全等三角形重点题型(供参考)

1、百度文库让每个人平等地捉升口我全等三角形知识点总结知识点总结一、全等图形、全等三角形：1. 全等图形：能够完全的两个图形就是全等图形。2. 全等图形的性质：全等多边形的、分别相等。3. 全等三角形：三角形是特殊的多边形，因此，全等三角形的对应边、对应角分别 相等。同样，如果两个三角形的边、角分別对应相等，那么这两个三角形全等。说明：全等三角形对应边上的高，中线相等，对应角的平分线相等：全等三角形 的周长，而积也都相等。这里要注意：（1）周长相等的两个三角形，不一定全等；（2）而积相等的两个三角 形，也不一定全等。二、全等三角形的判定：1. 一般三角形全等的判定（1）三边对应相等的两个三角形全等

2、（“边边边”或“”）。（2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（“边角边”或“”）。（3）两个角和它们的夹边分别对应相等的两个三角形全等（"角边角”或“”）。（4）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（“角角边”或“” ） 02. 直角三角形全等的判定利用一般三角形全等的判定都能证明直角三角形全等.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（"斜边、直角边”或“”）.注意：两边一对角（SSA）和三角（AAA）对应相等的两个三角形不一定全等。3. 性质1、全等三角形的对应角相等、对应边相等。2、全等三角形的对应边上的髙对应相等。3、全等三角形的对应角平分线相

3、等。4、全等三角形的对应中线相等。5、全等三角形面积相等。6、全等三角形相等。（以上可以简称:全等三角形的对应元素相等）三、角平分线的性质及判定：性质左理：角平分线上的点到该角两边的距离相等。判定左理：到角的两边距离相等的点在该角的角平分线上。四、证明两三角形全等或利用它证明线段或角相等的基本方法步骤：1. 确世已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰 三角形、等所隐含的边角关系）：2. 回顾三角形判泄公理，搞淸还需要什么；3.正确地书写证明格式（顺序和对应关系从已知 推导出要证明的问题）。初二数学第十一章全等三角形综合复习切记：“有三个角对应相等”和“有两边

4、及苴中一边的对角对应相等”的两个三角形不 一定全等。例 1.如图，AFE.B 四点共线，AC丄CE, BD1DF , A£ = BF, AC = BD。求证：MCF = ABDEa例2.如图，在AABC中，BE是ZABC的平分线，AD丄BE,垂足为求证:Z2 = Zl + ZCo例3.如图，在AABC中，=ZABC = 90 . F为朋延长线上一点，点E在BC上,BE = BF、连接 AE,EF 和 CF。求证：AE = CF °例 4.如图，AB/CD, ADHBC.求证：AB = CD。例5.如图，AP.CP分别是AABC外角ZMAC和Z/VC4的平分线，它们交于点P。

5、求证: BP为ZMBN的平分线。例6.如图，D是AABC的边BC上的点，且CD = AB, ZADB = ZBAD. 是AABD的 中线。求证：AC = 2AE.例7.如图，在中，AB>AC , Z1 = Z2 , P为AD上任意一点。求证:AB-AC>PB-PC°同步练习一、选择题：1. 能使两个直角三角形全等的条件是（）A.两直角边对应相等B. 一锐角对应相等C.两锐角对应相等D.斜边相等2. 根据下列条件，能画出唯一AABC的是（）A. AB = 3, 3C = 4,G4 = 8B. AB = 4,BC = 3, ZA = 30C. ZC = 60 , ZB = 4

6、5°,AB = 4D. ZC = 90, AB = 63. 如图，已知Z1 = Z2, AC = AD,增加下列条件：®AB = AE；BC = ED：ZC = ZD：=其中能使AABC = AED的条件有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个74 如图，Z1 = Z2, ZC = ZD, AC.BD交于E点,下列不正确的是（）A. ZDAE = ZCBE C. £)£>!不全等于B. CE = DED. £/是等腰三角形5如图，已知AB = CD, BC = AD. ZB = 23 ,则ZD等于（A. 6TB. 46C. 23D.

