幂级数及泰勒展开习题解答

1、事级数及泰勒展开、求下列哥级数的收敛区间1.n x1)n 1 2n(2n3解:lim nan 1anlim n1时,2n(2n 1)2(n 1)(2n 1)12n(2n 1)2n(n n 1)所以1n1 2n(2n 1)收敛,1时,(1)n绝对收敛,收敛区间为n 1 2n(2n 1)1,1。n n 12.(1) xn 1 一 n 1 2 n解:lim nan1anlim n2时,2时,(1)n( 2)n1n 12n I n1发放, n 1 dn收敛区间为(2,2。收敛区间为3.n(1)2n解：lim n，1 ,一 一当x -时，通项不趋于零, 3n n-x1 13,33nxn4.n1)n(2x

2、 3)n2n 1解:limnan 1an故当5.解:2x 31时,2时,limn2n 12n 11,即1 x 2时级数绝对收敛。(1)n( 1)n1 2n 1 n1 2n 1,2n-1（-为收敛的交错级数,n 1 2n 1收敛区间为（1,2。ln(n 1)1 n 1(x 1)n故当limnlimnan 1anlimnln(n 2)(n 1)(n 2)ln(n 1)0时，因为ln(n 1)f(x)n 1ln xlimxln x所以2时级数绝对收敛。f (x)lim 0x 1ln x0(x x(1)nln(n 1)-一L收敛,2时，因为当n2时詈t收敛区间为0,2）。e)1发散, 2n3时,ln(

3、n 2)1所以2nln(n 1)n 1ln( nn 1 n 116. n1 号(x 1)2n，12Unlimn(x 1)2n 1n4n2n 1n 1(x 1) (n 1)41故当1 x4123时级数绝对收敛。当x 1时,n n41)2n(1)n 1、,为收敛的交错级数,1 n当x 3时,1)n-(3nn41)2n 1Dn乜为收敛的交错级数,n收敛区间为1,3。二、求下列哥级数的收敛区间并求和函数n 1 2n 11( D xI n1 2n解：limnUn 1Unlimn当x 1时,当x 1时,2 n 1 /c a x (2n 1)2n 1 小x (2n 1)1时级数绝对收敛，当|x| 1时，级数

4、发散。3(2n1n 1 2n 1n 1 2n 1Dn g 2为收敛的交错级数,(1)n1n1 2n 1为收敛的交错级数,收敛区间为1,1。令 S(x)n 1 2n 1(1) x2nS(0)S(x)(1)n11 2nxS(x)S(0)x 1 zdt arctanx0 1 t2S(x)arctanx(x 1).2n 12. 2nxn 1解：limnUn1Unlimn2 n 1 zyx (2n2n 1。x 2n2)x2故当x2 1x1时级数绝对收敛，当| x | 1时，级数发散。当 x 1 时， 2n( 1)2n 1n 12n发散,n 1当x 1时， 2n发散, n 1收敛区间为（1,1）。令 S(

5、x)2nx2n 1S(0) 0n 1x0 Sdtx2nt2n1dt2n x2x1 x2S(x)2x1 x2多(|x|1 x1).3. n(n 1)xn n 1如an 1 (n 1)(n 2)斛：lim lim 1n an n n(n 1)当x 1时， n（n 1）发散；当xn 11 时， n(n 1)( 1)n 发散, n 1收敛区间为（1,1）。令 S(x)n(nn 11)xnS(0) 04.x0 S(t)dtnn 12_ n 10 n(n 1)t dt nx x nxn 1n 1n 122 n 2 xxx x x 2n 11 x (1 x)2一x22xS(x) 23(|x| 1).(1 x

6、) (1 x)(2n 1) 2n 2 x2n解：limnun 1unlimnx2n (2n 1)2nx2n 22(n 1)(2n 1)2故当x1时级数绝对收敛，当|x| 1时，级数发散。当x 1时,2n 11 2n1一 （通项不趋于零）发散, 2n收敛区间为1,1)。令 S(x)2n2n1 2n 2-xS(0)x0 S(t)dtS1(x)S1(x)S1(x)另解2n x16(0)x2n1 ln(120 时，S(x)S(x)2n1t2n 2dtxE|x|x tdt0 1 t2ln(1S(x)n12n、求下列级数的和2n c1. 2n&nn 1 。 n 1也可以考虑利用哥级数1 2n 1x

