几何变换课件

1、几何变换PPT课件几何变换PPT课件 几何变换是几何内容的核心，大家都知道：作辅助线是初等几何证明的难点，很多情况下，辅助线的作法恰恰是变换的结果。 几何变换PPT课件 变换思想是一种重要的数学思想变换思想是一种重要的数学思想. .应应用变换思想探索解题途经用变换思想探索解题途经, ,寻求解题方法寻求解题方法, ,是数学解题的指导思想和策略原则之一是数学解题的指导思想和策略原则之一. .几何变换的思想和方法几何变换的思想和方法, ,就是用运动和变就是用运动和变化的观点去观察和研究几何对象及其相互化的观点去观察和研究几何对象及其相互关系关系, ,探讨图形运动过程中哪些量和关系探讨图形运动过程中哪

2、些量和关系不变化不变化, ,哪些量和关系变化哪些量和关系变化, ,从中知道找到从中知道找到其规律性其规律性. .几何变换PPT课件 利用几何变换解题时利用几何变换解题时, ,一般不需要一般不需要对整个图形进行变换对整个图形进行变换, ,而只需对图形中而只需对图形中有关部分进行变换有关部分进行变换, ,将其余部分保持不将其余部分保持不变变, ,从而使整个图形改组从而使整个图形改组, ,化不规则图化不规则图形为规则图形形为规则图形, ,化一般为特殊化一般为特殊, ,化隐蔽化隐蔽关系为明显关系关系为明显关系, ,通过变换将不利条件通过变换将不利条件转化为有利条件转化为有利条件, ,让有利条件保持不变

3、让有利条件保持不变, ,这就是利用几何变换解题的基本途径这就是利用几何变换解题的基本途径. .几何变换PPT课件 几何变换是一种重要的思想方法，它几何变换是一种重要的思想方法，它是一种以变化的、运动的观点来处理孤立是一种以变化的、运动的观点来处理孤立的、离散的问题的思想，很好地领会这种的、离散的问题的思想，很好地领会这种解题的思想实质，并能准确合理地使用，解题的思想实质，并能准确合理地使用，在解题中会收到奇效，也将有效地提高思在解题中会收到奇效，也将有效地提高思维品质维品质几何变换包含反射、平移、旋转和几何变换包含反射、平移、旋转和相似变换，我们要通过实验、操作、观察相似变换，我们要通过实验、

4、操作、观察和想象的方法掌握运动的本质，在图形的和想象的方法掌握运动的本质，在图形的运动中找到不变量，然后解决问题。运动中找到不变量，然后解决问题。几何变换PPT课件一、利用反射变换解题二、利用平移变换解题三、利用旋转变换解题四、利用相似变换解题五、几种几何变换的综合应用几何变换PPT课件 数学离不开解题，数学能力的培养数学离不开解题，数学能力的培养主要是通过解题来完成，几何变换中的主要是通过解题来完成，几何变换中的平移、反射、旋转、相似在解题中的运平移、反射、旋转、相似在解题中的运用用, , 有利于开阔学生解题思路，沟通了有利于开阔学生解题思路，沟通了题设与结论之间的联系，正是这种变换题设与结

5、论之间的联系，正是这种变换使命题的解决能畅通无阻，从而培养学使命题的解决能畅通无阻，从而培养学生的创新意识与创新能力。生的创新意识与创新能力。几何变换PPT课件反射变换反射变换是将平面上的点作一一变换，如果联是将平面上的点作一一变换，如果联结每对对应点的线段都被一条定直线结每对对应点的线段都被一条定直线 所垂直平所垂直平分，则称这种变换为关于直线的轴反射变换或分，则称这种变换为关于直线的轴反射变换或轴对称变换，定直线称为对称轴轴对称变换，定直线称为对称轴lll反射变换有如下性质：反射变换有如下性质：(1)把图形变为与之全等的图形；把图形变为与之全等的图形；(2)关于对称的两点连线被关于对称的两

6、点连线被垂直平分垂直平分ll一、利用反射变换解题几何变换PPT课件直线、射线、线段和点是对称图形吗直线、射线、线段和点是对称图形吗 ？ 狭义概念中，所谓对称是指某图形相对于固定的狭义概念中，所谓对称是指某图形相对于固定的某一点、某一线或某一平面，对折后可以完全重合，某一点、某一线或某一平面，对折后可以完全重合，即互为镜像，从这个意义上说，直线、射线不具有固即互为镜像，从这个意义上说，直线、射线不具有固定的对称中心，点是图形的基本元素，三者都不是对定的对称中心，点是图形的基本元素，三者都不是对称图形。称图形。 广义的概念中，广义的概念中，直线、射线、线段和点直线、射线、线段和点却是对称却是对称图

