小学奥数-几何五大模型2

1、三角形等高模型与鸟头模型模型一三角形等高模型已经知道三角形面积的运算公式：三角形面积底高 2从这个公式我们可以发觉：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积假如三角形的底不变，高越大小，三角形面积也就越大小； 假如三角形的高不变，底越大小，三角形面积也就越大小；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不肯定变化比如当高变为原先的3 倍，底变为原先的1 ，就三角形面积与原先3的一样 这就是说： 一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化同时也告知我们：一个三角形在面积不转变的情形下，可以有很

2、多多个不同的外形在实际问题的讨论中，我们仍会经常用到以下结论：等底等高的两个三角形面积相等；两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如图s1 : s2a : babs1s2abcd夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图s acds bcd ；反之，假如s acds bcd ，就可知直线ab 平行于 cd 等底等高的两个平行四边形面积相等长方形和正方形可以看作特别的平行四边形；三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比【例1】你有多少种方法将任意一个三

3、角形分成： 3 个面积相等的三角形； 4 个面积相等的三角形；6 个面积相等的三角形；【解析】 如下图， d、 e 是 bc 的三等分点，f、g 分别是对应线段的中点，答案不唯独：aaafgbdecbdcbdc 如下图，答案不唯独，以下仅供参考：如下图，答案不唯独，以下仅供参考：【例2】如图， bd 长 12 厘米， dc 长 4 厘米， b、c 和 d 在同一条直线上； 求三角形abc 的面积是三角形abd 面积的多少倍？ 求三角形 abd 的面积是三角形adc 面积的多少倍？abdc【解析】 由于三角形abd 、三角形abc 和三角形adc 在分别以bd 、bc 和 dc 为底时，它们的高

4、都是从a点向 bc 边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等；于是：三角形abd 的面积12高26高三角形 abc 的面积（124） 高28高三角形 adc 的面积4高22高所以，三角形abc 的面积是三角形abd4面积的倍；3三角形 abd 的面积是三角形adc 面积的 3 倍；【例3】如右图， abfe 和 cdef 都是矩形，ab 的长是 4 厘米， bc 的长是 3 厘米，那么图中阴影部分的面积是平方厘米；abefdc【解析】 图中阴影部分的面积等于长方形abcd 面积的一半，即4326 平方厘米 ；【巩固】 2021年四中小升初入学测试题 如下列图，平行四边形的面积是50 平方厘米

5、，就阴影部分的面积是平方厘米；【解析】 依据面积比例模型，可知图中空白三角形面积等于平行四边形面积的一半，所以阴影部分的面积也等于平行四边形面积的一半，为50225 平方厘米；【巩固】如下图，长方形afeb 和长方形 fdce 拼成了长方形abcd ，长方形 abcd 的长是 20，宽是 12，就它内部阴影部分的面积是；abfedc【解析】 依据面积比例模型可知阴影部分面积等于长方形面积的一半，为12012120 ；2【例4】如图，长方形 abcd 的面积是 56 平方厘米， 点 e 、f 、g 分别是长方形abcd 边上的中点， h 为 ad边上的任意一点，求阴影部分的面积；ahdahdeg

6、egbfcbfc【解析】 此题是等底等高的两个三角形面积相等的应用；连 接 bh 、 ch ；aeeb ，s aehs beh 同理，s bfhs cfh， s cgh =sdgh ，s1 s15628 平方厘米 阴影长方形 abcd22【巩固】图中的e 、 f 、 g 分别是正方形abcd 三条边的三等分点，假如正方形的边长是12 ，那么阴影部分的面积是；adahd 6g51gee243bfcbfc【解析】 把另外三个三等分点标出之后，正方形的3个边就都被分成了相等的三段；把h 和这些分点以及正方形的顶点相连，把整个正方形分割成了9 个外形各不相同的三角形；这9 个三角形的底边分别是 在正方

