平面向量测试题及详解

1、平面向量则 AH= () a fba+C.- |apb555.n)，若 | a+ b| 二 a b,贝 un二(A. - 3B.-1C.1D,3D . - |a-£b 55已知向量 a=(1,1) , b= (2 , )一、选择题1已知向量a二(1,1) , b= (2 , x)，若a+ b与4b 2a平行，则实数x的值为()A. 2 B . 0C. 1D. 22 .已知点八 -1,0) , 01.3)，向量a=(2 k- 1,2)，若血a,则实数k的值为()A. 2 B . 1 C .1 D ,23 .如果向量a二化1)与应(6 , k+ 1)共线且方向相反，那么k的值为()A.

2、3 B . 2C .二4 在平行四边形ABCDK E、F分别是BC CD的中点，DE交AF于H,记忌BC分别为a、b,已知P是边长为2的正 )6.ABC边BC上的动点，贝u XP-(AB+ AC(A.最大值为8 B .是定值6 C .最小值为2 D .与P的位置有关7. 设a, b都是非零向量，那么命题“a与b共线”是命题a+ b|= |a|+ |b|"的()A.充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件 D .非充分非必要条件58. 已知向量a=(1,2) , b= ( 2, 4) , |c| 二 5，若(a+ b)c=勺，则a与c的夹角为( )A. 30" B .

3、 60° C , 120° D , 150°22x+ y 2x 2y + 1 > 0,得最大值时，点B的个数是( ).无数A. 1 B . 2C . 3 D10. a, b是不共线的向量，若 AB=Xia+ b, AC=a+X2b(X1，X2 R)，贝 uA、B、C 三点共线的充要条件为(A.入1二入2=)1 B.入 i=X2= 1C.入 1 入 2+ 1 = 0D,入 1 入 2 1 = 011.如图，在矩形OACBK E和F分别是边AC和BC的点，满足AC= 3AE BC= 3BF,若0C= X OE12 .已知非零向量AB与AC满足-AB+AC且;，3

4、一蛆 一寺则上、ABC的形状为(|AB |AC|AB 向A.等腰非等边三角形B .等边三角形C .三边均不相等的三角形D.直角三角形第n卷(非选择题共90分)9.原点，点A(1,1)，若点B(x, y)满足Kxw2,K yw2,、填空题设0为坐标则OA-酣13 .平面向量 a 与 b 的夹角为 60°, a=(2,0) , | b| 二 1，则 | a+ 2b| =.14 .已知a=(2+XJ) , b= (3 , X)，若a, b为钝角，贝uX的取值范围是 .15 .已知二次函数y= f(x)的图像为开口向下的抛物线，且对任意x R都有f(1 + x)=f (1 x).若向量a=(

5、m 1), b=(m 2)，则满足不等式f (a - b)>f ( - 1)的m的取值范围为16.已知向量 a二 sin B,寸,b=(cos 0 , 1) , c= (2 , m 满足 a_Lb 且(a+ b) / c,则实数 m二三、解答题17.已知向量 a=(cosx, sin x) , b=(cos x, 3cosx)，函数 f (x) = a b, x 0,n . (1)求函数f(X)的最大值；(2)当函数f(X)取得最大值时，求向量a与b夹角的大小.18 已知双曲线的中心在原点，焦点E、F2在坐标轴上,离心率为2 ,且过点(4 , - 10).求双曲线方程；(2)若点M3，m

6、)在双曲线上，求证MF- IMF=0.2n19 . A ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，向量 n= (2sin B,2 cos2B), n=(2sin ( +B2), 1) , ml n.求角B的大小；若a=3, b=1,求c的值.3x 3xX Xn20 .已知向量 a= cos-2, sin , b二 cos一 si n ?，且 x y, n . (1)求 a b 及 | a+ b| ；x的值.(2)求函数f (x) = a - b+ | a+ b|的最大值，并求使函数取得最大值时21 已知 OA r2asin2x, a) , OIB= ( - 1,2 3sinxcos

