函数与方程课件

1、栏目栏目导引导引第二章第二章 基本初等函数、导数及其应用基本初等函数、导数及其应用2.8函数与方程函数与方程栏目栏目导引导引第二章第二章 基本初等函数、导数及其应用基本初等函数、导数及其应用教材回扣夯实双基教材回扣夯实双基基础梳理基础梳理1函数的零点函数的零点(1)函数零点的定义函数零点的定义函数函数yf(x)的图像与横轴交点的横坐标称为这个的图像与横轴交点的横坐标称为这个函数的零点函数的零点(2)几个等价关系几个等价关系方程方程f(x)0有实数根有实数根函数函数yf(x)的图像与的图像与_有交点有交点函数函数yf(x)有有_横轴横轴零点零点栏目栏目导引导引第二章第二章 基本初等函数、导数及其

2、应用基本初等函数、导数及其应用思考探究思考探究函数的零点是函数函数的零点是函数yf(x)的图像与的图像与x轴的交轴的交点吗？点吗？是否任意函数都有零点？是否任意函数都有零点？提示：提示：函数的零点不是函数函数的零点不是函数yf(x)的图像与的图像与x轴的交点，而是轴的交点，而是yf(x)的图像与的图像与x轴交点的轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数而是一个实数栏目栏目导引导引第二章第二章 基本初等函数、导数及其应用基本初等函数、导数及其应用并非任意函数都有零点，只有并非任意函数都有零点，只有f(x)0有根的有根的函数函数yf(x)才有

3、零点才有零点栏目栏目导引导引第二章第二章 基本初等函数、导数及其应用基本初等函数、导数及其应用2利用函数性质判定函数零点利用函数性质判定函数零点若函数若函数yf(x)在闭区间在闭区间a，b上的图像是上的图像是_，并且在区间端点的函数值符，并且在区间端点的函数值符号号_，即，即_，则在区间，则在区间(a，b)内，函数内，函数yf(x)至少有一个零点，即至少有一个零点，即相应的方程相应的方程f(x)0在区间在区间(a，b)内至少有一内至少有一个实数解个实数解连续曲线连续曲线相反相反f(a)f(b)0栏目栏目导引导引第二章第二章 基本初等函数、导数及其应用基本初等函数、导数及其应用3二分法二分法(1

4、)每次取区间的每次取区间的_，将区间一分为二，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中再经比较，按需要留下其中_的的方法称为二分法方法称为二分法(2)将将 称为区间称为区间a，b的中点的中点中点中点一个小区间一个小区间栏目栏目导引导引第二章第二章 基本初等函数、导数及其应用基本初等函数、导数及其应用1函数函数f(x)ex 的零点所在的区间是的零点所在的区间是()A(0， )B( ,1)C(1， ) D( ,2)答案：答案：B栏目栏目导引导引第二章第二章 基本初等函数、导数及其应用基本初等函数、导数及其应用2若函数若函数f(x)axb有一个零点是有一个零点是2，那么，那么函数函数g(x)bx2a

5、x的零点是的零点是()A0,2 B0，1,2C0， D2，解析：选解析：选C.2ab0，g(x)2ax2axax(2x1)，所以零点为，所以零点为0和和 .栏目栏目导引导引第二章第二章 基本初等函数、导数及其应用基本初等函数、导数及其应用3(2012济源质检济源质检)函数函数f(x)ex2x6(e2.718)的零点属于区间的零点属于区间(n，n1)(nZ)，则则n_.解析：可以估算相邻两个自然数的函数值，解析：可以估算相邻两个自然数的函数值，f(1)e40，f(2)e220，从而可知函，从而可知函数数f(x)的零点位于区间的零点位于区间(1,2)内，故内，故n1.答案：答案：1栏目栏目导引导引

6、第二章第二章 基本初等函数、导数及其应用基本初等函数、导数及其应用4用二分法求方程用二分法求方程x32x50在区间在区间2,3内的实根，取区间中点内的实根，取区间中点x02.5，那么下一个，那么下一个有根区间是有根区间是_解析：由计算器可算得解析：由计算器可算得f(2)1，f(3)16，f(2.5)5.625，f(2)f(2.5)0)的零点，的零点，并画出其大致图像并画出其大致图像栏目栏目导引导引第二章第二章 基本初等函数、导数及其应用基本初等函数、导数及其应用【解解】由由f(x)0得得x 30.x0，x23x20，解得解得x11，x22.函数函数f(x)的零点是的零点是1,2.其大致图像如图

