确定f x的解析式解：f x是偶函数，

12、22mm3 应为偶数2m 2 m 322又 f 3f 5 ，即3 2 mm 35 2 mm 3 ，整理，得31 ，5 2m2m30 ， 1m3 2又 mz ， m0 或 12当 m=0 时，2 m2m33 为奇数（舍去）；当 m1 时，2m2m32 为偶数故 m 的值为 1，f xx 评注：利用分类争论思想解题时，要充分挖掘已知条件中的每一个信息，做到不重不漏，才可为正确解题奠定坚实的基础例 2已知函数f x x2 ，设函数g xqf f x 2 q1 f x 1 ，问是否存在实数q q0 ，使得g x在区间 ， 4是减函数，且在区间 4，0 上是增函数？如存在，恳求出来；如不存在，请说明理由

13、分析：判定函数的单调性时，可以利用定义，也可结合函数的图象与性质进行判定，但要留意问题中符号的确定，要依靠于自变量的取值区间解：f x x2 ，就g x qx42q1x 21 假设存在实数q q0) ，使得g x满意题设条件，4242设 xx ，就 g x g x qx2 q1xqx2q1x12121122 xx xx q x2x2 2q1 122112如 x1， x2 ， 4，易知 x1x20 ， x2x10 ，要使g x 在， 4上是减函数，学习必备欢迎下载22就应有q x1x2 2q1) 0 恒成立 x4 ， x 4 ， x2x232 而 q0 ，1212 qx 2x 2 32q .12

14、从而要使 q x2x2 2q1 恒成立，就有 2q1 32q ，即 q 1 12如 x1，x2 4，0 ，易知 x1x2 x2x1 0 ，要使30f x 在 4，0 上是增函数，22就应有q x1x2 2q10 恒成立 4x10 ， 4x20 ， x2x 232 ，而 q0 ， q x 2x2 32q 1212要使 q x2x2 2q1恒成立，就必有 2q1 32q ，即 q1 12综上可知，存在实数q1 ，使得3030g x 在 ， 4 上是减函数，且在 4，0 上是增函数评注：此题是一道综合性较强的题目，是幂函数性质的综合应用判定函数的单调性时，可从定义入手，也可依据函数图象和性质进行判定

15、， 但对分析问题和解决问题的才能要求较高，这在平常要留意有针对性的训练3分类争论的思想例 1已知函数n 2 2nyx nz的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于y 轴对称，求 n 的值，并画出函数的图象学习必备欢迎下载解：由于图象与y 轴无公共点，故n22n3 0 ，又图象关于 y 轴对称，就n22n3 为偶数，由 n22n3 0 ，得 1 n 3 ，又由于 nz ，所以 n0， 1，2，3 2当 n0 时，n2 n33 不是偶数；当 n1时，n22n34 为偶数；当 n1 时，n 22n30 为偶数；当 n2 时，n22 n33 不是偶数；2当 n3时，n2n30 为偶数；所以 n 为 1

16、，1 或 3此时，幂函数的解析为0yx x0 或yx 4 ，其图象如图所示例 3 已知幂函数yxm2m3 （ mz ）的图象2与 x 轴、 y 轴都m 的值无交点，且关于原点对称，求2分析：幂函数图象与x 轴、 y 轴都无交点，就指数小于或等于零；图象关于原点对称，就函数为奇函数结合mz ，便可逐步确定 m 的值解： 幂函数yxm2m3 （ mz ）的图象与 x 轴、 y 轴都无交点， m22m30 ，1m3 ；m mz ， 22m3z ，又函数图象关于原点对称， m22m3 是奇数， m0 或 m2 学习必备欢迎下载数形结合的思想例 2已知点 2，2 在幂函数f x 的图象上，点2 1，在幂

17、函数g x 的图象上问当 x 为何值时有：（）f x g x；（），4f xg x ；（）f x g x 分析：由幂函数的定义，先求出f x 与g x 的解析式，再利用图象判定即可解：设f x xm ，就由题意，得 22 m ， m2 ，即f xx2 再令g xxn ，就由题意，得 12n ，4 n2 ，即g xx 2 x0) 在同一坐标系中作出f x 与 g x 的图象，如图 2 所示由图象可知：（ 1）当 x1或 x1 时，f xg x ；（ 2）当 x1 时，f xg x ；（3）当 1x1 且 x0 时，f x g x 小结：数形结合在争论不等式时有着重要的应用，留意此题中g x 的隐

18、含条件 x0 转化的数学思想例 3函数 y2mx4 xm12 42mmx1) 的定义域是全体实数，就实数m 的取值范畴是（） 51，2 51， 2，2学习必备欢迎下载 15，15解析：要使函数 y2mx4xm12 42mmx1 的定义域是全体实数，可转化为mx24 xm20 对一切实数都成立，即m0 且424mm20 解得 m51 应选（）例：已知幂函数fxxm22m 3m n* 的图象关于 y 轴对称，且在 0， 上是减函数，求满意 a 1 m3 32a m3的 a 的范畴学习必备欢迎下载ytlï:'àïxzti2yt.¿Ü j