7、形的3个边上， 它们的长度都是正方形边长的三分之一；阴影部分被分割成了3个三角形， 右边三角形的面积和第1第 2 个三角形相等：中间三角形的面积和第3第 4 个三角形相等；左边三角形的面积和第5 个第 6 个三角形相等；因此这 3 个阴影三角形的面积分别是abh 、 bch 和 cdh 的三分之一， 因此全部阴影的总面积就等于正方形面积的三分之一；正方形的面积是144，阴影部分的面积就是48；【例5】长方形 abcd 的面积为36 cm2 ， e 、 f 、 g 为各边中点，h 为 ad 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？ahdegbfc【解析】 解法一：查找可利用的条件，连接bh 、 hc

8、 ，如下图：ahdegb可得： sf1 s、 sc1 s、 s1 s，而ssss36ehbahb2fhbchb2dhgdhc2abcdahbchbchd11即 s ehbs bhfs dhgs ahbs chbs chd 3618 ；22而 sssss， s1bebf111abbc1364.5 ；ehbbhfdhg所以阴影部分的面积是：阴影s阴影ebf18s ebfebf22228184.513.5解法二：特别点法；找h 的特别点，把h 点与 d 点重合，那么图形就可变成右图：ad h egbfc这样阴影部分的面积就是def 的面积，依据鸟头定理，就有：sssss36113636113613.

9、5 ；阴影abcdaedbefcfd1112222222【例6】长方形 abcd 的面积为36， e 、 f 、 g 为各边中点，h 为 ad 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？ahdegbfca hd ahde gegbfcbfc【解析】 （ 法 1）特别点法；由于h 为 ad 边上任意一点，找h 的特别点，把h 点与 a 点重合（如左上图） ，那么阴影部分的面积就是aef 与adg 的面积之和，而这两个三角形的面积分别为长方形abcd面积的 1 和 1，所以阴影部分面积为长方形abcd 面积的，为 36313.5 ；113848848（法 2）查找可利用的条件，连接bh 、 hc ，如右

10、上图；可得：1s、 ss ehbahb21s、fhbchb21s，而s dhgdhc2sabcds ahbs chbs chd36 ，即 sehbsbhfsdhg而 sehbsbhfsdhg11 s ahbs chbs chd 3618 ；22s阴影sebf ，s ebf1bebf1 1ab1bc1364.5 ；所以阴影部分的面积是：s阴影18s ebf22228184.513.5 ；【巩固】在边长为6 厘米的正方形abcd 内任取一点p ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与 p 点连接 , 求阴影部分面积；a da pdadppb cbcbc【解析】 （ 法 1）特别点法；由

11、于p 是正方形内部任意一点，可采纳特别点法，假设p 点与 a 点重合，就阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的14和 1 ，所以阴影部62分的面积为6 1115 平方厘米；46（法 2）连接 pa 、 pc ；由于pad 与pbc 的面积之和等于正方形abcd 面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形abcd 面积的 14，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形abcd 面积的 16，所以阴影部分的面积为62 11 15 平方厘米；46【例7】如右图， e 在 ad 上，ad 垂直 bc， ad面积的几倍？a12 厘米， de3 厘米

12、求三角形abc 的面积是三角形ebcebdc【解析】 由于 ad 垂直于 bc，所以当bc 为三角形 abc 和三角形ebc 的底时， ad 是三角形 abc 的高， ed是三角形ebc 的高，于是：三角形abc 的面积三角形 ebc 的面积bc122bc32bc6bc1.5所以三角形abc 的面积是三角形ebc 的面积的4 倍【例8】如图，在平行四边形abcd 中， ef 平行 ac，连结 be、ae、cf、bf 那么与bec 等积的三角形一共有哪几个三角形？afdebc【解析】aec、afc 、abf 【巩固】如图，在abc 中， d 是 bc 中点， e 是 ad 中点，连结be、ce，