7、n12n1)1 ln(12x2)2xln(1 x2)2x21x1 2n2nS1(x)(x 0),S1(0) 0 xx2)11 x2ln(1x2)2x2，0 |x|2n x2n1-x2n2n1 2n-x2n1.3 n2n11'.32n1313n 1nx2(|x|(1 x)1)121323n 12n3r2 n3131)n2n2n1)n2n 11)n11 (n 2n 1k 1)1)n一2n2k1)k2k 1(1)n1n 12n 1arctan1四、利用直接展开法将下列函数展开成骞级数1. f(x) ax(a 0,a 1)解:f (n)(x)ax(ln a)nf(n)(0) (ln a)nfn

8、 X n!(ln a)n nx ,limnlimnan 1an|Rn(X)| nim因a x有界,limnf(n(n(ln a)n 1(n1)!意的X上式均成立。x2. f (x) sin2ln an 11)( X)1)!|x|故该级数的收敛区间为）o再由limnxn 1(ln a) n 1 X(n 1)!M limX(lna)n(n 1)!|x|n1 01是收敛级数(ln a)n n 0 n!(lna)n n, 0 Tx (）的一般项，所以对任n 2k解:f(n) (x)2nsinn"2f(n)(0)(sin0,(1)k22k 1,n 2k 1limnunlimnf (n)(0)n

9、!1)n2n 10 2(2n 1)!2n 1X ，limn）。再由|Rn(X)l2n 3|x|2n 3X22n 3(2n3)!22n 1(2n 1)!2n 1X故该级数的收敛区间为limn.2n 3 sin 222n 3(2nX2 3)!2nXlimX2n 3|x|22n 3(2n3)!2n 32(2n 3)!为绝对收敛级数对任意的X上式均成立。. _ X sin21)n2n 1 、0 2(2n1)!2n 1 (）的一般项，所以1)nn 0 22n1(2n 1)!2nX五、使用间接展开法将下列函数展开成哥级数常用哥级数展式：(1)(2)sin x1)n2n 1X, (2n 1)!(3)cosx

10、1)2n n x(2n)!(4)(1 x)(1)n!1) n-x , ( 11)x 1)n n1) x ,x 1)n 2n1) x1)(6)ln(1x)1)nx 1)arctan x1)n2n 1 x2n 12n 1n1(1)n"1 x 1)基本方法：代数法，即代换；利用哥级数性质.对复杂函数可以先求导看是否为哥级数展式已知的简单函数，再积分可得原函数的哥级数展式。1.f(x)解:由et0 n!2.解:3.解:4.解:x2 e2n n x1) n!f (x) sin 2x由 sint ( n 0sin 2x ( n 0f (x) sin2 x由 cost ( n 0sin2x 1 1

11、 2f (x) arctan x1f(x) U1)nt2n(2n 1)!），令t2x得.ng(2n 1)!产1)n(2n)!1H(2n)!n 2n1) x (),及 sin2(Dn1 (2t)2n2 (2n)!1,c人，c一 1 cos2x 令 t 2x 得21x 1)arctan x工 dt ( 1)n1 t2 n0xt2ndt(1)n0x2n 1(1 x 1)2n 11时,均为收敛的交错级数。5.f(x)- 51-2x解:tnn 0(|t|1)及 f(x)1-2x51 2x5.2，令t 一 x得56.解:7.解:f(x)f(x)5 2xln(x,11f (x) xIn xf (x) Inf

12、 (x)ln1 x21 x2n"x|x| |),、n1 3 L (2n1)2 4 L (2n)i(n 11”(111),得x-x2=x71)n2 dt1 1=x21)n(2n 1)!(2n)!x2n(|x| 1)X 1 d dt 0.2',1 t(2n 1)! 2n x(2n 1)(2n)!2n x01)1(|x| 1)2n 11 x 1)。六、在指定点处将下列函数展开成哥级数1. f (x) ln x,在x 2处解：由 ln(1 t) ( 1)n 1C( n1)及ln x ln(2 x 2) ln 2ln 2 ln 1n(2n 1)!(2n)!xt2n 02lnx ln2