7、形。一种观点认为，任何图形上的所有点都可以类图形。一种观点认为，任何图形上的所有点都可以类聚起来，最终类聚为一点（原始点），也即：聚起来，最终类聚为一点（原始点），也即：“不管不管图形怎样变化，都是原始点自身图形怎样变化，都是原始点自身”，有对称点（原始，有对称点（原始点），可以完全重合（均为原始点镜像），你能说直点），可以完全重合（均为原始点镜像），你能说直线和点不是对称图形吗？其中，最著名的就是线和点不是对称图形吗？其中，最著名的就是“宇宙宇宙大爆炸理论大爆炸理论”，该理论认为，该理论认为“宇宙起源于某一点，由宇宙起源于某一点，由这一点爆炸形成宇宙，宇宙至今还在膨胀。这一点爆炸形成宇宙，宇

8、宙至今还在膨胀。” ” 几何变换PPT课件直线、射线、线段和点各有几条对称轴直线、射线、线段和点各有几条对称轴 ？1 1、线段的对称轴有、线段的对称轴有2 2条：一条是它的垂直平分条：一条是它的垂直平分 线，另一条是它本身所在的直线；线，另一条是它本身所在的直线；2 2、 射线的对称轴只有射线的对称轴只有1 1条：它本身所在的直；条：它本身所在的直；3 3、直线的对称轴有无数条：它本身以及所有与、直线的对称轴有无数条：它本身以及所有与它垂直的直线（同一平面内）；它垂直的直线（同一平面内）； 4 4、点的对称轴有无数条：经过它的任何直线。、点的对称轴有无数条：经过它的任何直线。 几何变换PPT课

9、件1、如果问题所给图形是轴对称图形如果问题所给图形是轴对称图形,则可添作对称轴则可添作对称轴,常根据下面的一些特殊情况作反射变换：常根据下面的一些特殊情况作反射变换：(1)与线段中点有关的问题，常取该线段的垂直平分线与线段中点有关的问题，常取该线段的垂直平分线为对称轴作变换；为对称轴作变换；(2)与角平分线有关的问题，常取角平分线所在的直线与角平分线有关的问题，常取角平分线所在的直线为对称轴作变换；为对称轴作变换；(3)与等腰三角形有关的问题，常取底边的中垂线为对与等腰三角形有关的问题，常取底边的中垂线为对称轴作变换；称轴作变换；(4)与正三角形或正方形有关的问题，常利用正三角形与正三角形或正

10、方形有关的问题，常利用正三角形或正方形的特性作对称变换；或正方形的特性作对称变换；(5)与圆有关的问题，常取某直径所在直线为对称轴作与圆有关的问题，常取某直径所在直线为对称轴作变换变换 几何变换PPT课件,ACBC AD0例1 在 ABC中, ACB=90是中线,CFAD于E,交AB于F,求证 ADC= FDB.ABCDEF分析 注意到等腰直角三角形是轴对称图形,作斜边AB上的高CH交AD于G,HG则 ACH与 BCH均为等腰直角三角形,H为AB的中点, 联结DH,(如右图所示)则DH是等腰直角三角形 BCH的对称轴,GHDFHD HDGHDF ADCFDB HGHFRt AHGRt CHF0

11、90,AHCAECA H E C 共圆HAGHCF HAHCAHGCHF 几何变换PPT课件2、如果问题中图形的某一部分关于如果问题中图形的某一部分关于一条直线一条直线 对称对称,或是具有造成轴对或是具有造成轴对称性的因素称性的因素,则可尝试对这一部分作则可尝试对这一部分作关于关于 的轴反射变换的轴反射变换.ll几何变换PPT课件,1(),().22BCMABACBMECMFACDB 例2 在ABC中,ABAC 自中点作直线垂直于A平分线AD,交AB于E,交AC延长线于F.求证:1BE=CF=ACBCMEF分析 这里图形的一部分AD是 BAC的对称轴,为了作出位于此角两边上的二线段之差AB-A

