幂函数及其性质专题教案

1、星辰教育培训中心幕函数及其性质专题一、幕函数的定义一般地，形如、二x( x. R)的函数称为幕孙函数，其中x是自变量，是常数.如1 1y =x2,y =x3,y等都是幕函数，幕函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.二、函数的图像和性质1(1) y = x(2) y = X2(3)、二x (4) y = x，(5) y = X3用描点法在同一坐标系内画出以上五个函数图像，通过观察图像，可以看出：y = x2y = x3y = x12y = x1y = x定义域奇偶性在第I象限单调增减性定点(公共点)自变量，函数的定义域是(0，+x).幕函数的定义：一般地，形如y =R)的函数称为幕孙函

2、数，其中x是自变量，是常数.性质对数函数的性质：定义域：(0，+X)；值域：R；过点（1, 0）,即当 x=1, y =0；在（0, +x）上是增函数；在（0, +x）是上减函数幕函数的性质：所有的幕函数在（0, +x）都有定义，图象都过点（1, 1） x >0时，幕函数的图象都通过原点，1在0 , +X 上, y =X、y=x2、y=x3、y=x2 是增函数，在（0, +x）上，y皿丄是减函数。【例题选讲】例1.已知函数f （x ）=（m2 _m _1 ）x'2，当m为何值时，f （x ）：（1）是幕函数；（2）是幕函数，且是 0, ：:上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是

3、反比例函数；（5）是二次函数;4 2简解：(1)m=2 或 m=1(2)m=_1(3)m=.(4) m=.( 5)m-15 5变式训练：已知函数2f x = m2 m xm ",，当m为何值时,f x在第一象限内它的图像是上升曲简解： 2工mm 0口< 2解得：m(_o0,_1 )U(3,讼:m -2m -30线。小结与拓展：要牢记幕函数的定义，列出等式或不等式求解。 例2.比较大小：1 1(1) 1.52 ,1.7 2(2) ( -1.2) 3,( -1.25) 31 1(3) 5.25, 5.26, 5.2630.50.5 , 3, log 3 0.5解：（1）：1y =x

4、2在0,二）上是增函数,11.5 ：: 1.7 ,. 1.5 2 : 1.7(2)vy =x在R上是增函数，-1.23-1.25 , ( -1.2)- ( -1.25)(3)v1 y =x在（0, ：）上是减函数,5.25 : 5.26 ,. 5.255.26x . . _1 y =5.26是增函数，-1 * -2 , 5.265.26综上，5.25 丄 5.265.2630.5(4). 0 : 0.5：1 , 3- 1 , log 3 0.5 : 0 ,-3 -星辰教育培训中心. . 2例3.已知幕函数y =xm -mJ ( m Z )的图象与x轴、y轴都无交点，且关于原点对称，求m的值.解

5、：幕函数2m _2 m _3y =x _ _(m Z )的图象与x轴、y轴都无交点，-4 -星辰教育培训中心-# -星辰教育培训中心2二 m 2m 3 乞 0，二-1 _ m _ 3 ；T m Z (m2 _2m 一3) Z，又函数图象关于原点对称, m 2 -2m -3 是奇数，.m =0 或 m =2 .例4、设函数f (x )= x3,(1 )求它的反函数；(2)分别求出 厂(x)= f (x), f1 (x) > f (x) , f T (x)v f (x)的实数 x 的范围.1解析：(1)由y = x3两边同时开三次方得 x= y ,1 (x) = x3 .1(2)函数f (x

6、) = x3和厂1 (x) = x3的图象都经过点(0, 0)和(1 , 1).1 (x)= f (x)时，x =± 1 及 0；在同一个坐标系中画出两个函数图象，由图可知1 (x)>f (x)时，xV 1 或 0vXV 1 ；1 ( x)V f (x)时，x> 1 或一1 Vxv0.点评：本题在确定x的范围时，采用了数形结合的方法，若采用解不等式或方程则较为麻烦.2 1例 5、求函数 y= x5 + 2x5 + 4 (x> 32)值域.1解析：设 t = x5 , x> 32,. t> 2，则 y= t2 + 2t+ 4=( t + 1) 2 + 3.