13、那么与abe 等积的三角形一共有哪几个三角形？aebdc【解析】 3 个，aec 、bed 、dec 【巩固】如图，在梯形abcd 中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？adobc【解析】abd 与acd，abc 与dbc ，abo 与dco 【例9】 第四届”迎春杯”试题 如图，三角形abc 的面积为1，其中 ae的面积是多少？3ab ， bd2bc ，三角形 bdeabeabecd【解析】 连接 ce ， ae3ab ， becd2 ab ， s bce2s acb又 bd2bc ， s bde2 s bce4s abc4 【例10】 2021 年四中考题 如右图， addb

14、 ，aeeffc ，已知阴影部分面积为5 平方厘米，abc的面积是平方厘米bbddaefcaefc【解析】 连接 cd 依据题意可知，def 的面积为dac 面积的 1 ，dac 的面积为abc 面积的 1 ，所32111以def 的面积为abc 面积的236而def 的面积为5 平方厘米，所以abc 的面积为5130 平方厘米 6【巩固】 图中三角形abc 的面积是180 平方厘米， d 是 bc 的中点， ad 的长是 ae 长的 3 倍， ef 的长是 bf长的 3 倍那么三角形aef 的面积是多少平方厘米？aefbdc【解析】abd ，abc 等高，所以面积的比为底的比，有s abds

15、 abcbd1 ,bc2所以 s= 1s118090平方厘米 同理有saes19030 平方厘米 ，abdabc22abeabdad3sfes33022.5 平方厘米 即三角形aef 的面积是22.5 平方厘米afeabebe4【巩固】如图，在长方形abcd 中， y 是 bd 的中点， z 是 dy 的中点，假如ab三角形 zcy 的面积24 厘米， bc8厘米，求dczyab【解析】 y 是 bd 的中点， z 是 dy 的中点， zy11db ， s 221s，zcydcb4又 abcd 是长方形， s1 s11 s24 平方厘米 zcydcbabcd442【巩固】如图，三角形abc 的

16、面积是24， d、e 和 f 分别是 bc、ac 和 ad 的中点求三角形def 的面积afebdc【解析】 三角形 adc 的面积是三角形abc 面积的一半24212 ，三角形 ade 又是三角形adc 面积的一半 1226 三角形 fed 的面积是三角形ade 面积的一半，所以三角形fed 的面积623【巩固】如图，在三角形abc 中， bc8 厘米，高是6 厘米， e、f 分别为 ab 和 ac 的中点，那么三角形ebf 的面积是多少平方厘米？aefbc【解析】 f 是 ac 的中点s abc2s abf同理 s abf2s befs befs abc486246 平方厘米 【例11】如

17、图 abcd 是一个长方形，点e、f 和 g 分别是它们所在边的中点假如长方形的面积是36个平方单位，求三角形efg 的面积是多少个平方单位dgcdgce a【解析】 如右图分割后可得，f bs efge as矩形 defc2s矩形abcdf b43649 （平方单位） 【巩固】 97 迎春杯决赛 如图， 长方形 abcd 的面积是 1 ， m 是 ad 边的中点， n 在 ab 边上， 且 2anbn .那么，阴影部分的面积是多少？a mdamd nnb cbc【解析】 连 接 bm ，由于m 是中点所以 abm的面积为1115122124又由于2anbn ，所以bdc的面积为1114312

18、，又由于bdc面积为 12，所以阴影部分的面积为：1.【例12】如图，大长方形由面积是12 平方厘米、 24 平方厘米、 36 平方厘米、 48 平方厘米的四个小长方形组合而成求阴影部分的面积ab36cm 212cm 236cm 248cm 212cm 2mn24cm 248cm 224cm 2cd【解析】 如图，将大长方形的长的长度设为1，就 ab121111，阴影部分面积为12243648112341221212364， cd241 ，24483所以 mn5cm 【例13】如图，三角形 abc 中，dc的面积是多少？2bd ，ce3ae ，三角形 ade 的面积是20 平方厘米， 三角形