12、C,作C点关于AD的轴反射点C ,C 必然落在AB上,D且AC =AC,于是BC =AB-AC =AB-AC,EC =CF,(),2ABAC1要证BE=CF=只需证BE=EC 即可.由对称性知CCEF,又BM=CM,所以BE=EC .几何变换PPT课件平移变换平移变换是将平面是将平面上的点作一一变换，上的点作一一变换，如果联结每对对应点如果联结每对对应点的线段都平行且相等，的线段都平行且相等，则称这种变换为平移则称这种变换为平移变换变换.平移变换把一个平移变换把一个图形变到与其真正相图形变到与其真正相等的图形。等的图形。 二、利用平移变换解题几何变换PPT课件在平移变换下，图形变为与之全等的图

13、在平移变换下，图形变为与之全等的图形，直线变为与之平行的直线形，直线变为与之平行的直线在解几何问题时，常利用平移变换使在解几何问题时，常利用平移变换使分散的条件集中在一起，具有更紧凑的位分散的条件集中在一起，具有更紧凑的位置关系或变换成更简单的基本图形置关系或变换成更简单的基本图形当问题中有一组平行线当问题中有一组平行线, ,或一组直线段或一组直线段, ,通过平移变换通过平移变换, ,常可达到应用平行线等分线常可达到应用平行线等分线段定理或应用平行四边形性质解决问题的段定理或应用平行四边形性质解决问题的目的目的. .几何变换PPT课件,BBC0例8 已知 ABC中, A=90的平分线BD与BC

14、边上的高AE交于F,过F作FG于AC于G.求证:AD=GC.分析 由FGBC,将定向线段GC平移至FH的位置,可得FH=GC,HF的延长线垂直AB于K.ADFEDBACFHKG又F在 ABC的平分线上,因而FE和FK关于BF对称,由此可推知点A和H关于BF对称,.FAFHFAAD所以于是只需证明090ABDAFD 090DBCBFE 几何变换PPT课件旋转变换旋转变换是将平面上的点作一一变是将平面上的点作一一变换，如果任一对对应点换，如果任一对对应点P， P都与平都与平面上一个定点面上一个定点O的距离相等的距离相等，且且POP等于定角等于定角，则称这种变换为，则称这种变换为关于点关于点O的旋转

15、，定点的旋转，定点O称为旋转中称为旋转中心，定角心，定角称为旋转角。旋转变换保称为旋转角。旋转变换保持图形全等，但图形方位可能有变持图形全等，但图形方位可能有变化在几何解题中，旋转的作用是使化在几何解题中，旋转的作用是使原有图形的性质得以保持，但改变其原有图形的性质得以保持，但改变其位置，使能组合成新的有利论证的图位置，使能组合成新的有利论证的图形形 三、利用旋转变换解题几何变换PPT课件 在应用旋转变换解几何题时，注意下面一在应用旋转变换解几何题时，注意下面一些特殊情形：些特殊情形： (1)与等腰三角形有关的问题，常取顶点为旋转与等腰三角形有关的问题，常取顶点为旋转中心，顶角作旋转角；对正三

16、角形常取顶点为中心，顶角作旋转角；对正三角形常取顶点为旋转中心，旋转中心， 作旋转角；作旋转角；060(2)当问题中涉及正方形或有垂直关系时当问题中涉及正方形或有垂直关系时,常选正常选正方形顶点或中心作旋转中心方形顶点或中心作旋转中心, 作旋转作旋转角施行旋转变换角施行旋转变换0090 ()或45几何变换PPT课件2,PP 从而可求得222PBPPP B由得90 ,BPP9045135 ,APB222122 1 2cos13552 2,.AB 所以即正方形ABCD的面积6,例13 已知P为正方形ABCD中一点,PA=1,PB=2,PD=求正方形ABCD的面积.PDBCAP1260分析 将 AP

17、D绕顶点A按顺时针方向旋转90 至 AP B的位置,可造成Rt APP ,16226,在 PBP 中,PP =,PB=2,PD=几何变换PPT课件相似变换相似变换 是将平面上的点作一是将平面上的点作一一变换，如果对应线段一变换，如果对应线段AB与与AB的比是一个常数的比是一个常数k, 即即AB：AB k，则这种变换叫相似变换。当，则这种变换叫相似变换。当k0时，时，A与其对应点与其对应点A在位似中在位似中心心S的同侧；当的同侧；当k0时，时，A与与A在在点点S的两侧。当的两侧。当k1时，原图时，原图形被放大；当形被放大；当k1时，原图时，原图形被缩小。形被缩小。特别地，当特别地，当k1时，即为