7、所示其大致图像如图所示栏目栏目导引导引第二章第二章 基本初等函数、导数及其应用基本初等函数、导数及其应用【规律小结规律小结】(1)函数的零点是一个实数，函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零当自变量取该值时，其函数值等于零(2)根据函数零点定义可知，函数根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点的零点就是就是f(x)0的根，因此判断一个函数是否有的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程零点，有几个零点，就是判断方程f(x)0是是否有实根，有几个实根否有实根，有几个实根栏目栏目导引导引第二章第二章 基本初等函数、导数及其应用基本初等函数、导数及其应用(3)函数函数

8、F(x)f(x)g(x)的零点就是方程的零点就是方程f(x)g(x)的实数根，也就是函数的实数根，也就是函数yf(x)的图像的图像与与yg(x)的图像交点的横坐标的图像交点的横坐标栏目栏目导引导引第二章第二章 基本初等函数、导数及其应用基本初等函数、导数及其应用备选例题备选例题(教师用书独具教师用书独具)例例 已知函数已知函数f(x)x22exm1，g(x)x (x0)(1)若若g(x)m有零点，求有零点，求m的取值范围；的取值范围；(2)确定确定m的取值范围，使得的取值范围，使得g(x)f(x)0有两有两个相异实根个相异实根栏目栏目导引导引第二章第二章 基本初等函数、导数及其应用基本初等函数

9、、导数及其应用【解解】(1)法一：法一：g(x)x 2e22e，等号成立的条件是等号成立的条件是xe，故故g(x)的值域是的值域是2e，)，因而只需因而只需m2e，则，则g(x)m就有零点，就有零点，故故m的取值范围是的取值范围是2e，)栏目栏目导引导引第二章第二章 基本初等函数、导数及其应用基本初等函数、导数及其应用法二：法二：作出作出g(x)x (x0)的大致图像如图：的大致图像如图：可知若使可知若使g(x)m有零点，则只需有零点，则只需m2e.故故m的取值范围是的取值范围是2e，)法三：由法三：由g(x)m得得x2mxe20.此方程有大于零的根，此方程有大于零的根，栏目栏目导引导引第二章

10、第二章 基本初等函数、导数及其应用基本初等函数、导数及其应用故故m的取值范围是的取值范围是2e，)栏目栏目导引导引第二章第二章 基本初等函数、导数及其应用基本初等函数、导数及其应用(2)若若g(x)f(x)0有两个相异的实根，有两个相异的实根，即即g(x)与与f(x)的图像有两个不同的交点，的图像有两个不同的交点，作出作出g(x)x (x0)的大致图像的大致图像f(x)x22exm1(xe)2m1e2.其图像的对称轴为其图像的对称轴为xe，开口向下，最大值，开口向下，最大值为为m1e2.栏目栏目导引导引第二章第二章 基本初等函数、导数及其应用基本初等函数、导数及其应用故当故当m1e22e，即即

11、me22e1时，时，g(x)与与f(x)有两个交点，有两个交点，即即g(x)f(x)0有两个相异实根有两个相异实根m的取值范围是的取值范围是(e22e1，)栏目栏目导引导引第二章第二章 基本初等函数、导数及其应用基本初等函数、导数及其应用变式训练变式训练1(原创题原创题)函数函数f(x) 的零点的的零点的个数是个数是()A0 B1C2 D3栏目栏目导引导引第二章第二章 基本初等函数、导数及其应用基本初等函数、导数及其应用解析：选解析：选A. 解得解得x3.即函数定义域是即函数定义域是x|x3令令f(x) 0，得得x1或或x2，但但1和和2均不在函数的定义域中，它们都不均不在函数的定义域中，它们

12、都不是函数的零点，故零点个数为是函数的零点，故零点个数为0.故选故选A.栏目栏目导引导引第二章第二章 基本初等函数、导数及其应用基本初等函数、导数及其应用考点考点2 确定函数零点的大致区间确定函数零点的大致区间例例2 函数函数f(x)log3x 的零点所在的零点所在的区间是的区间是()A(0,1B(1,3)C(3，) D(1，)栏目栏目导引导引第二章第二章 基本初等函数、导数及其应用基本初等函数、导数及其应用【解析解析】根据数形结合思想，画出函数根据数形结合思想，画出函数ylog3x和和y 的图像，观察可知函数的图像，观察可知函数ylog3x和和y 图像的交点就介于图像的交点就介于1和和3之之

