平面向量的正交分解及坐标表示优质课

1、课题：平面向量的正交分解及坐标表示学习导航：平面向量基本定理告诉我们，平面内所有向量可 以用平面的一组基底表示出来，以化归与转化为思想达到化 繁为简的目标；那么恰当的选择基底（g可能特殊化的基 底）,将带来更加便利的向量表示及运算。我期待 ing,你呢？昨天的记忆 平面向量基本定理:如果彳、&是同一平面内的两个不共线的向量， 那么对于这一平面内的任一向量方,°看建只有一对 o O O O O O实数入、a2,可使> »a = & +A2 幺2这里不共线的向量石、叵叫做表示这一平面内 所有向量的一组基底a ex +&勺这就是说平面内任 向量Q都可

2、以表示 成人石+人&的形式M cAz把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解重力护生两个效果，一是木块受平行于斜面的力的作用斥，沿斜面下滑；一是木块产 生垂直于斜面的压力可也就是说，重力占的 效果等价于耳和瓦得合力效果，即G=F把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解如图，向量匸；是两个互相垂1,匕2直且长度分别为2, 1的向量，学方与勺的夹角 是30° ,且a =4以向量幺茜基底，向量2 如何表示？1 BnP0二“丸若该题中的基底的长度都为表示的结果是什么? 有何优越性？如图,ij是分别与x轴、y轴方向相同 的单位向量，若以；，为基底，则 对于该

3、平面内的任一向量 有且只有一对实数x、y,可使*>4JDyA二 *Jk:X0i = (1, 0) j = (0, 1) O =(0, 0)a = xi + yj.这样，平面内的任一向量：都可由心y唯一确定，我们把（3）叫做向量a 坐标，记作a =（兀 y）的（直角）A丄一 ° i B其中，兀叫做°在x轴上的坐标，y叫做°在y轴上的 坐标，式叫做向量的坐标表示.概念理解1.以原点o为起点 作OA = a,点A的 位置由谁确定？ 由d唯一确定.Ia = xi+yjOA = xi + yj> I2点A的坐标与向量Q的坐标的关系?两者相同向量a 对应.坐标(x

4、 , j)例1如图，分别用基底儿丿表示向量a、b、c、d ,并求出它们的坐标。解：如图可知一二(2,3)同理 歩二-方 +3二(-2,3)； ：二-3二(-2 厂引； 刁二力-3二(2厂*平面向量的坐标运算:> >Q+/2 二 C a-b(:勺+兀2，必+力）勺一兀2一 ）两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标 的和（差）实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的坐标例3 如图,已知求AB的坐标。解 AB = OB-OA =（兀2，%）一（再，开） = （x2-xi.y2-yi）一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。思考:你能在上图中标出坐

5、标为(x2-xpy2-yx)的P点吗?例2已知：= (2)g = (3,4)求a +b,ab. 3a +4 谢坐标。例3如图，己知的三个顶点A. B、C的坐标分别是(-2, 1)、(-1, 3)、(3, 4),试求顶点D的坐标。解法1 :设点D的坐标为(x,y)v AB = (-1,3)-(-2,1) = (1,2)DC = (3,4) -(x, y) = (3-x,4-y) 且 AB = DC (1,2) = (3 - 兀,4 - y)rl = 3 xq2 = 4 y解得 x=2,y=2所以顶点D的坐标为(2, 2)例4如图，已知U ABCD的三个顶点A. B、C的坐标分别是(-2, 1)、

6、(-1, 3)、(3, 4),试求顶点D的坐标。例4如图，已知U ABCD的三个顶点A. B、C的坐标分别是(-2, 1)、(-1, 3)、(3, 4),试求顶点D的坐标。解法2例4如图，已ft|U ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是(-2, 1)、(-1, 3)、(3, 4),试求顶点D的坐标。解法2解法2：由平行四边形法则可得 JD = BA + BC=(-2-(-1),1-3) + (3-(-1),4-3) =(3厂1)一而 0D = OB + BD二(73) + (3厂1)二(2,2)所以顶点D的坐标为(2, 2)小结1 :平面向量的坐标表示J7DA丄X0；B如图，i, j是分别与x轴、y轴方向相同 的单位向量，若以为基底，则对于该平面内的任一向量有且只有一对实数x、y,可使 > a = xi +yj这里，我们把（x,y）叫做向量a的（直角）坐标，记作a =（兀,y）其中，X叫做