北京市高考数学联考试题分类大汇编立体几何试题解析

1、北京市高考数学最新联考试题分类大汇编一、挑选题：（3） 北京市东城区2021 年 1 月高三考试文科）一个几何体的三视图如下列图，就该几何体的体积为3（ a） a2（ b）a36a（ c）33a（ d） aaa1218【答案】 c正（ 主）视图侧（左）视图【解析】该几何体为底面是直角边为a 的等腰直角三角形，高为 a 的直三棱柱，其体积为123aaaa；2俯视图7 北京市西城区2021 年 1 月高三期末考试理科 某几何体的三视图如下列图，该几何体的体积是（）（ a） 88（ b）3（ c） 4（ d） 43【答案】 d【解析】将三视图仍原直观图，可知是一个 底 面 为 正 方 形 （ 其 对

2、 角 线 长 为2 ）， 高 为2的 四 棱 锥 ， 其 体 积 为v1 s2112224 .3正方形 abcd323a m /, n /且/，就m / nb m, n且，就 m / nc m, n /且/，就 mnd m /, n且，就m / n【答案】 c体的体积为.3233211正视图侧视图21俯视图（9） 北京市东城区2021 年 4 月高考一模文科 已知一个四棱锥的三视图如下列图，就该四棱锥的体积是.4310.2021 年 4 月北京市房山区高三一模理科一个几何体的三视图如下列图，就这个几何体的体积为.23三、解答题：（17） 北京市东城区2021 年 1 月高三考试文科） （本小题

3、共14 分）如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd 是正方形，pa平面 abcd ，e 是pc 中点， f 为线段 ac 上一点 .（）求证：bdef ；p（）试确定点f 在线段 ac 上的位置，使ef / 平面 pbd ，并说明理由 .【命题分析】此题考查线线垂直和线面探干脆问题等综合问题；考查同学的eadbfc空间想象才能；证明线线垂直的方法：（ 1）异面直线所成的角为直角；（ 2）线面垂直的性质定理；（ 3）面面垂直的性质定理； （ 4）三垂线定理和逆定理； （ 5）勾股定理；（ 6）向量垂直 . 要留意线面、面面垂直的性质定理的成立条件. 解题过程中要特殊体会平行关系性质的传递性 ，

4、 垂 直 关 系 的 多 样 性 .本 题 第 一 问 利 用 方 法 二 进 行 证 明 ； 探 求 某证明（）由于pa平 面 abcd ，所以 pabd 又四边形abcd 是正方形，所以 acbd ， paaca ，所以 bd平面 pac ,又 ef平 面 pac ,所以 bd分ef .7pbd .14 分16（ 2021 年 4 月北京市海淀区高三一模理科）（本小题满分14 分）在 四 棱 锥 p -abcd中 ， ab /cd ， ab ad，ab =4, ad =22, cd =2 ， pa 平 面 abcd ， pa = 4 .p（）设平面pab平面 pcdm ，求证： cd /m

5、 ；（）求证：bd平面 pac ；adcb（）设点 q 为线段 pb 上一点，且直线qc 与平面 pac 所成角的正弦值为33，求 pqpb的值16 （本小题满分14 分）所以bd4,22,0 ， ac5 分2,22,0 ，zap0,0,4 ，所以bdac422222000 ，bdap40220040 .pad所以bdac ， bdap .y由于apaca ， ac平面 pac ，cpa平面 pac ，bx所以bd平面 pac .9 分由（）知平面pac 的一个法向量为bd4,22,0 .12 分17.2021 年 3 月北京市朝阳区高三一模文科 （此题满分13 分）在如下列图的几何体中，四边

6、形abcd 为平行四边形，abd= 90，eb平面abcd ， ef/ab ，ab=2 ， ef =1 ， bc=13 ，且 m 是 bd 的f中点 .e（）求证：em /平面 adf ；（）在eb 上是否存在一点p ，使得cpd 最大？如存在，恳求出cpd 的正切值；如不存在，dc请说明理由 .m（17）（本小题满分13 分）ab（）解：假设在eb 上存在一点p ，使得cpd 最大 .由于 eb平面 abd ，所以 ebcd .又由于 cdbd ，所以 cd平面 ebd .8 分在 rtcpd 中 ， tancpd= cd .dp17 北京市西城区2021 年 4 月高三第一次模拟文 （本小

7、题满分14 分）如图，矩形abcd 中， ab3 ， bc4 e ， f 分别在线段bc 和 ad 上 ， ef ab ，将矩形abef 沿 ef 折起记折起后的矩形为mnef，且平面mnef平面ecdf （）求证：nc 平面 mfd ；（）如 ec3 ，求证： ndfc ；（）求四周体nfec 体积的最大值17. （本小题满分14 分）（）证明：由于四边形mnef ， efdc 都是矩形，所以mn ef cd ， mnefcd 所以四边形 mncd 是平行四边形，2 分所以nc md ，3 分由于nc平 面 mfd ，所以nc 平面 mfd 4分（）证明：连接ed ，设 edfco 由于平面