19、abcaebdc【解析】 ce3ae ， ac4ae ， s adc4s ade ；又 dc2bd ， bc1.5dc ， s abc1.5s adc6 s ade120 平方厘米 【例14】 2021 年第七届” 期望杯”二试六年级 如图，在三角形 abc 中，已知三角形ade 、三角形 dce 、三角形 bcd 的面积分别是89， 28， 26那么三角形dbe 的面积是bda【解析】 依据题意可知，es adccs ades dce8928117 ，所以 bd : ads bdc : s adc26 :1172 :9 ，那 么 s dbe : s adebd : ad2 : 9 ，故 s

20、dbe892901220219 7 9999【例15】 第四届小数报数学竞赛 如图，梯形abcd 被它的一条对角线bd 分成了两部分三角形bdc 的面积比三角形abd 的面积大10 平方分米已知梯形的上底与下底的长度之和是15 分米，它们的差是5 分米求梯形abcd 的面积adadhbcbec2【解析】 如右图， 作 ab 的平行线de三角形 bde 的面积与三角形abd 的面积相等， 三角形 dec 的面积就是三角形bdc 与三角形abd 的面积差 10 平方分米 从而，可求出梯形高 三角形 dec 的高 是： 21054 分米 ，梯形面积是：154230 平方分米 【例16】图中aob 的

21、面积为15cm ，线段 ob 的长度为od 的 3 倍，求梯形abcd 的面积adob【解析】 在abd 中，由于cs aob15cm 2 ，且 ob3od ，所以有s aods aob35cm 2 由于abd 和acd 等底等高，所以有s abds acd 从而 s2ocd15cm2 ，在bcd 中， sboc3s ocd45cm2 ，所以梯形面积：15515458（0 cm ）【例17】如图，把四边形abcd 改成一个等积的三角形ddaabcabc【解析】 此题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等我们可以利用三角形等积变形的方法，如右上图把顶点a 移到

22、 cb 的延长线上的a处，abd 与abd 面积相等， 从而adc 面积与原四边形abcd 面积也相等 这样就把四边形abcd 等积地改成了三角形adc 问题是a位置的挑选是依据三角形等积变形原就过a 作一条和db 平行的直线与cb的延长线交于a点详细做法：连接 bd ； 过 a 作 bd 的平行线，与cb 的延长线交于a 连接 ad ，就acd 与四边形abcd 等积【例18】（第三届“华杯赛”初赛试题）一个长方形分成4 个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的 15% ，黄色三角形面积是221cm 问：长方形的面积是多少平方厘米？黄红红绿【解析】 黄色三角形与绿色三角形的底相等都等于长

23、方形的长，高相加为长方形的宽，所以黄色三角形与绿色三角形的面积和为长方形面积的50% ，而绿色三角形面积占长方形面积的15% ，所以黄色三角形面积占长方形面积的50%15%35% 22已知黄色三角形面积是21cm ，所以长方形面积等于2135%60 （ cm ）【例19】o 是长方形abcd 内一点，已知obc 的面积是积是多少？5cm ，oab 的面积是2cm ，求obd 的面22a dopb c【解析】 由 于 abcd 是长方形，所以ss1 s，而 s1 s，所以s aods bocs abd ，aodbocabcd2abdabcd22就 s bocs oabs obd ，所以s obd

24、s bocs oab523cm 【例20】如右图，过平行四边形abcd 内的一点 p 作边的平行线ef 、 gh ，如pbd 的面积为8 平方分米，求平行四边形phcf 的面积比平行四边形pgae 的面积大多少平方分米？agdepfagdepfbhcbhc【解析】 依据差不变原理，要求平行四边形phcf 的面积与平行四边形pgae 的面积差，相当于求平行四边形 bcfe 的面积与平行四边形abhg 的面积差如右上图，连接cp 、 ap 由于 sssss1 s，所以sssbcpadpabpbdpadpabcd2bcpabpbdp1而 ss， s1s，所以 ss2 ss2s16 平方分米 bcpb