7、 当 t = 1 时，ymin = 3 .2 1函数 y= x7 + 2x5 + 4 (x> 32)的值域为3,+：).点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法.【同步练习】1. 下列函数中不是幕函数的是()A. y =、x3B. y = xC. y - 2x1D. y 二 x答案：C2.下列函数在1 - ' ,0上为减函数的是()1A. y = x323B. y=xC. y=x2D. y 二 x答案：E3. 下列幕函数中定义域为 ：x x .0的是()2323A. y=x3B. y=x2C. y=x3D. y=x2答案：D14. 函数y=( x2 2x)2的定义域是()A.X

8、|X工0 或 x工 2B.( 8,0)U(2,+s)C. (8,0) U:2,+D .( 0,2)解析：函数可化为根式形式，即可得定义域.答案：B15. 函数y=( 1 x2) 2的值域是()A . : 0,+7B. (0, 1)C. (0, 1)D . : 0, 1解析：这是复合函数求值域问题，利用换元法，令t = 1 x，则y= t . 1 w xw 1,. 0< tw 1 , 0< yw 1.答案：D26. 函数y= x5的单调递减区间为()A. ( 8, 1)B. (8, 0)C. 0,+8D. (8,+8)2解析：函数y= x5是偶函数，且在0,+8)上单调递增，由对称性

9、可知选B.答案：B1 17. 若a2 va 2，则a的取值范围是()a. a> 1b . a> 0C. 1 >a>0d. 1 > a>0解析：运用指数函数的性质，选 C.答案：C&函数y= ； (15 + 2x X2)3的定义域是。解析：由(15 + 2x x2) 3 > 0.15+ 2x xv 20. 3Wxw 5.答案：A19.函数y=丁在第二象限内单调递增，则m的最大负整数是 .2 m mx解析：m的取值应该使函数为偶函数.故m= 1.答案：m= 1210、讨论函数y= X5的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图.2思路：函数

10、y= x5是幕函数.(1)2要使y= x5 = x2有意义，x可以取任意实数，故函数定义域为R.(3)2/ x 三 R,： x >0.二 y> 0.f ( x)=寸(x)2 = Vx = f (x),2函数y= x亏是偶函数;2(4 ) n=> 0,52幕函数y= x5在0, +上单调递增.2由于幕函数y= x5是偶函数,2幕函数y= x5在(：,0) 上单调递减.(5)其图象如下图所示.11、比较下列各组中两个数的大小:3(1) 1 .55321.75 ; (2) 0.71.5, 0.61.5; (3) (1.2) 3 , (1.25)解析：(1)考查幕函数3X5的单调性，

11、在第一象限内函数单调递增,311.5 V 1.7 , 1.55 V31.752T ( 1.2) 3 =2- ( 1.2) 3 >12.已知函数 y=15 2x x2 .(1 )求函数的定义域、值域；(2) 判断函数的奇偶性；(3) 求函数的单调区间.解析：这是复合函数问题，利用换元法令t = 15 2x x2，则y= 4t ,(1 )由15 2x x2>0得函数的定义域为5, 3,2 t = 16( x 1) : 0, 16. 函数的值域为0, 2.(2) 函数的定义域为 5, 3且关于原点不对称，函数既不是奇函数也不是偶函数.(3) 函数的定义域为 5, 3,对称轴为x = 1

12、, x 5, 1时，t随x的增大而增大；x (1, 3)时，t随x的增大而减小.又函数y=阳t在 性:0, 16时，y随t的增大而增大，函数y= 15 2x x2的单调增区间为5, 1 ,单调减区间为(1, 3.答案：(1)定义域为5, 3，值域为0, 2;(2) 函数即不是奇函数，也不是偶函数；(3) (1 , 3.规律总结1在研究幕函数的性质时，通常将分式指数幕化为根式形式，负整指数幕化为分式形式再去进行讨论；2. 对于幕函数 y= x '，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即v 0, Ov v 1和： > 1三种情况下曲线的基本形状，还要注意=0,± 1三个曲线的形状；对于幕函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即:> 0 (工1)时图象是抛物线型；:v 0时图象是双曲线型；:-> 1时图象是竖直抛物线型； Ov : v 1时图象是横卧抛物线型.-8 -星辰教育培训中心30 5 log 3 0.5 : 0.5: 33(2)考查幕函数y= x2的单调性，同理0.71.5>0.61.5.(3)先将负指数幕