8、 mnef平面 ecdf ，且 neef ，所以ne平面 ecdf ，5 分所以fcne 6 分9 分（）解：设nex ，就ec4x ，其中 0x4 由（）得ne平 面 fec ，11所以四周体nfec 的体积为vnfecs efcnex4x 11 分所以vnfec1 x4x 2322 13 分22当且仅当x4x ，即 x2 时，四周体nfec 的体积最大14 分（17） 北京市东城区2021 年 4 月高考一模理科 （本小题共13 分）图 1图 2（17）（共 13 分）（）证明：取be 中点 d ，连结 df .由于 aecf1 ， de1，所以 afad2 ，而a60，即adf 是正三角

9、形 .又由于aeed1 ,所以 efad .2 分所以在图2 中有a1 eef ， beef .3 分所以a 1eb为二面角a 1ef的b平面角.又二面角a 1图 1efb 为直二面角，所以 a1 ebe .5 分又由于 beefe ,所以 a1e 平面 bef , 即 a1 e 平面 bep .6 分（）解：由（）可知a1e 平面 bep ， beef ，如图，以e 为原点，建立空间直角坐标系 exyz ，就 e 0 , 0 , 0 ，a10 , 0 ,1 ，b2 , 0 , 0 ，f 0,3 , 0 .在图中，连结dp .由于 cfcp1 ，fapb2所以 pf be ，且 pf1 bed

10、e .2所以四边形efpd 为平行四边形 .所以 ef dp ，且 efdp .故点 p 的坐标为（ 1，3 ， 0）.图 2所以 a1b2 , 0 ,1 ，bp1,3,0 ，ea10 , 0 ,1 .8 分不妨设平面2 xza1bp 的法向量 n0, x, y, z ，就a1b n0,bpn0.即令 yx3 y0.3 ，得 n3,3 , 6 .10 分所以 cosn, ea1n ea163 .12 分| n | ea1 |1432故直线a1e 与平面a1bp 所成角的大小为.13 分3（17） 北京市东城区2021 年 4 月高考一模文科 （本小题共14 分）如图 1 ，在边长为3 的正三角

11、形abc 中， e ， f ， p 分别为 ab ， ac ， bc 上的点，且满意aefccp1 . 将 aef 沿 ef 折起到a1ef 的位置，使平面a1ef平面 efb ，连结a1b ，a1 p . （如图 2 ）（）如 q 为（）求证：a1b 中点，求证：pq 平面a1eep .a1ef ；图 1图 2（17）（共 14 分）证明：（）取a1e 中点 m ，连结qm , mf 在 a1be 中，点，q, m 分别为a1b, a1 e 的中所以qm be ，且 qm1 be 2cfcp1由于，fapb2所以 pf be , 且 pf1 be ，2所以 qm pf ，且 qmpf 所以四

12、边形pqmf为平行四边形所以 pq fm 5 分又由于 fm平面a1 ef ，且 pq平面a1ef ，所以 pq 平面a1ef 7 分（）取 be 中点 d ，连结 df .由于 aecf1 ， de1，所以 afad2 ，而a60，即 adf 是正三角形 .又由于aeed1 ,所以 efad .所以在图2 中有a1 eef .9 分由于平面a1ef平面 efb ，平面a1 ef平面 efbef ，所以 a1e 平面 bef .12 分又 ep平 面 bef ，所以 a1 e ep .14 分17. 2021年 3 月北京市丰台区高三一模文科 （本小题共14 分）如图，四棱锥p-abcd中，底

13、面 abcd是菱形， pa=pd， bad=60o， e 是 ad的中点，点q在侧棱 pc上（）求证：ad平面 pbe；（）如 q是 pc的中点，求证：pa /平面 bdq；cp（）如 vp-bcde =2 vq - abcd，试求的值cq17 证明：（）由于e 是 ad的中点，pa=pd，所以adpe1 分由于底面 abcd是菱形， bad=60o，所以ab=bd，又由于 e 是 ad的中点，所以adbe 2分由于pebe=e，3分所以ad平面 pbe 4分（）连接ac交 bd于点 o，连结 oq5 分由于 o是 ac中点，q 是 pc的中点，所以 oq为 pac中位线所以oq/由于h1 h

14、2cpcp，所以cqcq814 分317. 2021年 4 月北京市房山区高三一模理科（本小题共14 分）在 直 三 棱 柱abca1b1c1 中 ，bccc1ab=2,abbc . 点m , n分 别 是cc1 ,b1c 的中点， g 是棱 ab 上的动点 .（ i ）求证：b1c平面 bng ；(ii) 如 cg / 平面ab1 m，试确定 g 点的位置，并给出证明；(iii) 求二面角mab1b 的余弦值 .17（本小题共14 分）i证明：在直三棱柱abca1b1c1 中， bccc1 ，点 n 是b1 c 的中点， bnb1c1 分abbc , abbb1 ,bb1bcb ab 平面b1 bcc12 分b1 c平面 b1 bcc1 b1 cab ，即b1 cgb3 分又 bnbgb b1 c平面 bng4 分（ ii ）当 g 是棱 ab 的中点时，cg / 平 面ab1 m.5 分证明如下 :连 结 ab1 ,