19、76;,/2,2 ,tx ÏÚ ,¿ÏÏ r2,4:»is &j aïb r.ïÏï” hx=am&b hlraxaïüa.k.oz«el».s iz. 2o/ï«by na. = .,#4 rje = 2,d7/a = ar'= .À ,. b 2,jjcíàj °ql , pk“Ü f - 2,jÚ' px - x°.p4i

20、7;&&ts«ài.,o»kaç -l i,学习必备欢迎下载3m类型一：求参数的取值范畴例1已知函数f x2 m2xmz 为偶函数，且f 3f 5 ，求 m 的值，并确定f x 的解析式分析：函数f xx 2m 2m 3 mz 为偶函数，已限定了2m2m3必为偶数，且 mz ，f 3f 5 ，只要依据条件分类争论便可求得m 的值，从而确定f x 的解析式解：f x是偶函数，2m2m3 应为偶数2m 2 m 3又 f 3f 5 ，即2 m2 m 332m25m 3 ，整理，得31 ，5学习必备欢迎下载 2m2m30 ，1m3 22又 mz

21、， m0 或 122当 m=0 时， 2 mm33 为奇数（舍去）；当 m1 时， 2mm32 为偶数故 m 的值为 1，f xx 评注：利用分类争论思想解题时，要充分挖掘已知条件中的每一个信息，做到不重不漏，才可为正确解题奠定坚实的基础2类型二：求解存在性问题例2已知函数f xx ，设函数g xqf f x2q1) f x1 ，问是否存在实数qq0 ，使得 g x 在区间 ， 4是减函数，且在区间 4，0 上是增函数？如存在，恳求出来；如不存在，请说明理由242分析：判定函数的单调性时，可以利用定义，也可结合函数的图象与性质进行判定，但要留意问题中符号的确定，要依靠于自变量的取值区间解：f

22、x x ，就g x qx2q1x1 假设存在实数q q0) ，使得g x满意题设条件，设 xx ，就 g x g x qx42q1x2qx42q1 x212121122 xx xxq x2x2 2 q1 122112如 x1，x2， 4，易知x1x20 ， x2x10 ，要使 g x 在， 4上是减函数，就应有q x2x2 2 q1) 0 恒成立1212 x4 ， x 4 ， x2x232 而 q0 ，12 qx 2x 2 32q .12从而要使22q xx 2q1 恒成立，就有 2q1 32q ，即 q 1 1230学习必备欢迎下载如 x1，x2 4，0 ，易知x1x2 x2x1 0 ，要使

23、f x在 4，0 上是增函数，就应有qx 2x2 2 q10 恒成立122 4x10 ， 4x20 ，2212 xx32 ，而 q0 ，212q xx 32q 要使 q x2x2 2q1恒成立，就必有 2q1 32q ，即 q1 12综上可知，存在实数q1 ，使得3030g x 在 ， 4 上是减函数，且在 4，0 上是增函数评注：此题是一道综合性较强的题目，是幂函数性质的综合应用判定函数的单调性时，可从定义入手，也可依据函数图象和性质进行判定， 但对分析问题和解决问题的才能要求较高，这在平常要留意有针对性的训练类型三：类比幂函数性质，争论函数值的变化情形2例 3争论函数 ykk 2k x2

24、k 1 在 x0 时随着 x 的增大其函数值的变化情形分析：第一应判定函数是否为常数函数，再看幂指数，并参照幂函数的性质争论解：（1）当 k 2k0 ，即 k0 或 k1 时， y0 为常函数；（2）当 k 22k10 时， k12 或 k12 ，此时函数为常函数；22（3） kk0，即 0k12 时，函数为减函数，函数值随x 的增大而减小；k2k10，22（4）当 kk0，即 k1 或 k12 时，函数为增函数，函数值随x 的增大而增大；k2k10，22（5）当 kk0，即12k0 时，函数为增函数，函数值随x 的增大而增大；k2k10，学习必备欢迎下载22（6）当 kk0，即 1k12时，

25、函数为减函数，函数值随x 的增大而减小k2k10，评注：含参数系数问题，可以说是解题中的一个致命杀手，是导致错误的一个重要因素这应引起我们的高度警觉幂函数这一学问点，表面上看内容少而且简单，实质上就不然它蕴涵了数形结合、分类争论、转化等数学思想，是培育同学们数学思维才能的良好载体下面通过一题多变的方法探究幂函数性质的应用1例 1如 m132m1 ，试求实数 m 的取值范畴m10，错解（数形结合） ：由图可知32m0，解得m2 ，且 m3 32m132m，剖析：函数yx 1 x0 虽然在区间 ，0 和 0， 上分别具有单调性，但在区间 ，00， 上不具有单调性，因而运用单调性解答是错误的正解（分类争论） ：m10，（ 1） 32m0，m132m，解得 2dm3 ；32m10，（ 2） 32m0，此时无解；m132m，（ 3） m10， ，解得 m1 32m0，学习必备欢迎下载综上可得 m ， 12 3，3 2现在把例 1 中的指数1 换成 3 看看结果如何33例 2如 m132m ，试求实数 m 的取值范畴错解（分类争论） ：由图 2 知，m10，（ 1） 32m0，1， 解得