7、x+1),。为坐标原点，a*0,设 f (x)= OAOB + b, b>a.若a>0，写出函数y= f (x)的单调递增区间;n(2)若函数y=f(x)的定义域为,n，值域为2,5，求实数a与b的值.22 已知点M4,0), N(1，若动点P满足ION-IOP=6|两.求动点P的轨迹C的方程；18oo12(2)设过点N的直线I交轨迹C于A, B两点，若一二;w NA NBc二，求直线I的斜率的 5取值范围.平面向量答案3x+ 11 .解 a+ b=(3 , x+ 1) ,4b 2a=(6,4 x 2) , ： a+ b 与 4b 2a 平行，石二4， x= 2,故选D.2 .解

8、AB= (2,3) ,T ABLa,. 2(2 k 1)+ 3X 2= 0, r, k二一1,.选 B.k二6人3 .解由条件知，存在实数入v0,使a二Xb,(k, 1)二(6人，(k+ 1)人)，k+ 1X= 1 k = 3，故选 A.4 .解析AF= b+ 1a, DE=a2b 设 DH= X BE 贝 U DH=Xa 1 Xb, r.->24A+F + %b.XH= A >DH=X a+ / AteXF共线且a、b不共线，5 .解析/a+ b= (3,1 + n), | a+ b| = .'9 + n+ 12= , n2+ 2n+ 10, 乂 a . b= 2+ n,

9、T|a + b| = a b, n2+ 2n+ 10= n + 2，解之得 n= 3，故选 D.6 .解析设 BC 边中点为 D,则 AP-(AB+AC = AP(2AD)二 2| Ap - AD - cos/ PAD= 2| AD|2二6.7 .解析|a+ b|= |a|+ |b|?a与b方向相同，或a、b至少有一个为0；而a与b共线包括a与b方 向相反的情形，T a、b都是非零向量，故选B.8 .解析由条件知 |a| 二 5, | b| = 2 .5, a+ b= ( 12), |a + b| 二,5, T (a+ b) - c55=2, - 5x 5 - cos 0 =，其中 0 为 a

10、+ b 与 c 的夹角，二 0 二 60° . T a+ b二一a, a+ b与a方向相反，- a与c的夹角为120'.22229.解析x+ y2X- 2y+ 10,即(x 1)+ (y- 1)> 1,画出不等式组表示的平面区域如图,OA- OB= x+ y,设x + y=t ,则当直线y二一x平移到经过点C时，t取最大值，故这样的点B有1 个，即C点.1 二 XX1即 a+ X2b= X ，消去XX2= X10 .解析TA、BC共线，-AC,屁共线，根据向量共线的条件知存在实数X使得AC二XAB (Xia+ b),由于a, b不共线，根据平面向量基本定理得、得 XiX

11、2= 1.1111 .解析6FJ 内 BF=>OA 6E= OAv AE=aAF 3aB33相加得 A&6F= | (OAF aB =aOC - A=0feA6F - x+ 二彳 + 彳= I.XB AC12 .解根据达-BC二。知，角A的内角平分线与 BC边垂直，说明三角形是等腰析I丽|Aq_AB _A 1三角形根据数量积的定义及一“ 一I可知A= 12°。.故三角形是等腰非等边的三角形.|AC13.解析a b= |a| 1 b|cos60 =2x 1 4x1=12,1 222x - = 1 , | a + 2b| = | a| + 4| b| + 4a b= 4+

12、4 + | a+ 2b| = 2 3.314.解析T(a , b> 为钝角， a - b= 3(2+ X)+ X = 4X+ 6v0 , Xv?,当 a 与 b 方向3 相反时，X= 3, Xv-?且人工一3.15.解析由条件知f(X)的图象关于直线X=1对称，f( 1) = f(3) , T 0, a b二 m)上为减函数，二mV 2V3 , + 22,由 f (a . b)>f ( - 1)得 f ( mV 2)>f(3) , T f (x)在1 ,71n<1, T n> 0, 0< nr1.16.解析1T a _L b,. sin e cos e +