18、以时，即为以S为中为中心，旋转角为心，旋转角为的旋转变换。的旋转变换。四、利用相似变换解题几何变换PPT课件 在应用相似变换解几何题时，注意在应用相似变换解几何题时，注意下面一些特殊情形：下面一些特殊情形： 当问题涉及线段的乘积式、比例式，或当问题涉及线段的乘积式、比例式，或线段的平行、共线关系时，可试将这些线段线段的平行、共线关系时，可试将这些线段分别变换到某二个相似或位似形的对应位置分别变换到某二个相似或位似形的对应位置上，从而使已知和未知数量关系明朗化。上，从而使已知和未知数量关系明朗化。几何变换PPT课件22.bcac例16 如图所示,在 ABC中, B=2 C,求证:ACBbac22

19、,bacbcaccb分析 要证需证, ;,b c ac b即只需让分别为一对相似三角形的对应边,这对三角形需满足:;(2).bac(1)以 为公共边其中有一个三角形有一边为,aADac延长AB至D,使BD=这时Da1,2DBCDABCACBA 因为又公共 所以ABCACDABCACD只需证几何变换PPT课件FGE例20 如图所示，设E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上的点,且 ，过A作AG EF于G，求证AG=AB。045EAFABDC0分析 将 ADF绕A点顺时针方向旋转90 ,则DB,DF旋转至HB,H0即 ABH= D=90又 HAE= HAB+ BAE= DAF+ BAE00,=

20、90EAF=45且 AH=AF,故以AE为轴将 AHE反射至AE,另一侧必与 AFE重合,其对应边上的高AB与AG也必重合,即AB=AG.五、几种几何变换的综合应用几何变换PPT课件 可见可见 ，对于解决一类直接推理，对于解决一类直接推理而较难入手的几何题而较难入手的几何题 。我们只要合。我们只要合理借助平移、旋转、对称、相似等几理借助平移、旋转、对称、相似等几何变换的基本技巧，将几何图形从原何变换的基本技巧，将几何图形从原位置运动到新位置保持位置运动到新位置保持“不变性不变性”，即可化繁为简，变难为易，汇聚条件即可化繁为简，变难为易，汇聚条件进而迅速寻找到解题思路，真正起到进而迅速寻找到解题

21、思路，真正起到立杆见影的效果立杆见影的效果 。几何变换PPT课件 运用几何变换的理论和方法讨论运用几何变换的理论和方法讨论欧氏几何是用现代数学的思想方法处理欧氏几何是用现代数学的思想方法处理综合几何的一种重要途径。一个图形，综合几何的一种重要途径。一个图形，可以看作是一个点集，讨论图形的位置可以看作是一个点集，讨论图形的位置关系或数量关系，可以用变换的观点讨关系或数量关系，可以用变换的观点讨论在某种变换下的特殊规律。用几何变论在某种变换下的特殊规律。用几何变换（或渗透几何变换的思想方法）处理换（或渗透几何变换的思想方法）处理中学几何，这是当前改革中学几何教学中学几何，这是当前改革中学几何教学的

22、基本思路之一。的基本思路之一。几何变换PPT课件0,1().2D EAC BCABDE1. 在ABC中,C=90分别是上的点.且DEAB,F,G分别是DE,AB的中点.求证:FG=2.已知E是ABC外角CAF平分线上的一点求证： BEECABAC的长。求，中一点，为正已知PCPBPAAPBABCPO43,150. 3的度数。求如果上一点，为上的一点，为中，在正方形EAFEFDFBECDFBCEABCD,. 4的边长。求，中一点，且为正已知ABCPCPBPAABCP543. 5几何变换PPT课件作业：作业： 学习学习数学方法论数学方法论的体会和收获的体会和收获（要求：手写（要求：手写, ,字数在字数在10001000字以上字以上 ，下次课，下次课上交。上交。）几何变换PPT课件0,1().2D EAC BCABDE1. 在ABC中,C=90分别是上的点.且DEAB,F,G分别是DE,AB的中点.求证:FG=CBAEDFGNM分析 为了作出二线段之差AB-DE,将FE平移至BN的位置,将DF平移至AM.因为DEAB,所以M,N都落在AB上.0.故MN=AB-DE,G是MN的中点,MFN= C=901.2FGMN由直角三角形的性质知几何变换PPT课件证明证明 如图，以如图，以ABCABC的外角平的外角平分线分线AEAE为