7、无法确d二、填空题:6如图，在 AABC 中，ZC = 90 ,ZABC的平分线BD交AC于点D ,且CD:AD = 2:39 AC = 1067«,则点 D 到 43 的距禽等于cw :7. 如图，已知AB = DC , AD = BC , 是3D上的两点，且BE = DF ,若ZAEB = 1008将一张正方形纸片按如图的方式折叠，BC.BD为折痕，则ZCBD的大小为丄一z4 BE9. 如图，在等腰RtABC中，ZC = 90 , AC = BC, AD平分ZBAC交.BC于 D, DE丄AB于E,若43 = 10,则的周长等于:10. 如图，点D、EFB在同一条直线上，AB/C

8、D, AEHCF .且AE = CF、若BD = 10, BF = 2,则 EF =:三、解答题：11. 如图，AABC为等边三角形，点分别在BC4C上，且BM=CN, AM与BN 交于0点。求乙4QN的度数。A12. 如图，ZACB = 90 , AC = BC D 为 AB ± 一点，AE 丄 CD, BF 丄 CD，交 CD 延长线于F点。求证：BF = CE°百度文血汁毎个人节尊地捉升门我8百度文库让每个人平等地捉升口我答案例1思路分析：从结论MCF = SBDE入手，全等条件只有ACBD,由AE = BF两边 同时减去EF得到AF = BE,又得到一个全等条件。还

9、缺少一个全等条件，可以是 CF = DE,也可以是=由条件 AC丄CE，BD丄DF 可得 ZACE = ZBDF = 90 ,再加上 AE = BF，AC = BD, 可以证明MCE三ABDF，从而得到ZA = ZB。解答过程:v AC丄CE, BD丄DF ZACE = ABDF = 90在 RtMCE 与 RtSBDF 中AE = BFAC = BD/. RtMCE = RtSBDF(HL)ZA = ZBAE = BF AE-EF = BF-EF、即 AF = BE在A4CF与AZ辺E中AF = BE/ < ZA = ZBAC = BD. MCF = SBDE(SAS)解题后的思考：本

10、题的分析方法实际上是“两头凑”的思想方法：一方而从问题或结论 入手，看还需要什么条件：另一方而从条件入手，看可以得岀什么结论。再对比“所需条件” 和“得岀结论”之间是否吻合或具有明显的联系，从而得出解题思路。小结：本题不仅告诉我们如何去寻找全等三角形及英全等条件，而且告诉我们如何去分 析一个题目，得岀解题思路。例2.思路分析：直接证明Z2 = Z1 + ZC比较困难，我们可以间接证明，即找到乙a, 证明Z2 = ZaKZa = Zl + ZCo也可以看成将Z2 “转移”到Zq。那么Za在哪里呢？角的对称性提示我们将AD延长交BC于F,则构造了 AFBD,可 以通过证明三角形全等来证明Z2=ZD

11、FB.可以由三角形外角左理得ZDFB=Z1+ZCU 解答过程：延长AD交BC于F在MBD与MBD中ZABD = ZFBDv <BD = BD:. MBD = MBD(ASAZ2 = ZDFBZADB = AFDB = 90又 ZDFB = Z1 + ZC Z2 = Zl + ZCoA解题后的思考：由于角是轴对称图形，所以我们可以利用翻折来构造或发现全等三角形。例3思路分析：可以利用全等三角形来证明这两条线段相等，关键是要找到这两个三角 形。以线段AE为边的AABE绕点B顺时针旋转90到ACBF的位巻，而线段CF正好是 CBF的边.故只要证明它们全等即可。解答过程：ZABC = 90 ,

12、F为AB延长线上一点. ZABC = ZCBF = 90在AABE与5CBF中AB = BC < Z/1BC = ZCBFBE = BF» WEMCBF(SAS)AE = CF e解题后的思考：利用旋转的观点，不但有利于寻找全等三角形，而且有利于找对应边和 对应角。小结：利用三角形全等证明线段或角相等是重要的方法，但有时不容易找到需证明的三 角形。这时我们就可以根据需要利用平移、翻折和旋转等图形变换的观点来寻找或利用辅助 线构造全等三角形。例4.思路分析：关于四边形我们知之甚少，通过连接四边形的对角线，可以把原问题转 化为全等三角形的问题。解答过程：连接AC: ABIICD,