13、4 =150, sin2 e = 2,又丁 a+ b= sin e + cos e , 4 ,(a + b) / c.5 %sine+cose).0仆 2 sin e+ cos2T (sin e + cos e) = 1 +sin2J2 sin e + cos e=±-5灵m 二士 217.解析(1) f(x) = a b二一 cos2x+3sin xcosx = fsin?x1 1-cos2x 二 sinx 0 当 X =才时，f(x)± 1 1 = 由(1)知a二1 .卡巳二1-¥，设向量a与巳夹角为“，则cos aa b|a| *1 b|12_= 11X1=

14、2,na二一.因此-两向量a与b的夹角为一.318.解析(1)W-Te= 2, 可设双曲线方程为3X2- y2二人，丁过(4 -10)点，入二6, 双曲线方程为Xy=6.(2)证明：F(2 晶 0、, F2(2 羽，0), MF= (- 3-2 羽，-m) , MF= ( 3+ 2 羽，一 m),=0, lAF*MF= 0,5( MF IMF MF= 3+ m,又一 M 点在双曲线上， 9 m=m 36,即_L19.解析 T m _L n n= 0 - 4sin B- sin 2 : + f + C0S2 B- 2=0,n22,22, 2sin B1 一 cos 一 + B + cos2 B

15、2 = 0 ? 2sin B+ 2sin B+ 1 - 2sin B一 2 = 0- sin B= 2, T 0<B<n, B=才或 fn.266(2) T a=3 , b= 1, 3>b , 此时 B=方法一：由余弦定理得:方法二：由正弦定理得1.bsin B sin A'3- sin A= sin A3-T 0<A< n, 若-因为B=6n.所以角c=p2边c = 2;若A=3 n,贝U角C=n 边 c二 b,. c = c = 1.1 .综上c= 2或20.解析(1) a b = cos 罟cosX3x X2 sin 2 sin 2 _ cos2xa

16、 + b|3xcos 2 + cos 2 +3x X 2sin 2 sin 23x x2+2 cos 2 cos2 3x X sin sin ?J 2 + 2cos2x =n2|cos x| - T x y -n ) cosxvO尸 | a+ b| =2cosx.2(2) f(x)= a b+ | a+ b| = cos2x2cosx=： 2cos x 2cosx 11 = 2 cosx T x - n - 一 1 W cos xW 0- . .当 cosx =一 1 -即 X =n 时 f ma乂 x) = 3.21 .解析(1) f(x) = 2asin 2x+ 23asin xcosx

17、+ a+ b= 2asin 2x +6 + b ,nnnT a>0, 由 2k n一= W2x + W2kn+7 得-k n-x < kn+二-k 乙26236函数y=f(x)的单调递增区间是:kn ” n 7n 13n(2)x 三n时-2X+ 6 6-162a+ b=2a= 12a+ b - a+ bl 得a+ b= 5b= 4a+ b = 2a 二一1a=得综上知2a + b=5b= 3b= 322.解析设动点 F(x - y).则 MP=(x-4 - y)sin 2x += 1, -1当 a>0 时 , f(x) a<0 时，f (x) a+ b, 2a+ b1 a = 1b 二 4MN=(3,0), PN= (1 x y).b2 = a2 + c2 2accosB - c2 3c+ 2 = 0 - c 二 2 或 c二22.xy由已知得一 3(X 4)22所以点P的轨迹C是椭圆，C的方程为X + y3=1.由题意知，直线I的斜率必存在，不妨设过N的直线I的方程为y=k(x- 1),设A, B两点的坐标分别为A(Xi, yi) , 0X2, y2).y二 kx一 1,由 x2 y2消去 y 得(4k?+ 3)x2 8k2x+ 4k2 12= 0.Y 4- V8k2Xl ”二 3+汞,4k 12因为N