13、间，故选间，故选B.栏目栏目导引导引第二章第二章 基本初等函数、导数及其应用基本初等函数、导数及其应用【答案答案】B【思维升华思维升华】要正确理解和运用函数零点的要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用，若性质在函数零点所在区间的判断中的应用，若f(x)图像在图像在a，b上连续，且上连续，且f(a)f(b)0，则，则f(x)在在(a，b)上必有零点，若上必有零点，若f(a)f(b)0，则，则f(x)在在(a，b)上不一定没有零点上不一定没有零点栏目栏目导引导引第二章第二章 基本初等函数、导数及其应用基本初等函数、导数及其应用备选例题备选例题(教师用书独具教师用书独具)例例

14、 (2010高考上海卷高考上海卷)若若x0是方程是方程 x 的解，则的解，则x0属于区间属于区间()A( ,1) B( ， )C( ， ) D(0， )栏目栏目导引导引第二章第二章 基本初等函数、导数及其应用基本初等函数、导数及其应用栏目栏目导引导引第二章第二章 基本初等函数、导数及其应用基本初等函数、导数及其应用【答案】【答案】C栏目栏目导引导引第二章第二章 基本初等函数、导数及其应用基本初等函数、导数及其应用变式训练变式训练2函数函数f(x)2x3x的零点所在的一个区的零点所在的一个区间是间是()A(2，1) B(1,0)C(0,1) D(1,2)栏目栏目导引导引第二章第二章 基本初等函数

15、、导数及其应用基本初等函数、导数及其应用栏目栏目导引导引第二章第二章 基本初等函数、导数及其应用基本初等函数、导数及其应用考点考点3 用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解例例3用二分法求函数用二分法求函数f(x)x3x1在区间在区间(1,1.5)内的一个零点内的一个零点(精确到精确到0.1)【解】由于【解】由于f(1)11110，f(x)在区间在区间1,1.5内存在零点内存在零点取区间取区间1,1.5作为计算的初始区间，作为计算的初始区间，用二分法逐次计算列表如下：用二分法逐次计算列表如下：栏目栏目导引导引第二章第二章 基本初等函数、导数及其应用基本初等函数、导数及其应用栏目栏目导引导

16、引第二章第二章 基本初等函数、导数及其应用基本初等函数、导数及其应用区间区间1.3125,1.34375两个端点精确到两个端点精确到0.1的近似值都是的近似值都是1.3，所以原函数精确到，所以原函数精确到0.1的的近似解为近似解为x1.3.即原函数在区间即原函数在区间(1,1.5)内的内的一个零点是一个零点是1.3.栏目栏目导引导引第二章第二章 基本初等函数、导数及其应用基本初等函数、导数及其应用【名师点评名师点评】用二分法求函数零点的近似用二分法求函数零点的近似值，首先要选好计算的初始区间，这个区间值，首先要选好计算的初始区间，这个区间既要符合条件，又要使其长度尽量小，其次既要符合条件，又要

17、使其长度尽量小，其次要依据条件给定的精确度及时检验计算所得要依据条件给定的精确度及时检验计算所得到的区间是否满足这一精确度，以决定是停到的区间是否满足这一精确度，以决定是停止计算还是继续计算止计算还是继续计算栏目栏目导引导引第二章第二章 基本初等函数、导数及其应用基本初等函数、导数及其应用备选例题备选例题(教师用书独具教师用书独具)例例在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线发生了故障，这是一条防洪指挥部的电话线发生了故障，这是一条10 km长的线路，如何迅速查出故障所在？如果沿长的线路，如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段查找，困难

18、很多，每查一个着线路一小段一小段查找，困难很多，每查一个点要爬一次电线杆，点要爬一次电线杆，10 km长，大约有长，大约有200根电根电线杆，应怎样工作最合理？线杆，应怎样工作最合理？栏目栏目导引导引第二章第二章 基本初等函数、导数及其应用基本初等函数、导数及其应用【解解】可以用二分法原理进行查找，如图：可以用二分法原理进行查找，如图：他首先从中点他首先从中点C查，用随身带的话机两端测试查，用随身带的话机两端测试时，可以确定是时，可以确定是AC段故障，还是段故障，还是CD段故障，段故障，而检查一次时故障范围变为而检查一次时故障范围变为5 km线路，即线路，即100根电线杆依次进行下去如下表：根

19、电线杆依次进行下去如下表：栏目栏目导引导引第二章第二章 基本初等函数、导数及其应用基本初等函数、导数及其应用次数次数电线杆电线杆1100250325412566371所以他最多需要爬所以他最多需要爬7 7根电线杆子，检查根电线杆子，检查7 7次，次，即可查到故障线路即可查到故障线路栏目栏目导引导引第二章第二章 基本初等函数、导数及其应用基本初等函数、导数及其应用变式训练变式训练3借助计算器或计算机，用二分法求方程借助计算器或计算机，用二分法求方程ln(2x6)23x在区间在区间(1,2)内的近似解内的近似解(精精确到确到0.1)解：原方程即解：原方程即ln(2x6)3x20，令令f(x)ln(