13、AD/BC:.Zl = Z2 , Z3 = Z4在AABC与ACOA中Z1 = Z2- AC = CAZ4 = Z3 MBC = ACZM(ASA)AB = CDa解题后的思考：连接四边形的对角线，是构造全等三角形的常用方法。例5.思路分析：要证明“必为乙伽N的平分线”，可以利用点P到的距离相 等来证明，故应过点P向作垂线：另一方面，为了利用已知条件“ AP.CP分别是 ZM4C和ZNCA的平分线”，也需要作出点P到两外角两边的距离。解答过程：过P作PD丄3M于D, P£丄AC于E, PF 1BN于F/ AP平分 ZM4C, PD丄BM 于 D，PE丄 AC于 E PD = PEv

14、CP 平分 ZNC4, PELAC 于 E, PF 丄 BN 于 F PE = PFv PD = PE, PE = PF PD = PF PD = PF,且 PD 丄于 D, PF1.BN 于 F.肿为ZMDV的平分线。解题后的思考：题目已知中有角平分线的条件，或者有要证明角平分线的结论时，常过 角平分线上的一点向角的两边作垂线，利用角平分线的性质或判左来解答问题。例6.思路分析：要证明“ AC = 2AE 不妨构造出一条等于2AE的线段，然后证其等于 AC 0因此，延长AE至F,使EF = 4E。解答过程：延长AE至点F,使EF = AE，连接DF在AABE与AFDE中AE = FE/ ZA

15、EB = ZFEDBE = DE MBE 三 MDE(S AS). ZB = ZEDF ZADF = ZADB + ZEDF , ZADC = ZBAD+ZB又. ZADB = ZBAD ZADF = ZADCv AB = DF, AB = CDDF = DC在4UW与AADC中AD = AD. < ZADF = ZADCDF = DC. M£)F = A4£>C(SAS). AF = AC又AF = 2AE. AC = 2AE.解题后的思考：三角形中倍长中线，可以构造全等三角形，继而得出一些线段和角相等. 甚至可以证明两条直线平行。例7.思路分析：AB-AC&

16、gt;PB-PC,不难想到利用三角形中三边的不等关系来证 明。由于结论中是差，故用两边之差小于第三边来证明，从而想到构造线段AB-AC.而构 造AB-AC可以采用“截长”和“补短”两种方法。解答过程：法一：在加上截取/W = AC,连接PN在A4PN与44PC中'AN = ACv ' Z1 = Z2AP = AP A4P/V = MPC(SAS)PN = PC在 AfiPN 中，PB-PN<BN PB-PC<AB-AC ,即 AB-AC>PB-PCo法二：延长AC至M,使连接PM 在AABP与AAMP中AB = AMv Z1 = Z2AP = AP.MBP =

17、 A4AP(SAS)PB = PM在 APGW 中，CM > PM-PC AB-AC>PB-PC °12百度文邮-让每个人平等地捉升口我解题后的思考：肖已知或求证中涉及线段的和或差时，一般采用“截长补短”法。具体 作法是：在较长的线段上截取一条线段等于一条较短线段，再设法证明较长线段的剩余线段 等于另外的较短线段，称为“截长”：或者将一条较短线段延长，使苴等于另外的较短线段, 然后证明这两条线段之和等于较长线段，称为“补短”。小结：本题组总结了本章中常用辅助线的作法，以后随着学习的深入还要继续总结。我 们不光要总结辅助线的作法，还要知道辅助线为什么要这样作，这样作有什么用处。同步练习的答案一、选择题：I. A2.C3. B4.C5.C二、填空题：6.47. 70°8. 909. 1010.6三、解答题：II. 解： AABC为等边三角形AB