13、( 1)n12n 1nx 2 9ln2 ni(1)k(° X 4)。2. f (x)ex,在x 1 处X x 1 (x 1) 解：e e e e ( x )。n o n!七、求函数f(x)x2ln(1 x)在x 0处的n阶导数(n 2)解：f (x)k 1 X o(1)k1)f(n),Y、/ 1-* 2)(k 1)L (k 3 n) k 2 nf (X)( l)xk n 2kf(n)(0) ( 1)n3二 (1)n3n(n 1)(n 3)!。 n 21c 1八、设有两条抛物线y nx2 和y (n 1)x2 ，记匕们的父点横坐标的绝对值为nn 1an(1)求an的表达式(2)求这两条

14、抛物线所围成的图形的面积Sn(3)求级数Sn的和n 1 an解：(1) an1. n(n 1) Sn: nx2 - (n 1)x21annn 1,1n 1(3)由 limlimn 1 n(n 1) n k1k(k 1) ndx 4a3 41 一33 n(n 1), n(n 1)- lim 1 1,得k 1 k k 1 n n(n 1)Sn42 414 an -n 1 an3n1 3nn(n 1) 3常用幕级数展式：(1), 0 n!(2)sin x1)n(3)cosx1)(4)(1 x)事级数部分习题课2n 1(2n 1)!2n n x(2n)!(1)1)n!1)2n 1 n 1 x(2n 1

15、)!n 1) nx , ( 11)n n1) x ,x 1)n 2n1) x1)(6)ln(1x)1)1)arctan x1)n2n 1 x2n 11)n12n 1 x2n 11)基本方法：代数法,即代换；利用幕级数性质.对复杂函数可以先求导看是否为幕级数展式已知的简单函数，再积分可得原函数的幕级数展式。补充例题、把下列函数展成x的哥级数1.f(x)x9 x2解:f(x)x9 x29n0(1)n2nX3(1)n 02n 1n x2n 2，( 3 x 3) 0 32.f(x)x arctanxln 1 x2解:x12xf (x) arctan x及 f (0) 0f(x)3.f(x)41n解:(

16、x)及 f (0)f(x)4.f(x)ln(1解:f(x)ln(1ln(1f(x)arctan xx0f出1)1)n1 arctanx2ln(15、 x )x)(t)dt1)n5n x1).1 x22n 1n-(2n 1 2n 2x(2n 1)(2n4n 1x1 4n 1x4)x 1)2)1)。1 In -11 x41)。ln(15x )4nx ,( 1 x 1)ln(1 x)(x 1)5、n( x )n1( x)nn5n,(n 1 nn-,(11 n1)(14n j二( n二、把下列函数在指定点展成哥级数1.f(x)ln x在x 1处解:f(x)In x ln1 (x1)(1)n1之12.f

17、(x)1 十-在xx2 3x 21)1)。1)n,(0 x 2) n111解:f(x)(x 1)(x2)3.解:4.解:f(x)f(x)2 (x 1)1)n3 (x 1)31dxxeef(x)3n1)n1)1)n (x 1)n"(2 x 4)3(1)n0dxf (x) sin x 在sinx sin 一 4sin cos4sincos(x1)n,(3)(x 1)nn!(x1)n 1 n!(x 1)n2 n(n2)!(x1)。cos sin42n 1,2cos x 一 4sin1)n1)nx 一4(2n 1)!2n(2n)!2n 12n,n 2sin x2 n 0(1)n4(2n 1)

18、!三、哥级数求和步骤：1.求出给定级数的收敛区间;2.两种途径:适当变形逐项积分常见函数之哥级数(ex,sin x,cosx,ln(1 x),几何级数等)项求导得和函数适当变形逐项求导常见函数之哥级数（ex,sin x,cosx,ln(1 x),几何级数等)项积分得和函数1,” n 0 n!22n解：由limn设 S(x)un 1unx0 S(t)dt2.n 2 n(n解：由limn设 S(x)(2n1)an 12 n(nS(x)limn2n 3 n!(n2n 1 xlimn1)1)!2n 1|x|2逐项积分得2n x,故收敛区间为x2 xeS(x)x22 X2(xex ) (1 2x2)ex逐项求导得步可确定收敛区间为:1,1xln(