25、cfe2abpabhg2bcfeabhgbcpabpbdp【例21】如右图，正方形abcd 的面积是 20，正三角形bpc 的面积是 15，求阴影bpd 的面积adpa dpob cbc【解析】 连接 ac 交 bd 于 o 点，并连接po 如下图所示，可得 po / / dc ，所以dpo 与cpo 面积相等 同底等高 ，所以有：s bpos cpos bpos pdos bpd ，由于 s1sbocabcd1205 ，所以s bpd15510 44【巩固】如右图，正方形abcd 的面积是 12，正三角形bpc 的面积是 5 ，求阴影bpd 的面积adpa dpob cbc【解析】 连接 a

26、c 交 bd 于 o 点，并连接po 如右上图所示，可得 po / / dc ，所以dpo 与cpo 面积相等 同底等高 ，所以有 :s bpo由于 ss cpos bpo1 ss pdo3 ，所以s bpd ，s bpd532 bocabcd4【例22】在长方形 abcd 内部有一点o ，形成等腰aob 的面积为 16，等腰doc 的面积占长方形面积的 18% ，那么阴影aoc 的面积是多少？dcoab【解析】 先算出长方形面积，再用其一半减去doc 的面积 长方形面积的18% ，再减去aod 的面积，即可求出aoc 的面积依据模型可知s cods aob1sabcd ，所以2sabcd16

27、 （ 1218%）50 ，又aod 与boc 的面积相等，它们的面积和等于长方形面积的一半，所以aod 的面积等于长方形面积的1 ，41所以 s aocs acds aods codsabcd225%sabcd18%sabcd2512.593.5 【例23】（ 2021 年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛六年级）如右图所示，在梯形abcd 中， e 、 f分别是其两腰ab 、cd 的中点， g 是 ef 上的任意一点，已知adg的面积为215cm ，而bcg 的面积恰好是梯形abcd 面积的720，就梯形abcd 的面积是2cm adadefef ggbcbc【解析】 假如可以求出abg 与c

28、dg 的面积之和与梯形abcd 面积的比，那么就可以知道adg 的面积占梯形 abcd 面积的多少，从而可以求出梯形abcd 的面积如图，连接ce 、 de 就s aegs deg ， s begs ceg ，于是s abgs cdgs cde 要求cde 与梯形 abcd 的面积之比， 可以把梯形abcd 绕 f 点旋转 180 ，变成一个平行四边形如下图所示：从 中 容 易 看 出cde 的 面 积 为 梯 形 abcd 的 面 积 的 一 半 也 可 以 根 据1s，s becabc2ss1 s， ss1 s1 s1 s得来 aedafdadc2becaedabcadcabcd222那么

29、，依据题意可知adg 的面积占梯形abcd 面积的 1173222020，所以梯形abcd 的面积是15320100cm 小结：梯形一条腰的两个端点与另一条腰的中点连接而成的三角形，其面积等于梯形面积的一半，这是一个很有用的结论此题中，假如知道这一结论， 直接采纳特别点法， 假设 g 与 e 重合，就cde的面积占梯形面积的一半，那么adg 与bcg 合起来占一半【例24】如下列图，四边形abcd 与 aegf 都是平行四边形，请你证明它们的面积相等ffabgdecabgdec【解析】 此题主要是让同学明白并会运用等底等高的两个平行四边形面积相等和三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一

30、半证明：连接be 我们通过 abe 把这两个看似无关的平行四边形联系在一起在平行四边形abcd 中，1s abe1abab 边上的高，2s abes abcd 21同理，s abes aegf2，平行四边形abcd 与 aegf 面积相等【巩固】 如下列图， 正方形 abcd 的边长为 8厘米，长方形 ebgf 的长 bg 为10 厘米，那么长方形的宽为几厘米？eeababffdgcdgc【解析】 此题主要是让同学会运用等底等高的两个平行四边形面积相等 长方形和正方形可以看作特别的平行四边形 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半证明：连接ag 我们通过 abg 把这两个长方形和正方