20、2x6)3x2，因为因为f(1)1.0790，f(2)4.69740，所以所以f(1)f(2)0.栏目栏目导引导引第二章第二章 基本初等函数、导数及其应用基本初等函数、导数及其应用说明这个函数在区间说明这个函数在区间(1,2)内有零点内有零点x0.取区间取区间(1,2)的中点的中点x11.5，用计算器可算得，用计算器可算得f(1.5)1.00.因为因为f(1)f(1.5)0，所以，所以x0(1,1.5)再取再取(1,1.5)的中点的中点x21.25，用计算器可算得，用计算器可算得f(1.25)0.20.因为因为f(1.25)f(1.5)0，所以，所以x0(1.25,1.5)栏目栏目导引导引第二

21、章第二章 基本初等函数、导数及其应用基本初等函数、导数及其应用由此继续下去，可得由此继续下去，可得x0(1.25,1.3125)，此时，此时区间区间(1.25,1.3125)的两个端点精确到的两个端点精确到0.1的近的近似值都是似值都是1.3，所以原方程精确到，所以原方程精确到0.1的近似的近似解为解为1.3.栏目栏目导引导引第二章第二章 基本初等函数、导数及其应用基本初等函数、导数及其应用方法技巧方法技巧1函数零点的判定常用的方法有：函数零点的判定常用的方法有：(1)零点存零点存在性定理；在性定理；(2)数形结合；数形结合；(3)解方程解方程f(x)0.2研究方程研究方程f(x)g(x)的解

22、，实质就是研究的解，实质就是研究G(x)f(x)g(x)的零点的零点栏目栏目导引导引第二章第二章 基本初等函数、导数及其应用基本初等函数、导数及其应用3二分法是求方程的根的近似值的一种计二分法是求方程的根的近似值的一种计算方法其实质是通过不断地算方法其实质是通过不断地“取中点取中点”来逐来逐步缩小零点所在的范围，当达到一定的精确步缩小零点所在的范围，当达到一定的精确度要求时，所得区间的任一点均是这个函数度要求时，所得区间的任一点均是这个函数零点的近似值零点的近似值栏目栏目导引导引第二章第二章 基本初等函数、导数及其应用基本初等函数、导数及其应用失误防范失误防范1对于函数对于函数yf(x)(xD

23、)，我们把使，我们把使f(x)0的实数的实数x叫作函数的零点，注意以下几点：叫作函数的零点，注意以下几点：(1)函数的零点是一个实数，当函数的自变量函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零取这个实数时，其函数值等于零(2)函数的零点也就是函数函数的零点也就是函数yf(x)的图像与的图像与x轴轴的交点的横坐标的交点的横坐标栏目栏目导引导引第二章第二章 基本初等函数、导数及其应用基本初等函数、导数及其应用(3)一般我们只讨论函数的实数零点一般我们只讨论函数的实数零点(4)函数的零点不是点，是方程函数的零点不是点，是方程f(x)0的根的根2对函数零点存在的判断中，必须强调：对

24、函数零点存在的判断中，必须强调：(1)f(x)在在a，b上连续；上连续；(2)f(a)f(b)0；(3)在在(a，b)内存在零点内存在零点事实上，这是零点存在的一个充分但不必要事实上，这是零点存在的一个充分但不必要条件条件栏目栏目导引导引第二章第二章 基本初等函数、导数及其应用基本初等函数、导数及其应用考向瞭望把脉高考考向瞭望把脉高考命题预测命题预测从近两年的高考试题来看，函数的零点、方程从近两年的高考试题来看，函数的零点、方程的根的问题是高考的热点，题型既有选择题、的根的问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题填空题，又有解答题栏目栏目导引导引第二章第二章 基本初等函数、导数及其应用基本初等函数、导数及其应用利用函数零点的存在性定理或函数的图像，对利用函数零点的存在性定理或函数的图像，对函数是否存在零点函数是否存在零点(方程是否存在实根方程是否存在实根)进行判进行判断或利用零点断或利用零点(方程实根方程实根)的存在情况求相关参的存在情况求相关参数的范围，是高考中常见的题目类型数的范围，是高考中常见的题目类型预测预测2013年高考仍将以函数的零点、方程的根年高考仍将以函数的零点、方程的根存在问题为主要考点，重点考查相应函数的图存在问题为主要考点，重点考查相应函数的图像与性质像与性质栏目栏目导引导引第二章第二章 基本初等函数、导