31、形联系在一起 在正方形 abcd 中，s abg1abab 边上的高， 2s abg1s abcd2 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半同理， s1 s abgefgb2正方形 abcd 与长方形 efgb 面积相等长方形的宽88106.4 厘米 【例25】如图，正方形abcd 的边长为6， ae1.5， cf2长方形efgh 的面积为hhadadeeggbbfcfc【解析】 连接 de， df ，就长方形efgh 的面积是三角形def 面积的二倍三角形 def 的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，s def661.5622624.54216.5 ,所以长方形efgh 面

32、积为 33【例26】如图， abcd 为平行四边形，ef 平行 ac，假如ade 的面积为4 平方厘米求三角形cdf 的面积dcdcfaebfaeb【解析】 连结 af、ces ades ace ；s cdfs acf ；又ac 与 ef 平行，s aces acf s ades cdf4 平方厘米 【巩固】如右图，在平行四边形abcd 中，直线 cf 交 ab 于 e ，交 da 延长线于f ，如 s ade的面积1 ，求 befcbcb eedafdaf【解析】 此题主要是让同学并会运用等底等高的两个三角形面积相等 或夹在一组平行线之间的三角形面积相等 和等量代换的思想连接ac ab cd

33、 ， s ades ace同理 ad bc ， s acfs abf又 s acfs aces aef ，s abfs befs aef ，s aces bef，即 s befs ade1 【例27】图中两个正方形的边长分别是6 厘米和 4 厘米，就图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘米【解析】 4428 【例28】如图，有三个正方形的顶点d 、 g 、 k 恰好在同一条直线上，其中正方形gfeb 的边长为10厘米，求阴影部分的面积dcdcgfp oqhkgfp oqhkabeabe【解析】 对于这种几个正方形并排放在一起的图形，一般可以连接正方形同方向的对角线，连得的这些对角线相互都是平行的

34、，从而可以利用面积比例模型进行面积的转化2如右图所示，连接fk 、 ge 、 bd ，就 bd / /ge / / fk ，依据几何五大模型中的面积比例模型，可得 s dges bge ， s kges fge ，所以阴影部分的面积就等于正方形gfeb 的面积，即为10100 平方厘米【巩固】右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4 厘米，求三角形abc 的面积aabgf 4bgf 4edcedc【解析】 这 道题好像缺少大正方形的边长这个条件，实际上此题的结果与大正方形的边长没关系连接ad 见右上图 ，可以看出， 三角形 abd 与三角形acd 的底都等于小正方形的边长，高都等于大

35、正方形的边长，所以面积相等由于三角形agd 是三角形abd 与三角形acd 的公共部分，所以去掉 这个公共部分， 依据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形abg与三角形 gcd 面积仍旧相等 依据等量代换，求三角形abc 的面积等于求三角形bcd 的面积，等于4428【巩固】 2021 年西城试验考题 如图， abcd 与 aefg 均为正方形，三角形abh 的面积为6 平方厘米，图中阴影部分的面积为dcdcf efehhg abgab【解析】 如图，连接af ，比较abf 与adf ，由于 abad ， fgfe ，即abf 与adf 的底与高分别相等，所以abf 与adf 的面积相等，那么

36、阴影部分面积与abh 的面积相等，为6 平方厘米【巩固】 正方形 abcd 和正方形cefg ，且正方形abcd 边长为 10 厘米， 就图中阴影面积为多少平方厘米？a dadgfgfhhb cebce【解析】 方法一：三角形bef 的面积beef2 ，梯形 efdc 的面积（efcd） ce2beef2三角形 bef 的面积，而四边形cefh 是它们的公共部分，所以，三角形dhf 的面积三角形 bch 的面积， 进而可得，阴影面积三角形bdf的面积三角形bcd的面积1010250 平方厘米 方法二：连接cf ，那么 cf 平行 bd，所以，阴影面积三角形 bdf 的面积三角形 bcd 的面积

37、50 平方厘米 【巩固】 人大附中考题 已知正方形abcd 边长为 10，正方形 befg 边长为 6，求阴影部分的面积adadffggjijibechbech【解析】 假如留意到df 为一个正方形的对角线 或者说一个等腰直角三角形的斜边 ，那么简单想到df 与ci 是平行的所以可以连接ci 、 cf ，如上图由于 df 与 ci 平行，所以dfi 的面积与dfc 的面积相等而dfc 的面积为以dfi 的面积也为201041220 ，所【例29】 2021 年”华杯赛” 决赛 右图中， abcd 和 cgef 是两个正方形，ag 和 cf 相交于 h ，已知 ch等于 cf 的三分之一，三角形

38、chg 的面积等于6 平方厘米，求五边形abgef 的面积fefea dadhhb cgbcg【解析】 连接 ac 、 gf ，由于 ac 与 gf 平行，可知四边形acgf 构成一个梯形1由于hcg 面积为 6 平方厘米， 且 ch 等于 cf 的三分之一， 所以 ch 等于 fh 的2，依据梯形蝴蝶定理或相像三角形性质，可知fhg 的面积为12 平方厘米，ahf 的面积为6 平方厘米，ahc 的面积为 3 平方厘米那么正方形cgef 的面积为612236 平方厘米，所以其边长为6 厘米又afc 的面积为 639 平方厘米，所以ad9263 厘米 ，即正方形abcd 的边长为3 厘21米那么

39、，五边形abgef 的面积为：369349.5 平方厘米 2【例30】 第八届小数报数学竞赛决赛试题 如下图，e 、 f 分别是梯形abcd 的下底 bc 和腰 cd 上的点， dffc ，并且甲、乙、丙3个三角形面积相等已知梯形abcd 的面积是 32 平方厘米求图中阴影部分的面积ad乙f甲丙bec【解析】 由于乙、丙两个三角形面积相等，底dffc 所以 a 到 cd 的距离与 e 到 cd 的距离相等，即ae1与 cd 平行，四边形adce 是平行四边形，阴影部分的面积平行四边形adce 的面积的，所以2阴影部分的面积乙的面积2 设甲、乙、丙的面积分别为1 份，就阴影面积为2 份，梯形的面

40、积为 5 份，从而阴影部分的面积325212.8 平方厘米 【例31】如图，已知长方形adef 的面积 16 ，三角形adb 的面积是 3 ，三角形acf 的面积是 4 ，那么三角形 abc 的面积是多少？afafafcccdbedbedbe【解析】 方法一：连接对角线ae adef 是长方形s adedbs aefs adb1s adef23fcs acf1des ade，8efs aef2 bededb dede5 ， cefecf18efef2s bec1511652822s abcs adefs adbs acfs cbe13 2方法二：连接bf ，由图知s abf1628 ，所以s

41、bef16835 ，又由s acf4 ，恰好是 aefs abc面 积 的 一 半 ， 所 以 c 是ef的 中 点 ， 因 此16342.56.5s b c e sb c 5f22 . ，5 所 以【例32】如图，在平行四边形abcd 中， beec ， cf2fd 求阴影面积与空白面积的比adhfgbec【解析】 方法一：由于beec ， cf2fd ，所以s abe1s四边形 abcd ，4s adf1s四边形 abcd 6由于 ad2be ，所以 ag2ge ，所以 s bge11s abe3121s四边形 abcd ， s abg121s abe36s四边形 abcd 同理可得，s

42、adh1s四边形 abcd ，8s dhfs四边形 abcd 24111112由于 s bcds四边形 abcd ，所以空白部分的面积21s四边形 abcd21224683s四边形 abcd ，所以阴影部分的面积是12s四边形 abcd 3:1: 2 ，所以阴影面积与空白面积的比是1: 2 33【例33】 第七届”小机警杯”数学竞赛五年级复赛 如下列图，三角形abc 中， d 是 ab 边的中点，e是 ac 边上的一点， 且 ae3ec ，o 为 dc 与 be 的交点 如ceo的面积为 a 平方厘米，bdo 的面积为 b 平方厘米且ba 是 2.5 平方厘米，那么三角形abc 的面积是平方厘米adbo